Propiedades de laplace

propiedades de laplace

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE República bolivariana de Venezuela ministerio del poder popular para la educación I.U.P “SANTIAGO MARIÑO” SEDE BARCELONA BACHILLER: Anais Figueroa C.I 25.060.851 PROFESOR: Pedro Beltrán BNA 18/O8/19

2. Es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números positivos t , es la función F(s)= lt s iempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) es una distribución con una singularidad en 0, la definición es F(s)=l Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de . es llamado el operador de la transformada de Laplace   DEFINICION TRANSFORMADA DE LAPLACE

3. PROPIEDADES DE LA LINEAL: Sean y definidas para s > s0 y ƛ y números reales cualquiera ; entonces, la transformada de Laplace de 𝜆𝑓(𝑡)+𝛽𝑔(𝑡) está definida para s > s0, y se tiene que Ejemplo: Aplicando la propiedad de linealidad resuelva: SOLUCIÓN : = = = TRASLACIÓN EN EL DOMINIO DE S Sea F(s) la Transformada de Laplace de la función f(t) para s > s0, entonces, para todo número real se tiene: L { 𝑓 (𝑡 )}= = L { }= para Esta propiedad dice que si se multiplica f(t) por 𝑒𝑎𝑡, la función resultante tiene una transformada de Laplace desplazada a unidades en el dominio de la variable s de f   PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA

4. TRASLACION EN EL DOMINIO T : sea g(t)= Solución: Se debe definir a la función g haciendo explícito en el argumento de la función el desplazamiento de la variable t . Esto es, hacer evidente f(t-a). Para ello efectuamos el siguiente artificio: 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − + )= 𝑠𝑒𝑛((𝑡 − )+ )= 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − ) 𝑐𝑜𝑠( )+𝑐𝑜𝑠(𝑡 − )𝑠𝑒𝑛 ( ) = − 1 2 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − )+ √3 2 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − ) 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = [√3 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − )− 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − ) ] 𝑔(𝑡 +𝑎) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡 +𝑎) 𝑎 = Ahora si podemos utilizar la propiedad, por lo que: = t= =  

5. TRANSFORMADA DE LA DELTA DIRAC: Conociendo previamente la función delta dirac, saliendo de la propia definición: = TRANSFORMADA DE FUNCIONES PERIODICAS: = así como sustituir en todos los términos . ejemplo del segundo termino: dt =e sp haciendo para los diversos términos = términos a seguir en una geometría que converge en , entonces la transformada de funciones periódicas , =  

6. PROPIEDADES DE LA DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA : Usando la definición de la transformada, PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE UNA TRANSFORMADA : Sea f una función continua en [0; +∞), y de orden exponencial cuando t . Sabemos por el teorema fundamental del cálculo que Tomemos la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación Apliquemos en el lado izquierdo la propiedad “Transformada de la derivada ”. Con lo cual se obtiene  

7. PROPIEDADES DE LA TRASNFORMADA DE UNA INVERSAS En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad donde es la transformada de Laplace. La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistema dinámicos lineales.  

8. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE UNA INVERSA PROPIEDAD LINEAL : Si y son constantes arbitrarias y y son las transformadas de Laplace de y , entonces , = . f1(t)+ . F2(t ) También se aplica para mas de dos funciones. PRIMERA PROPIEDAD DE TRASLACION : Si l , entonces l SEGUNDA PROPIEDAD DE TRALACION : si l ,entonces l =  

9. PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA: l , entonces l Donde k representa una constante TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE EN LAS INTEGRALES: si l , entonces = TRANSFORMADAS INVERSA DE LAPLACE EN LAS DERIVADAS: si l , entonces l MULTIPLICACION POR S : si l y f (0)=0 , entonces l por lo que multiplicando por s produce el efecto de derivar f(t). Si f(0) e ntonces l o también l donde representa la función delta de dirac o la función de impulso unitario.  

10. DIVISION POR S : si l entonces l De manera que la división por (o multiplicación por 1/s) produce el efecto de integrar entre 0 y . PROPIEDAD DE CONVOLUCION: l y La expresión se llama la convolución de F y G, y este teorema se llama el teorema de convolución o propiedad de convolución .  

11. Condiciones de existencia 1)| f (t)|< Mt a-1 en el intervalo 0≤ t ≤ t donde M, a y t son algún número positivo. 2 ) f (t) es una función exponencial de orden α (cualquier número real) cuando t → ∞(esto es |f(t) | < Ne at para t > T donde N y T son números positivos), y 3 ) f (t) es una función continua o continua en tramos (que tiene un número finito de discontinuidades finitas) en cada intervalo t o ≤ t ≤ T y t o > 0 Entonces F(s) existe para todo s >α. Estas últimas restricciones en S no limita el uso de la transformada ya que las restricciones son condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace. A partir de la definición de la transformada de Laplace como una integral se tiene que si se cumple con las condiciones de la existencia, la transformada será única.