Producto punto

ccccccccc

1. Producto punto
El p r o d u c t o p u n t o o p r o d u c t o e s c a l a r d e d o s v e c t o r e s e s u n
n ú m e r o r e a l q u e r e s u l t a a l m u l t i p l i c a r e l p r o d u c t o d e s u s m ó d u l o s
p o r e l c o s e n o d e l á n g u l o q u e f o r m a n.

E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l p r o d u c t o p u n t o

E j e m p l o
H a l l a r e l p r o d u c t o p u n t o d e d o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s e n
u n a b a s e o r t o n o r m a l s o n : ( 1 , 1 / 2 , 3 ) y ( 4 , − 4 , 1 ) .
( 1 , 1 / 2 , 3 ) · ( 4 , − 4 , 1 ) = 1 · 4 + ( 1 / 2 ) · ( − 4 ) + 3 · 1 = 4 − 2 + 3
= 5

E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l m ó d u l o d e u n v e c t o r

H a l l a r e l v a l o r d e l m ó d u l o d e u n v e c t o r d e c o o r d e n a d a s =
( − 3 , 2 , 5 ) e n u n a b a s e o r t o n o r m a l .

E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l á n g u l o d e d o s v e c t o r e s

2. D e t e r m i n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s v e c t o r e s = ( 1 , 2 , − 3 ) y
= ( − 2 , 4 , 1 ) .



V e c t o r e s o r t o g o n a l e s
D o s v e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s s i s u p r o d u c t o e s c a l a r e s 0.

E j e m p l o
C a l c u l a r l o s v a l o r e s x e y p a r a q u e e l v e c t o r ( x , y , 1 ) s e a
o r t o g o n a l a l o s v e c t o r e s ( 3 , 2 , 0 ) y ( 2 , 1 , − 1 ) .



P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o p u n t o
1C o n m u t a t i v a

2 A s o c i a t i v a

3. 3 D i s t r i b u t i v a

4
E l p r o d u c t o e s c a l a r d e u n v e c t o r n o n u l o p o r s í m i s m o
s i e m p r e e s p o s i t i v o .


I n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a d e l p r o d u c t o p u n t o
E l p r o d u c t o d e d o s v e c t o r e s n o n u l o s e s i g u a l a l m ó d u l o d e
u n o d e e l l o s p o r l a p r o y e c c i ó n d e l o t r o s o b r e é l .



O A ' e s l a p r o y e c c i ó n e s c a l a r d e s o b r e e l v e c t o r .
E l v e c t o r p r o y e c c i ó n s e c a l c u l a m u l t i p l i c a n d o l a p r o y e c c i ó n e s c a l a r
p o r u n v e c t o r u n i t a r i o d e , d e m o d o q u e o b t e n e m o s o t r o v e c t o r c o n l a
m i s m a d i r e c c i ó n .

4. E j e r c i c i o
D a d o s l o s v e c t o r e s y h a l l a r :
1. L o s m ó d u l o s d e y ·


2. E l p r o d u c t o e s c a l a r d e y ·

3. E l á n g u l o q u e f o r m a n .


4. E l v a l o r d e m p a r a q u e l o s v e c t o r e s y
s e a n o r t o g o n a l e s .

Aaapaarteeee
Producto escalar
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5. En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno,
interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida
sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o
número.
Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:


donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , se obtendrá un
escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de
escalares .
En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal
(p.e., la base canónica de ), el producto escalar de dos vectores y con
componentes y puede calcularse
sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:
= =
=

Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo, por componentes,
corresponde a:
= =
=

Apaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaarte
Producto escalar
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En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno,
interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida
sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o
número.

6. Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:


donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , se obtendrá un
escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de
escalares .
En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal
(p.e., la base canónica de ), el producto escalar de dos vectores y con
componentes y puede calcularse
sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:
= =
=

Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo, por componentes,
corresponde a:
= =
=

Apaaaarte
Definición

7. Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores y en el espacio vectorial ℝ
3
. El producto vectorial entre y da
como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario
especificar su módulo y dirección:
El módulo de está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla
de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también
producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es
frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente
manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada
por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de
la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
[editar] Producto vectorial de dos vectores

8. Sean y dos vectores concurrentes
de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de
orden 3 por la primera fila, también decimos:

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el
primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el
de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
Con la notación matricial esto se puede escribir:

[editar] Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se calcula del
siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

9. Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando
el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de
vectores).
[editar] Propiedades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. Si y , entonces implica que ; esto es, la anulación
del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. .
4. , conocida como regla de la expulsión.
5. , conocida como
identidad de Jacobi.
6. , siendo θ el ángulo menor entre los vectores y ; esta
expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen
ambos vectores.
7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y
.
[editar] Bases ortonormales y producto vectorial
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ
3
. Se dice que
S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto,
dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano
derecha.
[editar] Vectores axiales
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra
mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto
a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se
llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente
formado de tres componentes es un vector físico.
[editar] Dual de Hodge
Artículo principal: Dual de Hodge

10. En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción
de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto
de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto
vectorial es simplemente:

Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
[editar] Generalización
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede
generalizarse a n dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan n − 1
vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos
dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y
el resultado es un vector ortogonal.
Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado
por:

Producto cruz

E l p r o d u c t o c r u z o p r o d u c t o v e c t o r i a l de d o s v e c t o r e s e s o t r o
v e c t o r c u y a d i r e c c i ó n e s p e r p e n d i c u l a r a l o s d o s v e c t o r e s y s u
s e n t i d o s e r í a i g u a l a l a v a n c e d e u n s a c a c o r c h o s a l g i r a r d e u a v . S u
m ó d u l o e s i g u a l a :

11. E l p r o d u c t o c r u z s e p u e d e e x p r e s a r m e d i a n t e u n d e t e r m i n a n t e:

E j e m p l o s
C a l c u l a r e l p r o d u c t o c r u z d e l o s v e c t o r e s = ( 1 , 2 , 3 ) y =
( − 1 , 1 , 2 ) .


D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r e l
p r o d u c t o c r u z d e d i c h o s v e c t o r e s . C o m p r o b a r q u e e l v e c t o r h a l l a d o e s
o r t o g o n a l a y .

12. E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e e s o r t o g o n a l a l o s v e c t o r e s y .

Á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o
G e o m é t r i c a m e n t e , e l m ó d u l o d e l p r o d u c t o c r u z d e d o s v e c t o r e s
c o i n c i d e c o n e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s a e s o s
v e c t o r e s .


E j e m p l o
D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r e l á r e a
d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s l o s v e c t o r e s y ·


Á r e a d e u n t r i á n g u l o

13. E j e m p l o
D e t e r m i n a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s
A ( 1 , 1 , 3 ) , B ( 2 , − 1 , 5 ) y C ( − 3 , 3 , 1 ) .






P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o c r u z
1. A n t i c o n m u t a t i v a

14. x = − x
2. H o m o g é n e a
λ ( x ) = (λ) x = x ( λ)
3. D i s t r i b u t i v a
x ( + ) = x + x ·
4. E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e s p a r a l e l o s e s i g u a l a l
v e c t o r n u l o .
x =
5. E l p r o d u c t o v e c t o r i a l x e s p e r p e n d i c u l a r a y a .
Apaaaaaatre

15. Fórmulas trigonométricas

17. Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1H a l l a r e l s i m é t r i c o d e l p u n t o A ( 4 , - 2 ) r e s p e c t o d e M ( 3 , - 1 1 ) .
2D a d o s d o s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o A ( 2 , 1 ) , B ( 1 , 0 ) y e l b a r i c e n t r o
G ( 2 / 3 , 0 ) , c a l c u l a r e l t e r c e r v é r t i c e .
3D a d o s l o s p u n t o s A ( 3 , 2 ) y B ( 5 , 4 ) h a l l a u n p u n t o C , a l i n e a d o c o n A y
B , d e m a n e r a q u e s e o b t e n g a
4C a l c u l a l a s c o o r d e n a d a s d e D p a r a q u e e l c u a d r i l á t e r o d e v é r t i c e s : A (-1 ,
-2 ) , B ( 4 , -1 ) , C ( 5 , 2 ) y D ; s e a u n p a r a l e l o g r a m o .
5 S i { , } f o r m a u n a b a s e o r t o n o r m a l , c a l c u l a r :
1 ·
2 ·
3 ·
4 ·
6 D a d o s l o s v e c t o r e s = ( 2 , k ) y = ( 3 , - 2 ) , c a l c u l a k p a r a q u e l o s
v e c t o r e s y s e a n :
1 P e r p e n d i c u l a r e s .
2 P a r a l e l o s .
3 F o r m e n u n á n g u l o d e 6 0 ° .
7 C a l c u l a r e l v a l o r d e k s a b i e n d o q u e

8 S u p o n i e n d o q u e r e s p e c t o d e l a b a s e o r t o n o r m a l { , } d e l p l a n o l o s
v e c t o r e s t i e n e n c o m o e x p r e s i o n e s :

18. C a l c u l a r e l v a l o r d e k p a r a q u e l o s d o s v e c t o r e s s e a n
o r t o g o n a l e s