Propiedades de los límites

Propiedades de los límites

2. L´IMITES
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´sica y Estad´stica
Universidad de La Sabana

3. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
TEOREMA: LEYES DE LOS L´IMITES SiLyM,aykson n´umeros reales y
lm
x!a
f(x) =L(existe)ylm
x!a
g(x) =M(existe);
entonces:
1
Regla de suma:
lm
x!a
(f(x) +g(x)) = lm
x!a
f(x) + lm
x!a
g(x) =L+M
2
Regla de resta:
lm
x!a
(f(x)g(x)) = lm
x!a
f(x)lm
x!a
g(x) =LM
3
Regla del m´ultiplo constante:
lm
x!a
(kf(x)) =klm
x!a
f(x) =kL
4
Regla del producto:
lm
x!a
(f(x)g(x)) = lm
x!a
f(x) lm
x!a
g(x) =LM

4. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
TEOREMA: LEYES DE LOS L´IMITES
5
Regla del cociente:
lm
x!a
f(x)
g(x)
=
lm
x!a
f(x)
lm
x!a
g(x)
=
L
M
; M6= 0
6
Regla de la potencia:
lm
x!a
[f(x)]
n
=
h
lm
x!a
f(x)
i
n
=L
n
; n2Z
+
7
Regla de la ra´z:
lm
x!a
n
p
f(x) =
n
q
lm
x!a
f(x) =
n
p
L; n2Z
+
:(Sines par, se debe tener
quelm
x!a
f(x)>0):

5. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
EJEMPLO
Calcule:
lm
x!2
r
x
3
+ 2x+ 3
x
2
+ 5
:
Aplicando las leyes de los l´mites se tiene:
lm
x!2
r
x
3
+ 2x+ 3
x
2
+ 5
=
r
lm
x!2
x
3
+ 2x+ 3
x
2
+ 5
=
v
u
u
u
t
lm
x!2
(x
3
+ 2x+ 3)
lm
x!2
(x
2
+ 5)
=
v
u
u
u
t
lm
x!2
x
3
+ lm
x!2
2x+ lm
x!2
3
lm
x!2
x
2
+ lm
x!2
5

6. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
v
u
u
u
u
t

lm
x!2
x

3
+ 2 lm
x!2
x+ lm
x!2
3

lm
x!2
x

2
+ lm
x!2
5
=
r
2
3
+ 22 + 3
2
2
+ 5
=
r
8 + 4 + 3
9
=
r
15
9
=
r
5
3

7. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
EJEMPLO
Calcule:
lm
x!7
x7
x
2
49
:
Aplicando las leyes de los l´mites se tiene:
lm
x!7
x7
x
2
49
= lm
x!7
x7
(x7)(x+ 7)
= lm
x!7
1
x+ 7
=
1
14

8. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
EJEMPLO: T´ECNICA DE CANCELACI ´ON
Calcularlm
x!3
x
2
+x6
x+ 3
Utilizando la sustituci´on directa se obtiene la forma indeterminada
0
0
.
En este caso no podemos utilizar directamente el teorema anterior (pues el
denominador en cero). Como el numerador tambi´en es0, debemos
factorizarlo, con la pretensi´on de eliminar la forma indeterminada.
lm
h!3
x
2
+x6
x+ 3
= lm
x!3
(x+ 3)(x2)
x+ 3
= lm
x!3
(x2)
=32
=5

9. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
EJEMPLO: T´ECNICA DE RACIONALIZACI ´ON
Calcularlm
x!0
p
x+ 11
x
Utilizando la sustituci´on directa se obtiene la forma indeterminada
0
0
.
En este caso, reescribiremos la fracci´on racionalizando en numerador, con la
pretensi´on de eliminar la forma indeterminada.
lm
x!0
p
x+ 11
x
= lm
x!0
p
x+ 11
x

p
x+ 1 + 1
p
x+ 1 + 1
= lm
x!0
x+ 11
x(
p
x+ 1 + 1)
= lm
x!0
x
x(
p
x+ 1 + 1)
= lm
x!0
1
p
x+ 1 + 1
=
1
2

10. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
EJEMPLO
Calcule
lm
x!3
4
p
x
2
+ 7
x
Aplicando las leyes de los l´mites se tiene:
lm
x!3
4
p
x
2
+ 7
3x+ 9
= lm
x!3
4
p
x
2
+ 7
3x+ 9

4 +
p
x
2
+ 7
4 +
p
x
2
+ 7
= lm
x!3
9x
2
(3x+ 9)(4 +
p
x
2
+ 7)
= lm
x!3
(3x)(3 +x)
3(x+ 3)(4 +
p
x
2
+ 7)
=
1
3
lm
x!3
(3x)(3 +x)
(3 +x)(4 +
p
x
2
+ 7)

11. L´I M I T E SPRO P I E DA D E S D E L O S L´I M I T E S
1
3
lm
x!3
(3x)(3 +x)
(3 +x)(4 +
p
x
2
+ 7)
=
1
3
lm
x!3
3x
4 +
p
x
2
+ 7
=
1
3

3(3)
4 +
p
(3)
2
+ 7
=
1
3

6
4 +
p
16
=
3
8

12. L´I M I T E STE O R E M A D E C O M P R E S I´O N
TEOREMA DE COMPRESI ´ON Suponga quef(x)g(x)h(x)para todos los valores dexen alg´un
intervalo abierto que contiene aa, excepto posiblemente enx=a. Tambi´en
suponga que
lm
x!a
f(x) = lm
x!a
h(x) =L
Entonceslm
x!a
g(x) =L:

13. L´I M I T E STE O R E M A D E C O M P R E S I´O N
EJEMPLO
Si53xx
2
g(x)x+ 9para todoxcerca a -2 excepto tal vez para
x=2. ¿Cu´al es el valor delm
x!2
g(x)?
Comolm
x!2
(53xx
2
) = 7ylm
x!2
(x+ 9) = 7en virtud del teorema de
compresi´on se debe tener quelm
x!2
g(x) = 7