Problemas resueltos de logaritmos pre u ccesa007

DOCUMENTO

1. ALGEBRA
LOGARITMOS
DEMETRIO CCESARAYME

2. LOGARITMOS
↔�
??????
=??????��??????�??????=??????
??????=��??????????????????????????????��; ??????∈ℝ
??????= númeropropuesto??????∈ℝ
+
�=��????????????; �∈ℝ
+
∧b ≠1
Donde:

3. 2. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOSLOGARITMOS:
a)4
log
46
=6
b)2021
log
20211500
=1500
Ejemplos:

4. 3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
2
A.
Ejemplos:
a)log
5 1=0
b)log
7 1 =0
B.
a)log
6 6 =1
b)log2 =1

5. C. LOGARITMO DE UN PRODUCTO:
Ejemplos:
a)log
275=log
27+log
25
b)log
5 254 =log
5 25 +log
5 4

6. Ejemplos:
D. LOGARITMO DE UN COCIENTE:
2 2
5 5
6
5
a)log
8
=log8−log6
2

b)log
10
=log10−log5
5


7. E. LOGARITMO DE UNA POTENCIA:
REGLA DELSOMBREROx
b
Antilog x b= 1
1
b b b
b
Colog N Log Log N Log N
N
= = = −

8. F. CAMBIO DEBASE:
2
5
6
3
log2
log6
a)log3 =
log
53
b)log21 =
log
321
Ejemplos:

9. G. REGLA DE LACADENA:
Ejemplos:
a)log
2 3.log
4 2.log
3 4 =log
33
b)log
6 2.log
4 6.log
5 4.log
8 5 =log
82

10. LOGARITMO DECIMAL, VULGAR O DEBRIGGS:
??????????????????��??????= ��????????????
LOGARITMO NATURAL ONEPERIANO:
??????????????????????????????= ��??????
??????=�.����…aLogcLog
bb
ca =
H. PROPIEDADES ADICIONALES :

11. 1. Calcular“x” si:??????�??????
??????(??????+??????)=�
A)1 B)6 C)5 D)4 E)3

12. 1. Calcular“x” si:??????�??????
??????(??????+??????)=�
Solución
Log
x(6+x)=2
A)1 B)6 C)5 D)4 E)3
x
2
−x−6=0
(x+2)(x − 3) = 0
Rpta. E
x
2
=6+x
X = 3

13. 2. Calcular “x” en:
log
67
(8−x)=7
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

14. 2. Calcular “x” en:
log
67
(8−x)=7
7
Log6
8−x =7Elevando ala
inversa
Por propiedadfundamental
delogaritmos
8−x =6
x =2
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
Solución
Rpta. B

15. 3. Calcular:
A)log6 B)log5 C)log4 D)log3 E)log2
log75−2log(5/9)+log(3/243)

16. 3. Calcular:
log75−2log(5/9)+log(3/243)
Utilizando la regla del sombrero con exponentenegativo
log75+log81/25+log3/243
Transformando a logaritmo delproducto
log(75)(81/25) (3/243)
log3
A)log6 B)log5 C)log4 D)log3 E)log2
log75−2log(5/9)+log(3/243)
Solución
Rpta. D

17. 4.Resolver:
10
??????
−10
−??????
10
??????
+10
−??????
=1/3
A)log2 B)log4 C)log8D)log(1/4)E)(1/2)log2

18. 4.Resolver:
10
??????
=??????
Tenemos:
Realizandooperacionesm
2 + 1 = 3m
2 –3
4 =2m
2Dedonde
m=2
10
??????
+10
−??????
10
??????
−10
−??????
=3
10
??????
−10
−??????
10
??????
+10
−??????
=1/3
A)log2 B)log4 C)log8D)log(1/4)E)(1/2)log2
Solución
�+m
−1
m−m
−1
=3
X = log 2Rpta. E

19. 5.-Resolver:logx=logx
A)5 B)10 C)100 D)1000 E)10000

20. 5.-Resolver:logx=logx
logx =mSustituyendo m =(1/2)(m)
Aplicando la Regladel
Sombrerotenemos
Resolviendo laecuación:
m =4
log x =4
x =10000
A)5 B)10 C)100 D)1000 E)10000
Solución
Rpta. E

21. 6.-Hallar “x”en:
e
x+y =18
e
x−y =2
A)Ln2 B)Ln3 C)Ln4 D)Ln6 E)Ln8

22. 6.-Hallar “x”en:
e
x+y =18
e
x−y =2
X + Y =Ln18
X–Y=Ln2
Extrayendo logaritmo naturalambos
miembros de laecuación:
2X =Ln36
X = 1/2Ln36
X =Ln6
Resolviendo el sistema y logaritmo delproducto:
Aplicando regla delsombrero:
A)Ln2 B)Ln3 C)Ln4 D)Ln6 E)Ln8
Solución
Lne = 1
Rpta. D

23. 7.-Resolver:
A)2 B)3 C)4 D)5 E)63 log)3x2( logx log2 +−=

24. 7.-Resolver:
A)2 B)3 C)4 D)5 E)63 log)3x2( logx log2 +−= 3 log)3x2( logx log2 +−=
Solución
Log x
2
=Log (2x−3)(3)
x
2
=6??????−9
x
2
−6??????+9=0
(x−3)
2
=0
x=3 Rpta. B

25. 8.-Calcular:E=antilog
3colog
25antilog
5log
749
A)1/2 B)1/3 C)1/4 D)1/5 E)1/6

26. 8.-Calcular:E=antilog
3colog
25antilog
5log
749
E=antilog
3colog
25antilog
5log
749
E=antilog
3colog
25antilog
52
E=antilog
3colog
2525
E=antilog
3−log
2525
E=antilog
3−1
E=1/3
A)1/2 B)1/3 C)1/4 D)1/5 E)1/6
Solución
Rpta. B

27. 9. Determinar el valor de “x”en:log
2 x +log
4 x =3
A)1 B)2 C)4 D)8 E)16

28. 9. Determinar el valor de “x”en:log
2 x +log
4 x =3
log
2 x +log
4x =3
log
2 x +1/ 2log
2 x =3
3/ 2log
2 x =3
log
2 x =2
x =4
Logaritmo delexponente
de labase
sumando
trasponiendo
A)1 B)2 C)4 D)8 E)16
Solución
Rpta. C

29. 10. Calcular “x”si: logx
2
+cologx =3
A)1 B)10 C)100 D)1000 E)10000

30. 10. Calcular “x”si:
x =1000
Regla del Sombrero ypropiedad
decologaritmo
Restando términossemejantes
logx
2
+cologx =3
logx
2
+cologx =3
2logx−logx =3
logx =3
A)1 B)10 C)100 D)1000 E)10000
Solución
Rpta. D

31. 11. Hallar el valor de “m”en:log(m−4)+log(m+5)=log36
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

32. 11. Hallar el valor de “m”en:log(m−4)+log(m+5)=log36
log(m−4)(m+5)=log36
(m –4) (m + 5) =36
m
2 + m –56 =0
m =7
Logaritmo delproducto
Cancelandologaritmos
Reduciendo
Rpta. C
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
Solución

33. 12.2)15(log
2
10
=−xx hallarlasumadelosvaloresde“x”que
satisfacenlaecuación:
A)20 B)15 C)25 D)5 E)21

34. 12.2)15(log
2
10
=−xx hallarlasumadelosvaloresde“x”que
satisfacenlaecuación:
A)20 B)15 C)25 D)5 E)21
Solución2)15(log
2
10
=−xx
x
2
−15x=100
x
2
−15x−100=0
Suma de raíces = 15 Rpta. B

35. 13.Calcular:K =9
??????????????????35
+16
??????????????????23
+5
??????????????????2549
A)111 B)112 C)113 D)114 E)115

36. 13.Calcular:K =9
??????????????????35
+16
??????????????????23
+5
??????????????????2549
A)111 B)112 C)113 D)114 E)115
Solución
K =3
2??????????????????
35
+2
4??????????????????
23
+5
??????????????????
57
K =9
??????????????????35
+16
??????????????????23
+5
??????????????????2549
K =3
??????????????????325
+2
??????????????????281
+5
??????????????????57
K =25+81+7
K =���
Rpta. C

37. 14.-Resolver:1)8(Log
3
1
)16(Log
2
1
)x(Log +−=
A)20 B)30 C)40 D)50 E)60

38. 14.-Resolver:1)8(Log
3
1
)16(Log
2
1
)x(Log +−=
Solución
A)20 B)30 C)40 D)50 E)601)8(Log
3
1
)16(Log
2
1
)x(Log +−=
Log(x) = log4−log2 + 1
Log(x) = log4−log2 + log10
Log(x) = log20
x = 20 Rpta. A

39. 15Calcular:]729log3loganti[loganti6loganti
3232
−+
A)74 B)73 C)72 D)71 E)70

40. 15Calcular:]729log3loganti[loganti6loganti
3232
−+ ]729log3loganti[loganti6loganti
3232
−+
A)74 B)73 C)72 D)71 E)70
Solución]729log3loganti[loganti6loganti
3232
−+
antilog
26+antilog
3(8−6)
antilog
26+antilog
32
64 + 9 = 73Rpta. B

41. MISCELANEA

42. 1.Calcular:�=��??????
2256+��??????
101000−��??????
381
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

43. 1.Calcular:�=��??????
2256+��??????
101000−��??????
381
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
Solución
�=��??????
2256+��??????
101000−��??????
381
�=8+3−4
�=7 Rpta. C

44. 2.Resolver:x4
7
log2
3
log2x
5
log2
735 =+
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

45. 2.Resolver:x4
7
log2
3
log2x
5
log2
735 =+ x4
7
log2
3
log2x
5
log2
735 =+
x
2
+4=4x
x
2
−4x+4=0
(x−2)
2
=0
x=2
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
Solución
Rpta. A

46. ??????=
3
??????�log
50,04+??????�????????????log
523. Calcular:
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

47. ??????=
3
??????�log
50,04+??????�????????????log
523. Calcular:
Solución
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
??????=
3
2+25
??????=
3
−log
50,04+??????�????????????log
52
??????=
3
2+25= 3
Rpta. C
??????=
3
??????�log
50,04+??????�????????????log
52

48. ??????�????????????��??????
125??????�????????????��??????
3??????���??????
25??????�????????????��??????
5��??????
7494. Calcular:
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

49. ??????�????????????��??????
125??????�????????????��??????
3??????���??????
25??????�????????????��??????
5��??????
7494. Calcular:
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
Solución
??????�????????????��??????
125??????�????????????��??????
3??????���??????
25??????�????????????��??????
5��??????
749
??????�????????????��??????
125??????�????????????��??????
3??????���??????
25??????�????????????��??????
52
??????�????????????��??????
125??????�????????????��??????
3??????���??????
2525
??????�????????????��??????
125??????�????????????��??????
3−1
??????�????????????��??????
1251/3
5 Rpta. E

50. 5. Calcular:??????�??????�??????�x=�
A)2e B) C) D)4e E)4 e
2
e
e

51. ??????�??????�??????�x=0
??????�??????�x=1
??????�??????=e
??????=e
e
5. Calcular:??????�??????�??????�x=�
A)2e B) C) D)4e E)4 e
2
e
e
Solución
Rpta. E

52. 3log3)1123(
3
2
3
=++xxLog A)1/3 B)2/3 C)-1/3 D)-2/3 E)11/3
hallarlasumadelosvaloresde“x”
quesatisfacenlaecuación:
6.

53. 3log3)1123(
3
2
3
=++xxLog 3log3)1123(
3
2
3
=++xxLog A)1/3 B)2/3 C)-1/3 D)-2/3 E)11/3
hallarlasumadelosvaloresde“x”
quesatisfacenlaecuación:
6.
Solución31123log
2
3
=++xx 01623
2
=−+xx 271123
2
=++xx
Suma de raíces = −2/3 Rpta. D