Producto vectorial y mixto

Introducción al producto vectorial y mixto entre vectores del espacio.

2. Se llama producto vectorial o cruz de dos
vectores � y � de ℝ
3
al vector que tiene las
siguientes características:

3. Se llama producto vectorial o cruz de dos
vectores � y � de ℝ
3
al vector que tiene las
siguientes características:
a) su dirección es perpendicular al plano
determinado por � y �

4. Se llama producto vectorial o cruz de dos
vectores � y � de ℝ
3
al vector que tiene las
siguientes características:
a) su dirección es perpendicular al plano
determinado por � y �
b) su sentido está determinado por la regla de
la mano derecha

5. Se llama producto vectorial o cruz de dos
vectores � y � de ℝ
3
al vector que tiene las
siguientes características:
a) su dirección es perpendicular al plano
determinado por � y �
b) su sentido está determinado por la regla de
la mano derecha
c) su módulo es el producto de los módulos de
ambos vectores por el seno del ángulo que
ellos forman.

6. Regla de la mano derecha
Si queremos obtener � x � colocamos la mano
derecha con los dedos extendidos según el
sentido de � y la palma
de tal manera que �
salga de ella.

7. Regla de la mano derecha
Si queremos obtener � x � colocamos la mano
derecha con los dedos extendidos según el
sentido de � y la palma
de tal manera que �
salga de ella. Luego
rotamos los dedos
hacia el �.

8. Regla de la mano derecha
Si queremos obtener � x � colocamos la mano
derecha con los dedos extendidos según el
sentido de � y la palma
de tal manera que �
salga de ella. Luego
rotamos los dedos
hacia el �. El pulgar
nos indicará el sentido
que buscamos.

10. Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:

11. Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
Si analizamos el módulo del producto vectorial
| � x � |=| � |.| � | . sen (� ; � ) = 1 .1. 0 = 0

12. Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
Si analizamos el módulo del producto vectorial
| � x � |=| � |.| � | . sen (� ; � ) = 1 .1. 0 = 0
Nos indica que obtenemos un vector de módulo
cero, o sea, el nulo.

13. Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
Si analizamos el módulo del producto vectorial
| � x � |=| � |.| � | . sen (� ; � ) = 1 .1. 0 = 0
Nos indica que obtenemos un vector de módulo
cero, o sea, el nulo. Análogamente
|� x � |=| � |.| � | . sen (� ; � ) = 1 .1. 0 = 0

14. Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
Si analizamos el módulo del producto vectorial
| � x � |=| � |.| � | . sen (� ; � ) = 1 .1. 0 = 0
Nos indica que obtenemos un vector de módulo
cero, o sea, el nulo. Análogamente
|� x � |=| � |.| � | . sen (� ; � ) = 1 .1. 0 = 0
|?????? x ??????|=| ?????? |.| ?????? | . sen (??????; ??????) = 1 .1. 0 = 0

15. Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
Si analizamos el módulo del producto vectorial
| � x � |=| � |.| � | . sen (� ; � ) = 1 .1. 0 = 0
Nos indica que obtenemos un vector de módulo
cero, o sea, el nulo. Análogamente
|� x � |=| � |.| � | . sen (� ; � ) = 1 .1. 0 = 0
|?????? x ??????|=| ?????? |.| ?????? | . sen (??????; ??????) = 1 .1. 0 = 0
Por lo tanto: «el producto vectorial entre dos
vectores no nulos paralelos es el vector nulo».

16. Sigamos analizando el producto vectorial entre
los vectores fundamentales.

17. Sigamos analizando el producto vectorial entre
los vectores fundamentales.
El producto vectorial
entre � y � dará por
resultado un versor
perpendicular al plano
xy con igual sentido
que el semieje positivo
del eje z, entonces
� x � = ??????

18. El producto vectorial
entre � y ?????? dará por
resultado un versor
perpendicular al plano
yz con igual sentido
que el semieje positivo
del eje x, entonces
� � ?????? = �

19. El producto vectorial
entre ?????? � � dará por
resultado un versor
perpendicular al plano
xz con igual sentido
que el semieje positivo
del eje y, entonces
?????? x � = �

20. Propiedades:
Sean � , � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ

21. Propiedades:
Sean � , � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) � � � = - (� � � )

22. Propiedades:
Sean � , � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) � � � = - (� � � )
b) � � (� + � ) = � �� + � x �

23. Propiedades:
Sean � , � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) � � � = - (� � � )
b) � � (� + � ) = � �� + � x �
c) (� + �) x � = � �� + � x �

24. Propiedades:
Sean � , � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) � � � = - (� � � )
b) � � (� + � ) = � �� + � x �
c) (� + �) x � = � �� + � x �
d) k . (� x �) = (k .� )� �= � � ( ?????? .� )

25. Propiedades:
Sean � , � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) � � � = - (� � � )
b) � � (� + � ) = � �� + � x �
c) (� + �) x � = � �� + � x �
d) k . (� x �) = (k .� )� �= � � ( ?????? .� )
e) � � ??????= ?????? x � = ??????

26. Propiedades:
Sean � , � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) � � � = - (� � � )
b) � � (� + � ) = � �� + � x �
c) (� + �) x � = � �� + � x �
d) k . (� x �) = (k .� )� �= � � ( ?????? .� )
e) � � ??????= ?????? x � = ??????
f) � � � = ??????

27. Estudio analítico
Sean � y � ϵ ℝ
3

28. Estudio analítico
Sean � y � ϵ ℝ
3

Sean las componentes escalares de ambos
vectores las siguientes:
� = ( �
1 ; �
2; �
3) y � = ( �
1 ; �
2; �
3)

29. Estudio analítico
Sean � y � ϵ ℝ
3

Sean las componentes escalares de ambos
vectores las siguientes:
� = ( �
1 ; �
2; �
3) y � = ( �
1 ; �
2; �
3)

Si los expresamos por sus componentes
vectoriales tendremos:
� = �
1 � + �
2 � + �
3 ?????? y � = �
1 � + �
2 � + �
3 ??????

30. El producto vectorial será

� x � = (�
1 � + �
2 � + �
3 ?????? ) x ( �
1 � + �
2 � + �
3 ??????)

31. El producto vectorial será

� x � = (�
1 � + �
2 � + �
3 ?????? ) x ( �
1 � + �
2 � + �
3 ??????)

Aplicando las propiedades del producto
vectorial llegamos a:

� x � = (�
2 �
3 - �
3 �
2) � + ( �
3 �
1 - �
1 �
3 ) � +
+ (�
1 �
2- �
2�
1) ?????? ①

32. Si calculamos el siguiente determinante
�
�
1
�
1
�
�
2
�
2
??????
�
3
�
3

33. Si calculamos el siguiente determinante
�
�
1
�
1
�
�
2
�
2
??????
�
3
�
3

Obtenemos
�
�
1
�
1
�
�
2
�
2
??????
�
3
�
3
= (�
2 �
3 - �
3 �
2) � + ( �
3 �
1 - �
1 �
3 ) � +
+ (�
1 �
2- �
2�
1) ?????? ②

34. Observemos que ① = ②
Por lo tanto podemos hallar el producto vectorial
calculando el determinante

35. Observemos que ① = ②
Por lo tanto podemos hallar el producto vectorial
calculando el determinante:

� x � =
�
�
1
�
1
�
�
2
�
2
??????
�
3
�
3

36. Interpretación geométrica
El módulo del producto vectorial de dos
vectores no nulos es igual al área del
paralelogramo que tiene por lados a ambos
vectores.

área ?????? = | � x � |

37. área ?????? = | � |. h = | � | | � | sen ?????? = | � x � |

38. Algunas aplicaciones

39. Algunas aplicaciones

40. El producto mixto de los vectores �, � y � de
ℝ
3
es el número real que se obtiene al hacer
el producto escalar del primer vector por el
producto vectorial de los otros dos.

� . ( � x �)

41. El producto mixto de los vectores �, � y � de
ℝ
3
es el número real que se obtiene al hacer
el producto escalar del primer vector por el
producto vectorial de los otros dos.

� . ( � x �)

Se representa: [ � ,� , �] = � . ( � x �)

42. Sean �, � y � tales que:
�= ( �
1;�
2;�
3)
� = ( �
1;�
2;�
3)
� = ( �
1;�
2;�
3)
Para calcular el producto mixto podemos
realizar los productos indicados

43. Sean �, � y � tales que:
�= ( �
1;�
2;�
3)
� = ( �
1;�
2;�
3)
� = ( �
1;�
2;�
3)
Para calcular el producto mixto podemos
realizar los productos indicados o calcular el
siguiente determinante:

� . ( � x �) =
�
1
�
1
�
1
�
2
�
2
�
2
�
3
�
3
�
3

44. Propiedades
Sean �, � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ

45. Propiedades
Sean �, � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) [ � ,� , �] = O  �, � y � son coplanares

46. Propiedades
Sean �, � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) [ � ,� , �] = O  �, � y � son coplanares
b) [ � ,� , �] = [ �, � ,� ] = [� , �,�] (cíclico)

47. Propiedades
Sean �, � y � ϵ ℝ
3
, k ϵ ℝ
a) [ � ,� , �] = O  �, � y � son coplanares
b) [ � ,� , �] = [ �, � ,� ] = [� , �,�] (cíclico)
c) k .[ � ,� , �] = [k � ,� , �] = [ � ,??????� , �] =
= [ � ,� , k�]

48. Interpretación geométrica
El valor absoluto del producto mixto representa
el volumen del paralelepípedo que tiene por
aristas a los tres vectores concurriendo en un
vértice.

49. El volumen del paralelepípedo es:
V = (cant sup base) . h

50. El volumen del paralelepípedo es:
V = (cant sup base) . h
Llamemos ?????? al ángulo entre � y ( � x �)

51. El volumen del paralelepípedo es:
V = (cant sup base) . h
Llamemos ?????? al ángulo entre � y ( � x �)
Como hemos visto área ?????? = | � x � |

52. El volumen del paralelepípedo es:
V = (cant sup base) . h
Llamemos ?????? al ángulo entre � y ( � x �)
Como hemos visto área ?????? = | � x � |
Por lo tanto
V = | � x � | . h ③

53. El volumen del paralelepípedo es:
V = (cant sup base) . h
Llamemos ?????? al ángulo entre � y ( � x �)
Como hemos visto área ?????? = | � x � |
Por lo tanto
V = | � x � | . h ③
Además
cos ?????? =
ℎ
| ??????|
④

54. Entonces
h = | �| . cos ?????? ⑤
Reemplazando ⑤ en ③ nos queda:
V = || � x � |. | �| . cos ?????? |
Que es lo ismo que
V = ||| �| .| � x � |. cos ?????? ||
Obtuvimos el módulo de un
producto escalar

V = | � .(� x � )|