Producto cartesiano

1. El producto cartesiano tiene como eje central el trabajo de conjuntos, ya sea de
números o de otras entidades. Para esto debemos tener claro además, cuales son
los conjuntos de los números y sus propiedades. (Figura 2.1)

Un conjunto es una lista, colección o agrupación de objetos bien definidos, los que
se llaman elementos, y se escriben entre llaves separados por comas. Un conjunto
puede ser descrito de dos formas:
i) Por Extensión: Cuando se indican todos los elementos que lo forman.
ii) Por Comprensión: Cuando se indican sus elementos por medio de una
propiedad precisa, que permita identificarlos a todos ellos y sólo a ellos.
El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de
dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Números
Reales
Racionales
Enteros
Naturales o
Positivos
Naturales y
el cero
Negativos
Fraccionarios
Decimales
exactos
Decimales
periodicos
Puros
Mixtos
Irracionales

2.1 PRODUCTO CARTESIANO

Figura 2.1 Conjuntos Numéricos

2. Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos
una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:
Podemos definir la relación como La correspondencia que hay entre TODOS o
ALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS elementos del
segundo conjunto.

Cuando hablamos de relaciones en las matemáticas no es un concepto tan lejano
a lo que se conoce como una relación entre otros entes (personas, objetos, etc.);
hablamos de la relación que existe entre Chile y Argentina, una relación que los
une, es “estar dentro del mismo continente”; o tal vez hablar de la relación que
existe entre un colegio y un grupo de adolescentes que pertenecen al
establecimiento, la relación es “ser estudiante del Colegio”. Ahora bien, en
matemática, el concepto no es tan lejano a lo que se ha comentado. Una relación
matemática debe tener presente el Plano Cartesiano, (Figura 2.2). Que está
compuesto por el eje (eje de las abscisas) y el eje (eje de las ordenadas).
Cuando se trabaja con el plano cartesiano, se está trabajando con pares
ordenados, , donde es la primera componente e es la segunda
componente. En el plano cartesiano se ubican puntos mediante pares ordenados
, representa un punto donde es la posición del eje de las abscisas e , es
la posición del eje de las ordenas, estas se grafican como se muestran en la
(Figura 2.3). El par ordenado , representa un único punto en el plano
cartesiano, y un punto está representado por un único par ordenado.

3. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
I CuadranteII Cuadrante
III Cuadrante IV Cuadrante
I CuadranteII Cuadrante
IIICuadranteIV Cuadrante

El plano cartesiano, es un sistema de
referencia respecto a dos ejes que se
cortan en un punto llamado origen de
coordenadas. En el plano, las
coordenadas cartesianas (o
rectangulares) son las abscisas y las
ordenadas respectivamente. Las
abscisas son las primeras
componentes del par ordenado y las
ordenadas las segundas componentes.
-4-3-2-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
X
Y
(3,5)
(-2,-3)

Puntos localizados en el plano
cartesiano.

Para poder entender las funciones, debemos comprender el “Producto
Cartesiano”, su definición, sus propiedades y la importancia de ésta en la ciencia
de las matemáticas.
Figura 2.2 Plano Cartesiano Figura 2.3 Puntos en el Plano
Cartesiano

4. Definición Nº1: Producto Cartesiano
Dado dos conjuntos , se llama Producto Cartesiano de en ese orden
simbolizado por , al conjunto de todos los pares ordenados cuyas primeras
componentes pertenecen al conjunto y las segundas componentes pertenecen
al conjunto .
Por comprensión:


EJEMPLO Nº1:
Si entonces:


Luego, notemos que y .
Observación:

EJEMPLO Nº2:
Si
Por extensión:
Por compresión:
Se representa gráficamente como lo muestra la figura 2.4.


(Figura 3.)

5. -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
X
Y
(0,-1)
(0,0)
(1,-1)
(1,0)
(2,-1)
(2,0)

Si el conjunto tiene elementos y el conjunto tiene elementos, entonces la
cantidad de pares ordenados que existe en el producto cartesiano es
( ). Es decir, si es la cardinalidad (cantidad de elementos) de y la de
tenemos que si y entonces

Del ejemplo anterior, notemos que:

Observación: Si o bien entonces
EJEMPLO Nº3:
Si (números naturales múltiplos de 2) y
Entonces,
Por comprensión:
Por extensión:
Figura 2.4 Producto Cartesiano de

6. Notemos que:

Luego
2.1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO
La representación grafica del producto cartesiano puede darse de dos maneras, a
través del plano cartesiano o a través de la representación del diagrama sagital.
Al graficar en el plano cartesiano, debemos considerar los conjuntos en los cuales
estamos trabajando. El producto cartesiano pueden resultar ser: puntos,
segmentos, rectas, rayos o regiones rectangulares.
EJEMPLO Nº4:
Sea Notemos que


-1 1
1
2
3
Y
y
(-1,0)
(-1,1)
(-1,2)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(1,0)
(1,1)
(1,2)


Figura 2.5 Representación
Gráfica de

7. EJEMPLO Nº5:
Si y

-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
X
Y

Sea Luego el producto cartesiano
.La
representación sagital viene dada por la figura 2.7


A B
Figura 2.6 Representación Gráfica en el
plano de la región
Figura 2.7 Representación Sagital

8. Producto Cartesiano de
El producto cartesiano definido sobre , significa tomar como primera componente
un elemento del conjunto A y como segunda componente también un elemento del
conjunto A. Esto es:

EJEMPLO Nº5:
El producto cartesiano definido en el conjunto viene dado por
Escrito por Comprensión:
Escrito por Extensión:

2.1.2 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO
Sean y , conjuntos no vacíos, se cumple que:
(a)
El producto cartesiano de dos conjuntos , es vacio si, y sólo si uno de los
conjuntos es vacio.
(b)
El producto cartesiano de dos conjuntos es conmutativo si, y sólo si uno de
los conjuntos es vacío.
(c) Distributividad del producto cartesiano respecto a:
i. (La unión)

ii. (La intersección)

iii. (La diferencia)