Progressão aritmética

1. PROGRESSÃO PROGRESSÃO
ARITMÉTICAARITMÉTICA
P.A.P.A.

2. Definição:Definição:
Chama-se Progressão Aritmética (PA) à Chama-se Progressão Aritmética (PA) à
toda sequência numérica cujos termos a toda sequência numérica cujos termos a
partir do segundo, são iguais ao anterior partir do segundo, são iguais ao anterior
somado com um valor constante somado com um valor constante
denominado razão. denominado razão.
Exemplos: Exemplos:
(3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3(3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3
(25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r (25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r
= - 5= - 5
(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0

3. Fórmulas de uma PAFórmulas de uma PA
TERMO GERALTERMO GERAL::
an = aan = a
11 + (n – 1) . r + (n – 1) . r
anan é o termo de ordem é o termo de ordem nn (n-ésimo termo) (n-ésimo termo)
n n é a posição descritaé a posição descrita
rr é a razão é a razão
aa
11 é o primeiro termo é o primeiro termo

4. SOMAS DOS TERMOS DE UMA PASOMAS DOS TERMOS DE UMA PA
S
n
→ é o valor da soma dos termos da sequência
a
1
→ é o primeiro termo escolhido da sequência
a
n → é o último termo escolhido da sequência
n → é a posição do último termo escolhido da
sequência
2
)(
1
naa
S
n
n
×+
=

5. Explorando as fórmulas da PAExplorando as fórmulas da PA
Encontre o 15º termo da PA: (-6,-2,2,...)Encontre o 15º termo da PA: (-6,-2,2,...)
Termo Geral: Termo Geral: an = aan = a
11 + (n – 1) . r + (n – 1) . r
a15=? a1=-6 r= -2 – (-6) = 4 n = 15a15=? a1=-6 r= -2 – (-6) = 4 n = 15
a15 = -6+(15 – 1).4 = -6 +14.4 = -6 + 56 = 50a15 = -6+(15 – 1).4 = -6 +14.4 = -6 + 56 = 50
R: a15 = 50 R: a15 = 50

6. Encontrando a razãoEncontrando a razão
Determine a razão de uma PA que tem como primeiro termo -10 e Determine a razão de uma PA que tem como primeiro termo -10 e
quinto termo 2.quinto termo 2.
a5 = 2a5 = 2 a1=-10 a1=-10 r=? n=5 r=? n=5
an = aan = a
11 + (n – 1) . r + (n – 1) . r
2 = -10 + (5-1).r2 = -10 + (5-1).r
2=-10 + 4r2=-10 + 4r
2+10=4r2+10=4r
r=12/4=3r=12/4=3
Razão é 3.Razão é 3.

7. Determinando o primeiro termo:Determinando o primeiro termo:
Em uma PA com razão -6 e vigésimo termo com Em uma PA com razão -6 e vigésimo termo com
valor -52 , qual é o valor do primeiro termo?valor -52 , qual é o valor do primeiro termo?
a20=-52a20=-52a1=?a1=?r=-6r=-6 n=20n=20
an = aan = a
11 + (n – 1) . R + (n – 1) . R
-52=a1 + (20-1).(-6)-52=a1 + (20-1).(-6)
-52 = a1+ 19.(-6)-52 = a1+ 19.(-6)
-52 = a1--52 = a1-

8. Soma de uma PASoma de uma PA
Na PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos Na PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos
10 primeiros termos.10 primeiros termos.
Primeiro vamos determinar a raazão, pois logo após teremos que Primeiro vamos determinar a raazão, pois logo após teremos que
encontrar a10:encontrar a10:
r= a2 - a1= 3 – (–1) = 3 + 1 = 4r= a2 - a1= 3 – (–1) = 3 + 1 = 4
Determinando o 10º termo da PADeterminando o 10º termo da PA
a10 = –1 + (10 – 1) * 4a10 = –1 + (10 – 1) * 4
a10 = – 1 + 9 * 4a10 = – 1 + 9 * 4
a10 = – 1 + 36a10 = – 1 + 36
a10 = 35a10 = 35
Assim SAssim S
10 :10 :
2
)(
1 naa
S
n
n
×+
=
160
2
320
2
10.32
2
10).353(
10
===
+-
=s

9. Lista de Exercícios:Lista de Exercícios:
1 - 1 - Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?
2 – Qual é o trigésimo múltiplo do número natural 2 – Qual é o trigésimo múltiplo do número natural
3- A soma dos 10 termos de uma PA é igual a -35. 3- A soma dos 10 termos de uma PA é igual a -35.
Se o último termo é igual ao número de termos, Se o último termo é igual ao número de termos,
então qual é o primeiro termo?então qual é o primeiro termo?

10. Questões de Vestibular:Questões de Vestibular:
1 - (PUC-RIO 2009) Temos uma progressão aritmética de 20 1 - (PUC-RIO 2009) Temos uma progressão aritmética de 20
termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os
termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo
é igual a:é igual a:
2 - (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é 2 - (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é
dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P.
A vale: A vale:
3 - (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o 3 - (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o
primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo
elemento -13 é:elemento -13 é: