Problemas Resueltos de Polígonos PP63 ccesa007

DOCUMENTO

1. POLIGONOS
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Hallalasumadetodoslosángulosinternos
delpolígonocóncavo
Del enunciado:
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
180(6) 1080º
180°( n -2 ) 180°( 8 –2 )

3. Quepolígonotiene9diagonales
Del enunciado:
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
n=62
) 3n ( n
N
D

 2
) 3n ( n
9


18 = n
2
–3n n
2
–3n –18 = 0
(n –6 ) ( n + 3 ) = 0
Hexágono

4. Hallaelángulointernodelpolígonoregular
cuyoángulocentrales45º
Problema Nº 03
RESOLUCIÓNn
º360
central
 8n n
º360
º45 n
)2n(180
int

 8
)28(180
int

 8
)6(180
int º135
int

5. Comosellamaelpolígonoenelquelasuma
desusángulosinternosyexternoses1800º
360°+ 180°( n -2 )= 1800°
Se+ S
i = 1800°
Resolviendo:
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
360°+ 180°n –360º= 1800°
180°n =1800º n =10 DECÁGONO

6. Cuantosumanlosángulosdelpolígono
quetienecatorcediagonales
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
n=72
) 3n ( n
N
D

 2
) 3n ( n
14


28 = n
2
–3n
n
2
–3n –28 = 0 (n –7 ) ( n + 4 ) = 0
Hallando la suma de los ángulos internos
S
i = 180º( n –2) S
i = 180º( 7 –2) S
i = 180º( 5 )
S
i = 900º

7. Enquepolígonolasumadelosángulos
internoses540º
540º = 180°( n -2 )
540º = 180n –360º
S
i = 180º ( n –2 )
Problema Nº 06
RESOLUCIÓN
n = 5
900º = 180n
PENTÁGONO

8. Hallaelnúmerodeladosdeunpolígono,
sabiendoqueenelsepuedentrazar104
diagonales
208 = n
2
-3n
Problema Nº 7
RESOLUCIÓN
n = 16
n
2
-3n –208 = 02
) 3n ( n
N
D

 2
) 3n ( n
104


( n –16 ) ( n +13 ) = 0

9. Hallaelnúmerodediagonalesdelpolígono
cuyasumadeángulosinternoses1260º
Problema Nº 08
RESOLUCIÓN
n = 9
1620º = 180ºn2
) 3n ( n
N
D


S
i = 180º ( n –2 )
1260 = 180º ( n –2 )
1260º = 180ºn –360 2
) 39 ( 9
N
D

 2
) 6 ( 9
N
D
 27N
D

10. Cuantosladostieneunpolígonosidesdeuno
desusvérticessepuedentrazar6diagonales
Problema Nº 09
RESOLUCIÓN
n = 9n
)2n(º180
m
int


 N
D = n –3 6= n –3
Unodelosángulosinternosdeunpolígono
regularmide150º,comosellamaelpolígono
Problema Nº 10n
)2n(º180
º150


150n = 180n –360 360 = 30n n = 12
DODECÁGONO

11. Cincoángulosdeunhexágonomiden120º,
130º,º140º,150º,160º;cuantomideelsexto
ángulo
Problema Nº 11
RESOLUCIÓN
S
int= 180º ( n –2 )
700º
S
int= 180º ( 6 –2 )
S
int= 180º ( 4 )S
int= 720º
Lasumadelosángulos:120º,130º,º140º,150º,
160ºes
Entonces el sexto ángulo mide 20º

12. Cuantosvérticestienenunpolígono
regularcuyoángulointernoes8vecessu
ánguloexterno
m
i = 8(me )
n = 18 lados)
n
360
(8
n
)2n(180 




Problema Nº 12
Reemplazando por las propiedades:
Luego el polígono tiene 18 vértices
RESOLUCIÓN
= 180n –360 = 2880
180n = 3240

13. SetieneundecágonoregularABCDE…
hallarlamedidadelmenoránguloque
formanlasprolongacionesdeAByED
Problema Nº 13
Luego el exterior del polígono
mide
RESOLUCIÓN10
) 210( 801
m
int


 n
) 2n( 801
m
int


 )8(18m
int
 º144m
int

P
B D
36º
216
72º
36º
36º
Luego el del polígono mide
72º
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
P
144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º

14. Sielnúmerodeladosdeunpolígono
disminuyeen3,elnúmerodediagonales
disminuyeen12¿cuantosladostienenel
polígono?
Problema Nº 14
RESOLUCIÓN
heptágono2
)3n(n
N
D

 2
)33n)(3n(
12N
D

 2
)6n)(3n(
2
24
2
)3n(n 

 18n9n24n3n
22
 18n924n3  42n6 7n

15. Comosellamaelpolígonocuyonúmero
dediagonalesaumentaen5alaumentar
elnúmerodelados
Problema Nº 15
RESOLUCIÓN2
) 3n( n
N
D


Elpolígonoesun
hexágono 
2
13n 1n
5N
D

  
2
13n 1n
2
10
2
)3n(n 

  13n 1n10n3n
2
 2n 1n10n3n
2
 2nn10n3n
22
 2n10n3 
10 + 2 = -n + 3n
12 = 2n n = 6

16. Sisequintuplicaelnúmerodeladosde
unpolígono,lasunadesusángulos
internossesextuplica.Cualesese
polígono
Problema Nº 16
RESOLUCIÓN
Elpolígonoesun
Decágono
S
i = 180º( n –2 )6(S
i ) = 180º( 5n –2 )
6[180( n –2 )]=180( 5n –2 )
6[180n –360]= 900n –360
1080n –2160= 900n –360
180n = 1800 n = 10

17. Aldisminuiren2elnumerodeladosde
unpolígono,elnumerodediagonales
disminuyeen19.¿Cualeslasumade
losángulosinternos?
Problema Nº 17
RESOLUCIÓN2
) 3n( n
N
D

  
2
23n 2n
19N
D

 
2
5n 2n
2
38
2
)3n(n 

 5n 2n38n3n
2
 2n 1n38n3n
2
 10n7n38n3n
22
 10n738n3 
4n= 48n= 12
S
i = 180º( n –2 )
S
i = 180º( 12-2)S
i = 180º(10)S
i = 1800º

18. Calculalasumadelosnúmerosdedos
polígonosequiángulos,sabiendoquelas
medidasdesusángulosinternosdifieren
en4ºylasumadesusángulosexternos
es76º
Problema Nº 18
RESOLUCIÓNn
)2n(180
int

 4
y
)2y(180
x
)2x(180



 4
y
)2y(
x
)2x(
180 





 

 1
y
)2y(
x
)2x(
45 





 

 1
xy
)2y(x)2x(y
45 





  45
1
xy
x2xyy2yx

 45
1
xy
x2y2

 
45
1
xy
yx2



19. Continúa el problemaxy)yx(90  
45
1
xy
yx2


…….1
Hallando la suma de los ángulos externosn
º360
m
ext

 76
y
º360
x
º360
 76
xy
)yx(º360

 76
xy
)x(360)y(º360

 19
xy
)yx(90

 90
19
xy
yx

 )xy(19)yx(90   )yx(9019)yx(90  yx19yx  y19x19yx  y10x9 9
y10
x
Remplazando en 19
)y(y10
)y
9
y10
(90  9
)y(y10
)
9
y9
9
y10
(90 

20. Continúa el problema
Hallando x9
)y(y10
)
9
y9
9
y10
(90  9
y10
)
9
y
(90
2
 9
y
)
9
y
(9
2
 2
yy9 9y x9)9x(90  x9)9x(90  x)9x(10  x90x10  90x9 10x
Entonces : x + y es19

21. Cualeselpolígonoconvexoenelcuallasuma
delnúmerodeángulosrectosaqueequivalela
sumadesusángulosinternos,máselnúmerode
vérticesymáselnúmerodediagonales,esigual
a23
Del enunciado:
Problema Nº 19
RESOLUCIÓN23
2
)3n(n
n
º90
S
int




n = 6º90
)2n(º180
S
interiores rectos


 23
2
)3n(n
n
º90
)2n(º180



 23
2
n3n
n)2n(2
2


 054n3n
2
  
2
46
2
n3n
2
n2
2
)2n(22
2



 46nn8n4
2
 0)6n)(9n( 

22. Cuantosladostieneelpolígonoregularcuyo
ángulointernoes(x+11)veceselángulo
externoyademássesabequeelnumerode
diagonaleses110x
Del enunciado:
Problema Nº 20n
360
)11x(
n
)2n(º180

 2
)3n(n
N
D

 0252x65x2
2
 )2)(11x(2n  24x2n 
Luego remplazamos en2
)324x2)(24x2(
x110

 0)19x2)(28x(  28x
……124)28(2n  80n

23. Comosellamaelpolígonoconvexo,cuya
sumadelasmedidasdelosángulos
interioreses1620º
1620º = 180º ( n -2 )
S
i = 180 ( n –2 )
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 21
RESOLUCIÓN180
1620
2n
Despejando ( n –2 ):
n –2 = 9 n = 11
endecágono

24. Calculalasumadelasmedidasdelos
ángulosinterioresdeuncuadriláteroy
hexágono
180°( 4 -2 )
= 360º
S
i = 180°( n –2)
Del enunciado:
Luego, reemplazando :
Problema Nº 22
RESOLUCIÓN
180°( 6 -2 )
= 720º
S
i = 180°( n –2)
Del enunciado:
RESOLUCIÓN
180°( 2 )
180°( 4 )
Luego, reemplazando :
n = 4
n = 6

25. ¿Cómosedenominaaquelpolígonoregular,enel
cuallamedidadesuángulointernoesiguala8
veceslamedidadeunánguloexterno
m
i = 8(me )
Resolviendo:
n = 18 lados
Polígono de 18 lados
Polígono es regular:)
n
360
(8
n
)2n(180 




Problema Nº 23
Del enunciado:
Reemplazando por las propiedades:
Luego polígono es regular se denomina:
RESOLUCIÓN

26. Enunpolígono,lasumadelasmedidasdelos
ángulosexterioreseinterioreses1980°.Calculeel
totaldediagonalesdedichopolígono.
360°+ 180°( n -2 )= 1980°
Se+ S
i = 1980°
Resolviendo: n = 11 lados
Número de diagonales:2
)3n(n
N
D

 2
) 311 ( 11
N
D


N
D= 44
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 24
RESOLUCIÓN

27. Calculeelnúmerodediagonalesdeunpolígono
convexo,sabiendoqueeltotaldelasdiagonaleses
mayorquesunúmerodeladosen75.
Resolviendo:
n = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:2
)3n(n
N
D

 2
) 315 ( 15
N
D


N
D= 902
) 3n ( n
N
D= n + 75
= n + 75
n
2
-5n -150 = 0
Problema Nº 25
Del enunciado:
Reemplazando la propiedad:
RESOLUCIÓN

28. Siaunpolígonoregular,seleaumentaunlado,la
medidadesuángulointernoaumentaen12°;
entonceselnúmerodevérticesdelpolígonoes:
Resolviendo:
n = 5 lados
N
V= 5 vértices
Polígono es regular:
Polígono original: nlados
Polígono modificado: (n+1)lados1n
) 21n (180
12
n
) 2n (180




Número de lados = Número de vértices
Problema Nº 26
Del enunciado:
Reemplazando por la propiedad:
RESOLUCIÓN

29. Elnúmerototaldediagonalesdeunpolígono
regularesigualaltripledelnúmerodesus
vértices.Calculelamedidadeunángulocentralde
dichopolígono.
Resolviendo:n = 9 lados
m
c = 40°
Polígono es regular:2
)3n(n 
= 3n
Luego, la medida de un ángulo central:n
360
mc

 9
360
mc


Del enunciado:
RESOLUCIÓN
N
D = 3n
Reemplazando por la propiedad:
Problema Nº 27

30. EVALUACION
 MARCA LA RESPUESTA CORRECTA
1.-Cual es el polígono cuyo numero de diagonales es cinco veces el
numero de lados
a) 10 b) 12 c) 13 d) 15
2.-La suma de ángulos internos de un polígono convexo es de
900..Hallar su numero de diagonales
a)10 b) 12 c) 13 d) 14
3.-Hallar el ángulo central de un polígono regular sabiendo que tiene
170 diagonales
a)10º b) 12º c) 13º d) 18º
4.-cual es el polígono convexo, tal que al duplicar el numero de lados,
la suma de sus ángulos interiores se cuadruplica.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5