Proceso estocastico

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

1. Procesos Estocásticos
Simulación 2001
Profesor: Héctor Allende

2. Profesor Dr. Héctor
Allende
2
Introducción
•Las características de un fenómeno aleatorio puede ser
descrito a través de la distribución de probabilidad de una
variable aleatoria que representa el fenómeno.
•En la teoría de probabilidad, las propiedades estadísticas de
un fenómeno aleatorio que ocurre de manera aleatoria
respecto al tiempo no son considerados.

3. Profesor Dr. Héctor
Allende
3
Introducción
•Ejemplos de fenómenos aleatorios en el tiempo:
–Movimiento de una partícula en el movimiento
Browniano
–Emisión de fuentes radioactivas
–Flujo de corriente en un circuito eléctrico.
–Comportamiento de una onda en el oceano.
–Respuesta de un avión al viento y movimiento de un
barco en el mar.
–Vibración de un edificio causado por un temblor o
terremoto.

4. Profesor Dr. Héctor
Allende
4
Proceso Estocástico
•Definición: Una familia de variables aleatorias x(t)donde t
es el parámetro perteneciente a un conjunto indexado T es
llamado un proceso estocástico (o proceso aleatorio), y se
denota por:
también es definido como:
donde es el espacio muestral.}),({ Tttx },),,({ Tttx

5. Profesor Dr. Héctor
Allende
5
Proceso Estocástico
•Observación:
–Si tes fijo, x()es una familia de variables aleatorias.
(“ensemble”).
–Para fijo, x(t) es una función del tiempo llamada
“función muestrada”.)(
1
tx )(
2
tx )(
3
tx )(tx
k )(tx
n 1
t 2
t

6. Profesor Dr. Héctor
Allende
6
Proceso Estocástico
•Estado y tiempo discreto y continuo.Estado
Continuo Discreto
Continuo
Tiempo
Discreto

7. Profesor Dr. Héctor
Allende
7
Función de Medias
1. Sea un proceso estocástico, se llama función
de medias:
Obs: se dice que es un
proceso estocástico estable en media. }),({ Tttx ][)(
:)(
tx
x
xEtt
Tt



 Tt )]([)(  ctetxEt
x


8. Profesor Dr. Héctor
Allende
8
Función de Varianzas
2. Sea un proceso estocástico, se llama función
de varianzas:
Obs: se dice que es un proceso
estocástico estable en varianza. }),({ Tttx }][{(][)(
:)(
22
2
tttx
x
xExExVtt
Tt



 Ttctet
x
 )(
2


9. Profesor Dr. Héctor
Allende
9
Función de Autocovarianzas
3. Sea un proceso estocástico, se llama función
de varianzas: }),({ Tttx ))}())(({(
],[)(),(
:)(
21
2,121
21
2
1
txtxE
xxCovttCtt
TTtC
xtxt
ttxx
xx
 



10. Profesor Dr. Héctor
Allende
10
Función de Autocovarianza
•La función de Autocovarianza de un proceso
estocástico viene dado por:
donde
•Si está en función de las diferencias de tiempo:),(
21
ttC
xx 




n
k
kk
xx
txtxtxtx
txEtxtxEtxE
txtxCovttC
1
2211
2211
2121
)}()()}{()({
n
1

)])]([)()])(([)([(
)](),([),( 2,1 )(
1
)]([)(
1
 

itx
n
txEtx
n
k
i
k
ii )](),([)(   txtxCovR

11. Profesor Dr. Héctor
Allende
11
Función de Autocorrelación
3. Sea un proceso estocástico, se llama función
de varianzas: }),({ Tttx )()(
],[
)(),(
:)(
21
2,121
21
tt
xxCov
tttt
TTt
tt
x
x





signo arroba para copiar y pegar

12. Profesor Dr. Héctor
Allende
12
Distribución conjunta finito
dimensional
•Sea un espacio de probabilidad y un conjunto de
índices T, y un proceso estocástico.
El sistema:
es una “Distribución conjunta finito dimensional”),,( P TX: },,....,:{
1)(),...,(
1
 nTttFF
ntXtXX
n

13. Profesor Dr. Héctor
Allende
13
Proceso estocástico de 2°orden
•Sea Xun proceso estocástico, se dice de 2°orden ssi
o seaTt )]([
2
txE Tt )(
2
12
2
t

14. Profesor Dr. Héctor
Allende
14
1.-Proceso Estacionario
OBS:Las características de un proceso aleatorio son
evaluados basados en el ensemble.
a) Proceso Estocástico Estacionario Estricto:
–Si la distribución conjunta de un vector aleatorio n-
dimensional,
y
es la misma para todo , entonces el proceso
estocástico x(t)se dice que es un proceso estocástico
estacionario(o estado estacionario).
–Es decir, las propiedades estadísticas del proceso se
mantienen invariante bajo la traslación en el tiempo.)}(),....,(),({
21
txtxtx
n )}(),....,(),({
21
  txtxtx
n

15. Profesor Dr. Héctor
Allende
15
1.-Proceso Estacionario
b) Proceso Estocástico Evolucionario:
–Es aquel proceso estocástico que no es estacionario.
c) Proceso Estocástico Débilmente Estacionario:
–Un proceso estocástico se dice débilmente estacionario
(o estacionario en covarianza) si su función de valor
medio E[x(t)]es constante independiente de t y su
función de autocovarianza Cov[x(t),x(t+)]depende de
para todo t.

16. Profesor Dr. Héctor
Allende
16
2.-Proceso Ergódico
•Un proceso estocástico x(t)se dice que es un proceso
ergódico si el tiempo promedio de un simple registro es
aproximadamente igual al promedio de ensemble. Esto es:










continuo. tiempode procesoun para )(
1
discreto. tiempode procesoun para )(
1
)]([
0
1
dttx
T
tx
n
txE
T
n
i
i

17. Profesor Dr. Héctor
Allende
17
2.-Proceso Ergódico
•Obs:
–En general, las propiedades ergódicas de un proceso
estocástico se asume verdadera en el análisis de los
datos observados en ingeniería, y por lo tanto las
propiedades estadísticas de un proceso aleatorio puede
ser evaluado a partir del análisis de un único registro.

18. Profesor Dr. Héctor
Allende
18
3.-Proceso de Incrementos
Independientes
•Un proceso estocástico x(t)se dice que es un proceso de
incrementos independientes si , i=0,1,…, es
es estadísticamente independiente (Por lo tanto,
estadísticamente no correlacionado).
•Sea el proceso estocástico x(t) un proceso estacionario de
incrementos independientes. Entonces, la varianza de los
incrementos independientes , donde
,es proporcional a )()(
1 ii
txtx 
 )()(
12
txtx 21
tt 12
tt

19. Profesor Dr. Héctor
Allende
19
4.-Proceso de Markov
•Un proceso estocástico x(t)se dice que es un proceso de
Markov si satisface la siguiente probabilidad condicional:
•Cadena de Markov: Proceso de Markov con estado
discreto.
•Proceso de Difusión: Proceso de Markov con estado
continuo.
.... donde },)(|)({
})(,...,)(,)(|)({
12111
112211
nnnnnn
nnnn
ttttxtxxtxP
xtxxtxxtxxtxP





20. Profesor Dr. Héctor
Allende
20
4.-Proceso de Markov
•La ecuación anterior puede ser escrita como:
entonces se tiene:)}(|)({ )}(),...,(),(|)({
1121 

nnnn
txtxftxtxtxtxf )}(|)({)}({)}(),...,(),({
)}(),...,(),({)}(|)({
)}(),...,(),({
)}(),...,(),({)}(|)({
)}(),...,(),({)}(),...,(),(|)({
)}(),...,(),({
2
121
22121
121
1211
121121
21












n
r
rnin
nnn
n
nnn
nnn
n
txtxftxftxtxtxf
txtxtxftxtxf
txtxtxf
txtxtxftxtxf
txtxtxftxtxtxtxf
txtxtxf

21. Profesor Dr. Héctor
Allende
21
4.-Proceso de Markov
•Conclusión:
–La función de densidad de probabilidad conjunta de un
proceso de Markov puede ser expresado por medio de
las densidades marginales y un conjunto de
funciones de densidad de probabilidad condicional
,el cual es llamado densidad de
probabilidad de transición.
•Un proceso de Markov se dice Homogeneo en el tiempo si
la densidad de probabilidad de transición es invariante en
el tiempo :)}({
1
txf )}(|)({
1rrtxtxf )}(|)({)}(|)({
11  
rrrr txtxftxtxf 

22. Profesor Dr. Héctor
Allende
22
5.-Proceso de Conteo
•Un proceso estocástico de tiempo continuo y valores
enteros se llama proceso de conteo de la serie de eventos si
N(t) representa el número total de ocurrencias de un evento
en el intervalo de tiempo t=0a t.
N(t)
Time
4
3
2
1
0
t
1t
2 t
3
T
1 T
2T
3 T
4
Intervalos de tiempo
entre sucesivas
ocurrencias

23. Profesor Dr. Héctor
Allende
23
5.-Proceso de Conteo
•Proceso de renovación (Renewal Process):
–Los tiempos entre llegadas son v.a. i.i.d.
•Proceso de Poisson:
–Proceso de renovación en la cual los tiempos entre
llegadas obedecen una distribución exponencial.

24. Profesor Dr. Héctor
Allende
24
6.-Proceso de Banda-Angosta
•Un proceso estocástico de tiempo continuo y estado
estacionario x(t)es llamado un proceso de banda angosta si
x(t)puede ser expresado como:
donde 
0 = constante . La amplitud A(t), y la fase (t)son
variables aleatorias cuyo espacio de muestreo son
0A(t) y 0 (t) 2, respectivamente.)}(cos{)()(
0ttAtx  0
2

 0
2

 0
2

 0
2

 0
2



25. Profesor Dr. Héctor
Allende
25
7.-Proceso Normal(Gaussiano)
•Un proceso estocástico x(t)se dice que es un proceso
normal (o gaussiano) si para cualquier tiempo t, la variable
aleatoria x(t)tiene distribución Normal.
•Obs:
–Un proceso normal es importante en el análisis
estocástico de un fenómeno aleatorio observado en las
ciencias naturales, ya que muchos fenomenos aleatorios
pueden ser representados aproximadamente por una
densidad de probabilidad normal. Ejm: movimiento de
la superficie del oceano.

26. Profesor Dr. Héctor
Allende
26
8.-Proceso de Wiener-Lévy
•Un proceso estocástico x(t)se dice que es un proceso de
Wiener-Lévy si:
i) x(t) tiene incrementos independientes estacionarios.
ii) Todo incremento independiente tiene distribución
normal.
iii) E[x(t)]=0 para todo el tiempo.
iv) x(0)=0
•Se conoce como Proceso de movimiento Browniano el
cual describe el movimiento de pequeñas particulas
inmersas en un líquido o gas.

27. Profesor Dr. Héctor
Allende
27
8.-Proceso de Wiener-Lévy
•Se puede demostrar que la varianza de un proceso Wiener-
Lévy aumenta linealmente con el tiempo.

28. Profesor Dr. Héctor
Allende
28
9.-Proceso de Poisson
•Un proceso de conteo N(t)se dice que es un proceso de
Poisson con razón media (o intensidad) si:
i) N(t)tiene incrementos independientes estacionarios.
ii) N(0)=0
iii) El número de la longitud en cualquier intervalo de
tiempo está distribuido como Poisson con media . Esto
es:
también es llamado como proceso de incremento de
Poisson.,...2,1,0 ,
!
()
})()({ 

k
k
ektNtNP
k




29. Profesor Dr. Héctor
Allende
29
9.-Proceso de Poisson
•Para un proceso estocástico de incrementos
independientes, se tiene la siguiente función de
autocovarianza:
•Si x(t) tiene distribución de Poisson, entonces:
Por lo tanto un proceso de incremento de Poisson es
estacionario en covarianza.

 

e.t.o.c 0
0 para )]()([
)](),([
1221
21
 tttNtNVar
txtxCov 

 

e.t.o.c 0
0 para ))(()(
)](),([
121221
21
 tttttt
txtxCov

30. Profesor Dr. Héctor
Allende
30
10.-Proceso de Bernoulli
•Considerar una serie de intentos independientes con dos
salidas posibles: éxito o fracaso. Un proceso de conteo X
n
se llama proceso de Bernoulli si X
nrepresenta el número
de éxitos en n intentos.
Si p es la probabilidad de éxito, la probabilidad de k éxitos
dado n intentos está dado por la distribución binomial:pqqp
k
n
kXP
knk
n 










1 donde ,}{

31. Profesor Dr. Héctor
Allende
31
11.-Proceso Ruido Blanco
•Sea un p.e., se llama ruido blanco ssi:
i.
ii.
•Obs:
1.El ruido blanco es un proceso estocástico estacionario
(por construcción).
2.Si , en tal caso el ruido
blanco se dice Gaussiano.
3.Si son independientes
entonces es ruido blanco puroTtta
)}({ 0)]([taE 

 

e.t.o.c. 0
ts si 1
],[
stst
aaCov  TtNta
a
 ),0(~)(
2
 Tttt
n
,...,,
21

32. Profesor Dr. Héctor
Allende
32
12.-Proceso de Medias Móviles
•Sea un p.e., se dice de media móvil de orden
q ssi:
donde
y es ruido blanco.
•Notación:}),({ Tttx qtqtttt
aaaax

  .....
2211 0 ,,....,
1

qq
 Ttta
)}({ )(~qMAX

33. Profesor Dr. Héctor
Allende
33
13.-Proceso Autoregresivo
•Sea un p.e., se dice autoregresivo de orden p
ssi:
donde
y es ruido blanco.
•Notación:}),({ Tttx tptpttt axxxx 
  ...
2211 0 ,,....,
1

pp
 Ttta
)}({ )(~ pARX

34. Profesor Dr. Héctor
Allende
34
14.-Proceso ARMA
•Sea un p.e., se dice autoregresivo de media
móvil de orden (p,q) ssi:
donde
y es ruido blanco.
•Notación:}),({ Tttx qtqttptptt aaaxxx
   ......
1111 0 ,0 ,,...,,,....,
11 
qpqp  Ttta
)}({ ),(~ qpARMAX

35. Profesor Dr. Héctor
Allende
35
Bibliografía
•Applied Probability & Stochastic Processes.
Michel K. Ochi.
•Applied Probability Models with Optimization
Applications.
Sheldon M. Ross.

36. ¿Consultas o Preguntas?