Producto punto

1. Producto punto
El p r o d u c t o p u n t o o p r o d u c t o e s c a l a r de d o s v e c t o r e s e s u n
n ú m e r o r e a l q u e r e s u l t a a l m u l t i p l i c a r e l p r o d u c t o d e s u s m ó d u l o s p o r
e l c o s e n o d e l á n g u l o q u e f o r m a n.

E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l p r o d u c t o p u n t o

E j e m p l o
H a l l a r e l p r o d u c t o p u n t o d e d o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s e n u n a
b a s e o r t o n o r m a l s o n : ( 1 , 1 / 2 , 3 ) y ( 4 , − 4 , 1 ) .
( 1 , 1 / 2 , 3 ) · ( 4 , − 4 , 1 ) = 1 · 4 + ( 1 / 2 ) · ( − 4 ) + 3 · 1 = 4 − 2 + 3 =
5

E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l m ó d u l o d e u n v e c t o r

H a l l a r e l v a l o r d e l m ó d u l o d e u n v e c t o r d e c o o r d e n a d a s = ( − 3, 2 ,
5 ) e n u n a b a s e o r t o n o r m a l .

E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l á n g u l o d e d o s v e c t o r e s

2. D e t e r m i n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s v e c to r e s = ( 1 , 2 , − 3 ) y =
( − 2 , 4 , 1 ) .



V e c t o r e s o r t o g o n a l e s
D o s v e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s s i s u p r o d u c t o e s c a l a r e s 0.

E j e m p l o
C a l c u l a r l o s v a l o r e s x e y p a r a q u e e l v e c t o r ( x , y , 1 ) s e a o r t o g o n a l a
l o s v e c t o r e s ( 3 , 2 , 0 ) y ( 2 , 1 , − 1 ) .



P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o p u n t o
1C o n m u t a ti v a

3. 2 A s o c i a t i v a

3 D i s t r i b u t i v a

4
E l p r o d u c t o e s c a l a r d e u n v e c t o r n o n u l o p o r s í m i s m o s i e m p r e
e s p o s i t i v o .


I n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a d e l p r o d u c t o p u n t o
E l p r o d u c t o d e d o s v e c t o r e s n o n u l o s e s i g u a l a l m ó d u l o d e u n o
de e l l o s p o r l a p r o y e c c i ó n d e l o t r o s o b r e é l .

4. O A ' e s l a p r o y e c c i ó n e s c a l a r d e s o b r e e l v e c t o r .
E l v e c t o r p r o y e c c i ó n s e c a l c u l a m u l t i p l i c a n d o l a p r o y e c c i ó n e s c a l a r
p o r u n v e c t o r u n i t a r i o d e , d e m o d o q u e o b t e n e m o s o t r o v e c t o r c o n l a
m i s m a d i r e c c i ó n .

E j e r c i c i o
D a d o s l o s v e c t o r e s y h a l l a r :
1. L o s m ó d u l o s d e y ·


2. E l p r o d u c t o e s c a l a r d e y ·

3. E l á n g u l o q u e f o r m a n .

5. 4. E l v a l o r d e m p a r a q u e l o s v e c t o r e s y s e a n
o r t o g o n a l e s .