Productos notables y factorización

1. Unidad 4. Productos Notables y Factorización.

 Productos Notables.
 Productos Notables. Son aquellas multiplicaciones de expresiones
algebraicas, cuyos productos tienen características muy específicas y
que nos permite realizar dichas multiplicaciones de manera más rápida
aplicando la propiedad distributiva.

 Producto de binomios conjugados.

٠ Binomios Conjugados: Se denominan binomios conjugados aquellos
binomios en donde los términos de uno y los términos del otro difieren
sólo en un signo.
Ejemplos:
1) 4x – 1 y 4x + 1, son binomios conjugados.
2) 6m
2
+ 7n y 6m
2
– 7n, son binomios conjugados

Pasos para obtener el producto de dos binomios conjugados,

1) Eleva al cuadrado el primer término de los binomios conjugados.
2) Coloca el signo negativo (–).
3) Eleva al cuadrado el segundo término de los binomios conjugados.

(a + b) (a – b) = (a)
2
– (b)
2
= a
2
– b
2




Al producto obtenido de la multiplicación de binomios conjugados se le
denomina diferencia de cuadrados porque es la diferencia o resta de dos
términos cuadrados exactos.

Binomios
Conjugados
Diferencia de
Cuadrados

2. Ejemplos:
1) Obtén el producto de:
(3x + 5) (3x – 5) = (3x)
2
– (5)
2
= 9x
2
– 25
2) Obtén el producto de:
(mn – 6p) (mn + 6p) = (mn)
2
– (6p)
2
= m
2
n
2
– 36p
2

3) Obtén el producto de:
(11z + 1) (11z – 1) = (11z)
2
– (1)
2
= 121z
2
– 1
4) Obtén el producto de:
(





)(





) (


)

(


)












Ejercicio 9.
Efectúa los siguientes productos de binomios conjugados.
1) (y + 5) ( y – 5 ) =

2) (2a
4
+ 3b
5
) (2a
4
– 3b
5
) =
3) (p + 4q) ( p – 4q) =


4) (8x
2
+ y)(8x
2
– y)=
5) (5e + f) (5e – f) =

6) (7m
4
+ 4n
2
)(7m
4
– 4n
2
)=

7) (3x + 6z) (3x –6z) =

8) (7v + 9w)(7v – 9w)=

3. 9) (





)(





) 10) (









)(









)



 Cuadrado de un binomio

٠ Binomio elevado al cuadrado: La expresión (a + b)
2
es un binomio
elevado al cuadrado; resolverlo significa multiplicar el binomio por sí
mismo.

Ejemplos:
1) Desarrolla (x – 3)
2
= (x – 3) (x – 3) = x
2
– 3x – 3x + 9
Simplificando términos semejantes: = x
2
– 6x + 9
2) Desarrolla (2x + 5)
2
= (2x + 5) (2x + 5) = 4x
2
+ 10x + 10x + 25
Simplificando términos semejantes: = 4x
2
+ 20x + 25

Otro método para desarrollar el cuadrado de un binomio es utilizar el siguiente
modelo o fórmula:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(Binomio positivo)


(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
(Binomio negativo)

Binomio
al cuadrado
Trinomio
Cuadrado
Perfecto
Binomio
al cuadrado
Trinomio
Cuadrado
Perfecto

4. El resultado de elevar un binomio al cuadrado es lo que se denomina un
trinomio cuadrado perfecto.
Regla para desarrollar un binomio al cuadrado.

1) Elevar el primer término al cuadrado.
2) Agregar con signo positivo o negativo (dependiendo del signo del
binomio) el resultado del doble producto del primer término por el
segundo.
3) Elevar el segundo término elevado al cuadrado
Ejemplos:
1) Desarrolla (x – 3)
2
= (x)
2
– 2(x)(3) + (3)
2
= x
2
– 6x + 9

2) Desarrolla (2x + 5)
2
= (2x)
2
+ 2(2x)(5) + (5)
2
= 4x
2
+ 20x + 25

3) Desarrolla (1 + 8y
2
)
2
= (1)
2
+ 2(1)(8y
2
) + (8y
2
)
2
= 1 + 16y
2
+ 64y
4


4) Desarrolla (3a
3
– 4b
4
)
2
= (3a
3
)
2
– 2(3a
3
)(4b
4
) + (4b
4
)
2
= 9a
6
– 24a
3
b
4
+ 16b
8


5) Desarrolla (







)

(


)

(


)(




) (




)



















Ejercicio 10.
Desarrolla los siguientes binomios.
1) (a + 2b)
2
=
2) (4m – 5n)
2
=

5. 3) (7k + 3j)
2
=
4) (5a – 9b)
2
=
5) (4h + 2k)
2
=
6) (9u – 8v)
2
=
7) (5r
3
+ 2s
2
)
2
=
8) (2a
6
– 9c
5
)
2
=
9) (2m
3
+ 4n
6
)
2
=
10) (6b
7
– 5s
5
)
2
=
11) (









)


12) (







)




 Cubo de un binomio

Para desarrollar cualquier binomio elevado al cubo podemos seguir los
siguientes pasos:
1) Elevar al cubo el primer término del binomio,
2) Agregar el triple producto del cuadrado del primer término por el
segundo.

6. 3) Agregar el triple producto del cuadrado del segundo término por el
primero,
4) Por último, agregar el cubo del segundo término del binomio.

Regla para desarrollar un binomio al cubo.

 (x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

Si el binomio es positivo, todos los términos son positivos.

 (x – y)
3
= x
3
– 3x
2
y + 3xy
2
– y
3

Si el binomio es negativo, los signos de los términos van alternados, es decir,
positivos, negativos, positivos, negativos.

Ejercicio 11.
Desarrolla los siguientes binomios.
1) ( a + 3)
3
=
2) (x – 2)
3
=
3) (m + 1)
3
=
4) (n – 5)
3
=
5) (4x + 1)
3
=
6) (7 – 2y)
3
=
7) (5 + y
3
)
3
=

7. 8) (4n – 9)
3
=
9) (m
2
– 2n)
3
=
10) (3x + 2y)
3
=
11) (





)


12) (







)



 Producto de binomios que tienen un término común

Te vamos a presentar primeramente algunos ejemplos y luego haremos un
análisis del procedimiento y de los resultados obtenidos.

Ejemplos:
1) Multiplica (x – 8) (x + 2)
x
2
+ 2x
– 8x – 16
x
2
– 6x – 16

2) Multiplica (x + 5) (x + 9)
x
2
+ 9x
+ 5x + 45
x
2
+ 14x + 45

3) Multiplica (x
2
– 7) (x
2
– 3)
x
4
– 3x
2

– 7x
2
+ 21
x
4
– 10x
2
+ 21

4) Multiplica (x
4
+ 6) (x
4
– 4)
X
8
– 4x
4

+ 6x
4
– 24
x
8
+ 2x
4
– 24

Como puedes observar, en los ejemplos anteriores se cumplen las siguientes
reglas:

8. 1) El primer término del producto es el producto de los primeros
términos de los binomios.

2) Al sumar algebraicamente los segundos términos de los binomios se
obtiene el coeficiente del segundo término y en el cual la variable
está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene la variable
en el primer término del producto.

3) El tercer término del producto se obtiene haciendo la multiplicación
algebraica de los segundos términos de los binomios.


Supongamos que vas a multiplicar dos binomios como (2x – 1) (3x + 4), para
ello te plantearemos la forma rápida de efectuar la operación:

1) Multiplica cada término del segundo paréntesis por 2x
(2x – 1)(3x + 4) = 6x
2
+ 8x...
2) Multiplica cada término del segundo paréntesis por –1
(2x – 1)(3x + 4) = 6x
2
+ 8x – 3x –4
3) Reduce términos semejantes
(2x – 1)(3x + 4) = 6x
2
+ 5x – 4
Ejemplos:

1) Multiplica (7x – 4) (x + 6)
7x
2
+ 42x
– 4x – 24
7x
2
+ 38x – 24

2) Multiplica (3x + 8) (10x + 2)
30x
2
+ 6x
+ 80x + 16
30x
2
+ 86x + 16

9. 3) Multiplica (5y
2
– 4) (3y
2
– 9)
15y
4
– 45y
2

– 12y
2
+ 36
15y
4
– 57y
2
+ 36

4) Multiplica (z
4
+ 11) (2z
4
– 7)
2z
8
– 7z
4

+ 22z
4
– 77
2z
8
+ 15z
4
– 77

Ejercicio 12
Obtén el producto de los siguientes binomios de manera más directa. Trata
de hacer las operaciones en medida de lo que te sea posible mentalmente.
1) ( a + 3) ( a + 5) = 2) ( a
2
+ 7) ( a
2
– 11) =
3) ( z + 6 ) ( z – 7) = 4) ( x
3
– 2) ( x
3
– 6) =
5) ( m – 10 ) ( m – 9) = 6) (d
4
– 8) (d
4
+ 13) =
7) ( n – 12) ( n + 8) = 8) (mn + 3) (mn – 2) =

9) ( y – 4) ( y – 2) = 10) (w
3
z
2
– 11) (w
3
z
2
+ 15) =
11) (2x – 9) (x – 5) = 12) (3y – 9) (5y + 2) =

10. 13) ( 4z
3
+ 15) ( 6z
3
+ 7) = 14) ( 5w
2
+ 4) ( 8w
2
– 2) =



Factorización: factorizar una expresión algebraica significa escribirla como el
producto de otras expresiones algebraicas. En esta manual estudiaremos las
siguientes factorizaciones:

 Diferencia de cuadrados.
 Trinomio cuadrado perfecto.
 Suma y diferencia de cubos.
 Trinomios cuadráticos de la forma ax
2
+ bx + c
٠ Cuando a = 1
٠ Cuando a ≠ 1
 Polinomios que tienen factores comunes.
 Binomios con factor común.
 Agrupamiento o asociación.

 Diferencia de cuadrados.

Ya habíamos mencionado al inicio de esta unidad que al producto obtenido
de la multiplicación de binomios conjugados se le denomina diferencia de
cuadrados porque es la diferencia o resta de dos términos cuadrados exactos.
(a + b) (a – b) = (a)
2
– (b)
2
= a
2
– b
2




Ahora vamos a realizar la factorización de una diferencia de cuadrados cuyo
resultado será el producto de dos binomios conjugados.
Binomios
Conjugados
Diferencia de
Cuadrados

11. a
2
– b
2
= (a + b) (a – b)



Pasos para factorizar una diferencia de cuadrados.

1) Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los dos términos cuadrados
exactos.
2) Con esas dos raíces se forman los dos binomios conjugados, que como
ya dijimos, son binomios que difieren únicamente en un signo.
Ejemplos:
1) 49x
2
– 25 = (7x – 5) ( 7x + 5)
√

√
2) 1 – 81y
2
= (1 – 9y)(1 + 9y)
√ √


3) 121a
2
b
4
– 64c
6
= (11ab
2
– 8c
3
) (11ab
2
+ 8c
3
)
√





√





Ejercicio 13
Factoriza las siguientes Diferencias de Cuadrados.
1) c
2
– 9 = 2) 25 – 36z
4
=
Diferencia de
Cuadrados
Binomios
Conjugados

12. 3) 16 – g
2
= 4) 100a
2
b
4
– 121c
6
=


5) 1 – 25n
2
= 6) 100m
2
n
4
– 169p
6
=


7) 81 – 49x
6
=

8) 144n
12
–196m
10
=


9) 9m
2
– 64y
4
=

10) 49v
2
w
8
– 121z
12
=



 Trinomio Cuadrado Perfecto

٠ Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando
el primero y tercer término tiene raíz cuadrada exacta y son positivos, y el
segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

13. Ejemplos:
1) x
2
– 6x + 9, es un cuadrado perfecto porque:

√

√ ( )( )
2) x
2
+ 8x + 36, NO es cuadrado perfecto porque:

√

√ ( )( )
Entonces, un trinomio NO es cuadrado perfecto si:
1) El primer y/o el tercer término son negativos.
2) Cuando el primer y/o tercer término NO tienen raíz cuadrada exacta.
3) Cuando no coincide el doble producto de las raíces con el término de
en medio del trinomio.

٠ Pasos para factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto

1) Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer término del trinomio.
2) Se separan estas raíces por el signo del segundo término.
3) El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se
multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplos:
1) Factoriza: x
2
–24x + 144 =
√

√ ( )( )

Entonces:
x
2
–24x + 144 = (x – 12)
2

14. 2) Factoriza: 25y
4
+30y
2
z + 9z
2
=
√



√

(

)( )



Entonces:
25y
4
+30y
2
z + 9z
2
= (5y
2
+ 3z)
2

3) Factoriza:






–







=

√









√







(


)(


)




Entonces:






–







= (





)



Ejercicio 14
Factoriza los siguientes Trinomios Cuadrados Perfectos.
1) b
2
– 2b +1 = 2) a
8
+ 18a
4
+ 81=
3) z
4
+ 2z
2
+1 = 4) 4m
2
– 12mn + 9n
2
=

15. 5) 9 + 24x
2
+ 16x
4
= 6) 4b
2
– 28a
3
b + 49a
6
=
7) 25p
2
– 10p + 1 =

8)








9) 100 + 160m
2
+ 64m
4
=



10)






=




٠ Suma o diferencia de cubos.

٠ Suma de cubos
La suma de cubos se descompone en dos factores formados de la siguiente
manera:
1) En el primer factor debe ir la suma de sus raíces cúbicas.

2) En el segundo factor se coloca el cuadrado de la primera raíz, menos el
producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Suma de cubos: a
3
+ b
3
= (a + b) (a)
2
– (a) (b) + (b)
2
= (a + b) (a
2
–ab + b
2
)
٠ Procedimiento para factorizar una suma de cubos.
1) Se extrae la raíz cúbica de cada término de la suma

16. 2) Se enlazan estos dos términos con la operación de suma formando un
binomio.
3) Se complementa la factorización construyendo a continuación un
trinomio que tenga como términos: el cuadrado del 1er. término del
binomio, el opuesto del producto de los dos términos del binomio, el
cuadrado del 2º. término del binomio.

Ejemplos:
1) Factoriza: a
3
+ 8 =
√


√

, Se extrae la raíz cúbica de los términos y
obtenemos el primer factor: (a + 2)

Para formar el segundo factor seguimos la regla:
(a + 2)(a)
2
– (a)(2) + (2)
2

Entonces:
a
3
+ 8 = (a + 2)(a
2
– 2a + 4)
2) Factoriza: 27w
6
+ 125y
3
=
√




√


, Se extrae la raíz cúbica de los
términos y obtenemos el primer factor: (3w
2
+ 5y)

Para formar el segundo factor seguimos la regla:
(3w
2
+ 5y) (3w
2
)
2
– (3w
2
)(5y) + (5y)
2

Entonces:
27w
6
+ 125y
3
= (3w
2
+ 5y)(9w
4
–15w
2
y +25y
2
)

٠ Procedimiento para factorizar una diferencia de cubos.
La diferencia de cubos se descompone en dos factores formados de la siguiente
manera:
1) En el primer factor debe ir la diferencia de sus raíces cúbicas.
2) En el segundo factor se coloca el cuadrado de la primera raíz, más el
producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

17. Diferencia de cubos: a
3
– b
3
= (a – b) (a)
2
+ (a) (b) + (b)
2
= (a – b) (a
2
+ab + b
2
)
٠ Procedimiento para factorizar una diferencia de cubos.
1) Se extrae la raíz cúbica de cada término de la diferencia de cubos,
2) Se enlazan estos dos términos con la operación de resta formando un
binomio.
3) Se complementa la factorización construyendo a continuación un
trinomio que tenga como términos: el cuadrado del 1er. término del
binomio, el opuesto del producto de los dos términos del binomio, el
cuadrado del 2º. término del binomio.

Ejemplos:
1) Factoriza: 64x
6
– 216 =
√




√

, Se extrae la raíz cúbica de los términos y
obtenemos el primer factor: (4x
2
– 6)

Para formar el segundo factor seguimos la regla:
(4x
2
–6)(4x
2
)
2
+ (4x
2
)(6) + (6)
2

Entonces:
64x
6
– 216 = (4x
2
– 6)(16x
4
+ 24x
2
+ 36)

2) Factoriza: 1 – z
15
=
√

√




, Se extrae la raíz cúbica de los términos y
obtenemos el primer factor: (1 – z
5
)

Para formar el segundo factor seguimos la regla:
(1 – z
5
) (1)
2
+ (1)(z
5
) + (z
5
)
2

Entonces:
1 – z
15
= (1–z
5
)(1 + z
5
+ z
10
)

18. Ejercicio 15
Factoriza las siguientes sumas o diferencias de cubos.
1) x
3
+ 8y
3
=
2) 64 + 27a
6
=
3) 216b
9
+ 125 =
4) 8a
6
+ 27b
9
=
5) 1 +343n
3
=
6) 1 – 8y
3
=
7) 27a
3
– b
12
=
8) 64z
3
– 729 =
9) x
6
– 8y
12
=
10) 512m
15
– 343n
9
=

19.  Trinomios cuadráticos de la forma ax
2
+ bx + c, donde a = 1

Factorizar un trinomio cuadrático significa transformarlo en el producto de dos
binomios con términos comunes o semejantes.

٠ Técnica para factorizar un trinomio cuadrático de la forma ax
2
+ bx + c,
donde a = 1

1) El trinomio se descompone en dos binomios en los cuales el primer
término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2) En el primer binomio, después de la raíz cuadrada del primer término se
escribe el signo del segundo término del trinomio.

3) En el segundo binomio, después de la raíz cuadrada del primer término
se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo
término del trinomio por el del tercer término del trinomio.

4) Si en medio los dos binomios contienen signos iguales, se buscan dos
números en donde la suma sea el valor absoluto del segundo término y
su producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio.

5) Si en medio los dos binomios tienen signos diferentes, se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término y su
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio.
*Importante: El número mayor se coloca en el primer paréntesis y el
número menor en el segundo paréntesis.
6) Para efectuar la comprobación, se multiplican los binomios obtenidos lo
cual debe dar por resultado el trinomio cuadrático.

20. Ejemplos:
1) Factoriza: x
2
+ 9x + 18
( )( )
18 =
9 x 2 9 + 2 = 11
6 x 3 6 + 3 = 9
18 x 1 18 + 1 = 19

Solución:
( )( )

a) √

, es el primer término de
los binomios:
( )( )
b) Se colocan los signos de ambos
binomios, recordando que el signo
del primer binomio es el signo del 2º.
Término del trinomio y el signo del
segundo binomio es la multiplicación
de los signos del 2º. Y 3er. término
del trinomio.
c) Se buscan los factores que
multiplicados den el tercer término y
sumados den el término de en
medio.

2) Factoriza: x
2
–7x – 30
( )( )
30 =
30 x 1 –30 + 1 = –29
10 x 3 –10 + 3 = –7
6 x 5 –6 + 5 = –1
15 x 2 –15 + 2 = –13

Solución:
( )( )

a) √

, es el primer término de
los binomios:
( )( )
b) Se colocan los signos de ambos
binomios, recordando que el signo
del primer binomio es el signo del 2º.
Término del trinomio y el signo del
segundo binomio es la multiplicación
de los signos del 2º. Y 3er. término
del trinomio.
c) Se buscan los factores que
multiplicados den el tercer término y
sumados o restados den el término
de en medio.

21. 3) Factoriza: x
2
+ 8x – 20
( )( )
20 =
20 x 1 20 – 1 = 19
5 x 4 5 – 4 1
10 x 2 10 – 2 = 8

Solución:
( )( )

a) √

, es el primer término de
los binomios:
( )( )
b) Se colocan los signos de ambos
binomios, recordando que el signo
del primer binomio es el signo del 2º.
Término del trinomio y el signo del
segundo binomio es la multiplicación
de los signos del 2º. Y 3er. término
del trinomio.
c) Se buscan los factores que
multiplicados den el tercer término y
sumados o restados den el término
de en medio.

Ejercicio 16.
Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos o determina si es un trinomio
primo.
1) x
2
+ 7x + 10 =

2) y
2
+ y – 30 =

3) p
2
– 5p + 6 =

4) z
2
+ 15z + 56 =
5) b
2
+ 3b – 10 = 6) m
2
– 11m – 60 =
7) a
2
– 9a + 8 = 8) c
2
+ 24c + 135 =
9) n
2
+ 6n – 16 = 10) y
2
+ 50y + 336 =

22. ٠ Trinomios cuadráticos de la forma ax
2
+ bx + c, donde a ≠1

Ejemplo 1:
Factoriza 6x
2
+ 5x –6

1) El trinomio se descompone en dos binomios: 6x
2
+5x –6 = ( ) ( )

2) Encontrar dos términos que multiplicados den 6x
2
, dichos términos son
los primeros términos de los binomios. Se colocan al principio de cada
paréntesis.

3) Los términos son 2x y 3x porque su producto nos da 6x
2
.
6x
2
+5x – 6 = (2x ) (3x )

4) Buscar dos números que multiplicados den –6
Así que las opciones son:
1, –6 –1, 6 6, –1 –6, 1
2, –3 –2, 3 3, –2 –3, 2

5) Buscar dos números que sumados o restados den el término lineal. El par
correcto es el que da +5x que es el término lineal del trinomio cuando
multiplicas los dos binomios. Ese par es +3, –2.

6) Colocamos estos dos números como segundos términos,
respectivamente, de cada binomio. 6x
2
+5x –6 = (2x + 3) (3x –2)

7) Solución: 6x
2
+ 5x –6 = (2x + 3) (3x – 2)

8) Para comprobar sólo tienes que multiplicar los dos binomios.
(2x + 3) (3x –2) =
= 6x
2
–4x + 9x –6
= 6x
2
+5x –6

23. Ejemplo 2:
Factoriza 3x
2
– 19x –14

1) El trinomio se descompone en dos binomios: 3x
2
–19x –14 = ( ) ( )

2) Encontrar dos términos que multiplicados den 3x
2
, dichos términos son
los primeros términos de los binomios. Se colocan al principio de cada
paréntesis.

3) Los términos son 3x y x porque su producto nos da 3x
2
.
3x
2
–19x – 14 = (3x ) (x )

4) Buscar dos números que multiplicados den –14
Así que las opciones son:
1, –14 –1, 14 14, –1 –14, 1
2, –7 –2, 7 7, –2 –7, 2

5) Buscar dos números que sumados o restados den el término lineal. El par
correcto es el que da –19x que es el término lineal del trinomio cuando
multiplicas los dos binomios. Ese par es +2, –7.

6) Colocamos estos dos números como segundos términos,
respectivamente, de cada binomio. 3x
2
–19x –14 = (3x + 2) (x –7)

7) Solución: 3x
2
– 19x –14 = (3x + 2) (x –7)

8) Para comprobar sólo tienes que multiplicar los dos binomios.
(3x + 2) (x –7) =
= 3x
2
–21x + 2x –14
= 3x
2
–19x –14

24. Ejercicio 17.
Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos o determina si es un trinomio
primo.
1) 3x
2
– 16x + 5 =

2) 4u
2
+ 8u – 5 =

3) 3p
2
+16p + 16 =

4) 2z
2
+ 5z – 3 =

5) 6b
2
– 5b – 4 =

6) 3m
2
+ 11m + 10 =

7) 5a
2
+ 8a + 3 =

8) 9c
2
– 39c + 40 =

9) 2n
2
+ 15n + 18 =

10) 2y
2
+ 7y + 5 =

25. ٠ Polinomios que tienen factores comunes.

MÁXIMO FACTOR COMÚN.
Una de las principales factorizaciones que debemos manejar y que es muy
útil en otros procesos de factorización es el de la obtención de máximo
factor común.
Ejemplos:
1) Encuentre el máximo factor común de 4a
4
x
6
, 20a
2
x
8
y 40a
5
x
4
.
La manera más sencilla para encontrar el MFC de los coeficientes de una
expresión algebraica es colocarlos en una tabla y obtener sus factores, es
decir, simplificarlos verificando si todos los coeficientes tienen mitad, tercera,
cuarta, quinta, etc., hasta que ya no tengan un factor común , y al finalizar se
multiplican dichos factores.
4 20 40 2
2 10 20 2
1 5 10
4
MFC
2) Buscar el MFC de las variables.
El MFC de un conjunto de variables es el producto de las variables que se
repiten con exponente menor.
En este ejemplo las variables que tenemos son a y x, y ambas se repiten en
todos los términos y deben formar parte del MFC.
a
5
, a
4
y a
2
: la de menor exponente es a
2
.
x
4
, x
5
, x
6
: la de menor exponente es x
4
.
Solución: MFC= 4a
2
x
4
.

Multiplicar

26. Ahora vamos a considerar que los tres términos anteriores forman un
polinomio y obtengamos el máximo factor común del mismo.

2) Obtener el M. F. C. del polinomio 4a
4
x
6
+ 20a
2
x
8
–40a
5
x
4

Aprovechemos el procedimiento y el resultado que acabamos de obtener en
el ejemplo anterior.
Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el MFC.






































Solución: 4a
4
x
6
+ 20a
2
x
8
–40a
5
x
4
= 4a
2
x
4
(a
2
x
2
+ 5x
4
– 10 a
3
)


3) Encuentra el MFC del polinomio 24x
3
– 36xy
2

 Busca primero el MFC entre los coeficientes numéricos
24 36 2
12 18 2
6 9 3
2 2 12
MFC

 Buscar el MFC entre las variables.

La variable “x” se repite en ambos términos, siendo x la de menor
exponente, la "y" no es factor común, por lo tanto no puede ser parte del
MFC. Por lo tanto el MFC es 12x.


Multiplicar

27.  Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el
MFC.




(







) (



)

Solución: = 24x
3
– 36xy
2
= 12x (2x
2
– 3y
2
)

Ejercicio 18.
Factoriza completamente las siguientes expresiones algebraicas.
1) a
2
+ ab = 2) b
3
– b
2
x + bx
2
=


3) 3a
3
– a
2
= 4) 2a
2
x + 2ax
2
– 3ax =



5) 5m
2
+ 15m
3
= 6) 14x
2
y
2
– 28x
3
+ 56x
4
=

28. 7) 8m
2
– 12mn = 8) 10c
2
– 5c + 15c
3
=
9) 9a
3
x
2
– 18ax
3
=

10) 4p
2
+ 28p + 48 =

11) 35m
2
n
3
– 70m
3
= 12) 6c
2
– 54c + 120 =

13) a
3
+ a
2
+ a = 14) 3m
2
+ 30m + 72 =
15) 4x
2
– 8x + 2 = 16) m
4
– 8m
3
+ 12m
2
=

17) 15y
3
+ 20y
2
– 5y =

18) 3k
2
– 27m
2
=

19) 96 – 48mn
2
+ 144n
3
= 20) 10w
2
– 160z
2
=

29. ٠ Binomios con factor común.

Ejemplos:

1) Factoriza: (a + 3)b –10(a + 3)

 Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el
MFC que en este caso es (a + 3)

( )(
( )
( )

( )
( )
) = (a + 3) (b – 10)

2) Factoriza: (2x + 5)y + 6(2x + 5)

 Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el
MFC que en este caso es (2x + 5)

( )(
( )
( )

( )
( )
) = (2x + 5) (y + 6)

3) Factoriza: x
2
(1 + z) – 9(1 +z)

 Buscamos el MFC y dividimos cada término del polinomio por el
MFC que en este caso es (1 + z)

( )(


( )
( )

( )
( )
) = (1 + z) (x
2
– 9)

En el resultado obtenido, observa que aparece una diferencia de
cuadrados en el segundo factor, por lo cual es necesario se factorice
como lo vimos en las secciones anteriores, por lo tanto:

Solución:
x
2
(1 + z) – 9(1 +z) = (1 + z) (x
2
– 9) = (1 + z)(x – 3) (x + 3)

30. Ejercicio 19.
Factoriza completamente las siguientes expresiones algebraicas.

1) r(t + 1) + s (t + 1 ) = 2) m(x – y) + (x – y)n =
3) 4(y + 3) + z( y + 3) = 4) (1 – x) – 2a ( 1 – x) =
5) 6x(x – 2) – 5y( x – 2 ) = 6) 9(m +n) + 7x( m + n) =
7) 9v( x + y + z) – 10w( x + y + z ) =

8) 4a( a
2
+ x – 1) – 3b( a
2
+ x – 1) =

9) 4x
2
(c – d) – (c – d)= 10) x
3
(a + 1) – (a + 1) =

31. ٠ Factorización por agrupamiento o asociación.

La asociación de pares de términos es una técnica llamada "Factorización por
Agrupamiento" o "Factorización por Asociación".
La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal de que
los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que las
cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor
común en cada binomio, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograr
entonces la expresión dada no se puede factorizar por este método.

Algunas opciones para agrupar un polinomio de cuatro términos a + b + c + d
son:
٠ Opción 1: (a + b) + (c + d)
٠ Opción 2: (a + c) + (b + d)
٠ Opción 3: (a + d) + (b + c)

Ejemplos:

1) Factorizar el polinomio 6xy +10x –21wy –35w.

Los primeros dos términos tienen "2x" como factor común. Los últimos dos
términos tienen "7w" como factor común. Asociando términos y luego
haciendo la factorización tenemos:

 Asociamos términos
¡Atención!: Al agrupar el tercer término con
el cuarto, observamos que el tercer término
tiene signo negativo, por lo cual es necesario
cambiar los signos de ambos términos
(6xy +10x) –(21wy –35w)
 Obteniendo el MFC de cada
binomio formado
2x (3y + 5) –7w (3y + 5)
 Sacamos (3y + 5) como factor
común
(3y + 5) (2x – 7w)

32. 2) Factorizar el polinomio a
3
– 5a
2
– 9a + 45

Los primeros dos términos tienen "a
2
" como factor común. Los últimos dos
términos tienen "9" como factor común. Asociando términos y luego haciendo
la factorización tenemos:

 Asociamos términos
¡Atención!: Al agrupar el tercer término con
el cuarto, observamos que el tercer término
tiene signo negativo, por lo cual es necesario
cambiar los signos de ambos términos
(a
3
– 5a
2
) –( 9a – 45)
 Obteniendo el MFC de cada
binomio formado
a
2
(a – 5) –9 (a – 5)
 Sacamos (a – 5) como factor
común
(a – 5) (a
2
– 9)
 Observa que uno de los
binomios obtenidos es una
diferencia de cuadrados, la cual
hay que factorizar
(a – 5) (a – 3)(a + 3)

Otros ejemplos de factorización por agrupamiento:


3) Factoriza completamente: x
2
+ 6x + 9 – y
2


Con el polinomio x
2
+ 6x +9 – y
2
no puede procederse como en los casos
anteriores, sino que nos encontramos que la asociación debe hacerse con los
primeros tres términos que forman un trinomio cuadrado perfecto

33.  Se agrupan los tres primeros
términos y el cuarto se queda
independiente.


x
2
+ 6x + 9 – y
2
= ( x
2
+ 6x + 9 ) – y
2


 Al factorizar el trinomio
cuadrado perfecto la expresión
queda:
(x +3)
2
– y
2




 Esta última expresión es a su
vez una diferencia de
cuadrados que al factorizar
queda:

(x +3)
2
– y
2
= (x + 3 + y) (x + 3 – y)


4) Factoriza completamente: x
2
+ 5x + 6 – ax –3a

Con el polinomio x
2
+ 5x + 6 – ax –3a no puede procederse como en los casos
anteriores, sino que nos encontramos que la asociación debe hacerse con los
primeros tres términos que forman un trinomio cuadrático de la forma ax
2
+ bx
+ c. donde a = 1 y los términos restantes, el cuarto y el quinto tienen un factor
común.

 Se agrupan los tres primeros
términos en un primer
paréntesis y el cuarto y el
quinto en segundo paréntesis


= (x
2
+ 5x + 6) – (ax + 3a)
 Al factorizar ambos términos la
expresión queda como:

= (x+3) (x+2) –a (x+3)
↑ ↑
 Obtenemos (x + 3) como
binomio como factor común:
(x + 3) (x + 2 – a)


Diferencia de Cuadrados
Binomio como Factor Común
Trinomio Cuadrado
Perfecto
Trinomio cuadrático de la
forma ax
2
+bx + c, donde a = 1
Máximo
Factor
Común

34. Ejercicio 20.
Factoriza completamente las siguientes expresiones algebraicas.

1) a
2
+ 3a + ab + 3b =





2) ax + 4ex – 3ad – 12de =

3) 6ax – 14x + 15a – 35 =




4) 5rz + 2sz – 5r – 2s =

5) x
2
+ 8xz + x + 8z =





6) 2x
3
– 7x
2
– 10x + 35 =

35. 7) 24x
3
– 18x
2
+ 60x – 45 =





8) 6x
3
– 6x
2
– 24x + 24 =

9) 12x
2
+ 18x + 10x + 15 =





10) 24mx + 36m + 30x + 45 =











“Persevera. Si persistes sólo un segundo más que tu competidor,
serás el ganador”
Anónimo