Progresion geometrica

1. Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno
de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la
progresión. Se suele reservar el término progresióncuando la secuencia tiene una
cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de
términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
1215 = 405 × 3
3645 = 1215 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión





Índice
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2. 1 Ejemplos de progresiones geométricas
2 Suma de términos de una progresión geométrica
o 2.1 Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
o 2.2 Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
3 Véase también
4 Enlaces externos
Ejemplos de progresiones geométricas[editar · editar fuente]
La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5,
10, 20, 40.
La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es
una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -
24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión
alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas
referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente
que en la definición.
Suma de términos de una progresión geométrica[editar · editar fuente]
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica[editar · editar fuente]
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica
ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se
obtiene el término siguiente de esa progresión,

3. Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja Sn,

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se
conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede
expresar el término general de la progresión an como

Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece
en cero, debemos utilizar la expresión:

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica[editar · editar fuente]

4. Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos
decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si ,
tiende hacia 0, de modo que:

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la
unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

MEDIDAS GEOMETRICAS
La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra
y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de
las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que
incluyen paralelas,perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a
instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafoo el sistema de posicionamiento global (en
especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con
lasecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su
aplicación práctica en física
aplicada, mecánica,arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil
en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.
Índice
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1 Historia
2 Axiomas, definiciones y teoremas
o 2.1 Axiomas
3 Topología y geometría
4 Tipos de geometría
o 4.1 Otros tipos de geometría
5 Véase también
6 Enlaces externos
Historia[editar · editar fuente]

5. Artículo principal: Historia de la geometría.


Fragmentos de los Elementos de Euclides en los Papiros de Oxirrinco.
La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de
conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo
Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y DiodoroSículo.Euclides,
en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una
norma a seguir durante muchos siglos: lageometría euclidiana descrita en «Los Elementos».
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y
planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas
geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y
la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas
planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La
geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que
analizanEuler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.
Axiomas, definiciones y teoremas[editar · editar fuente]


Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera tiene 2/3 delvolumen de su cilindrocircunscrito.
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un
método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas
axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David
Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo
sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus
relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus
relaciones se denominan modelos.

6. Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material.
Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos
los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del
modelo tradicional.
Axiomas[editar · editar fuente]


La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.
En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos,
definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto
(el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al
analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o
la hiperbólica de NikoláiLobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en
el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o
planos. puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.
Topología y geometría[editar · editar fuente]


El nudo de trébol.
El campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo
de geometría transformacional, en que las transformaciones que preservan las propiedades de las
figuras son los homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las
transformaciones que no alteran las propiedades de las figuras son las isometrías). Esto ha sido
frecuentemente expreso en la forma del dicho "la topología es la geometría de la página de goma".
Tipos de geometría[editar · editar fuente]
Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:
Geometría euclidiana

7. Geometría plana
Geometría del espacio
Geometría no euclidiana
Geometría algebraica
Geometría analítica
Geometría clásica
Geometría de dimensiones bajas
Geometría descriptiva
Geometría diferencial
Geometría de curvas y superficies
Geometría de Riemann
Geometría diferencial de curvas
Geometría diferencial de hipersuperficies
Geometría diferencial de superficies
Geometría diferencial de variedades
Geometría diferencial discreta
Geometría proyectiva
Otros tipos de geometría[editar · editar fuente]
Geometría absoluta
Geometría afín
Geometría computacional
Geometría constructiva de sólidos
Geometría conforme
Geometría convexa
Geometría de incidencia
Geometría discreta
Geometría elíptica
Geometría esférica
Geometría finita
Geometría fractal
Geometría hiperbólica
Geometría molecular
Geometría ordenada
Geometría sagrada
Geometría sintética