Propocionalitat

1. U.4: Proporcionalitat

2. Raó i proporcionalitat S’anomena raó de nombres a i b (b ≠ 0) , el quocient d’aquests dos nombres Exemple : Per cada 100 grams de farina hi van ous En efectuar el quocient de les raons anteriors, obtenim sempre el mateix resultat = 25 La igualtat anterior s’anomena proporció Es llegeix 100 és a 4 com 200 és a 8

3. Proporció numèrica Una proporció numèrica és una igualtat entre dues raons numèriques

4. Posa’t a prova

5. Proporcionalitat directa Dues magnituds són directament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre l’altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre

6. Proporcionalitat directa La Sandra fa feina per hores donant classes particulars Per cada hora que treballa li paguen 20 €. Quant li pagaran si treballa 2h? I si treballa 3h? I 4h? Com que les magnituds (temps-diners) són directament proporcionals, es compleix que: El nombre 20 s’anomena constant o raó de proporcionalitat

7. Representació gràfica Podem representar gràficament els valors. Eix de les abscisses (x) temps Eix ordenades (y) metres Temps (s) Metres (m) 2 10 4 20 6 30 8 40 10 50 En representar en un sistema de coordenades els valors dues magnituds directament proporcionals, sempre obtenim una recta que passa per l’origen de coordenades (0,0)

8. Regla de tres directa Quan tenim tres nombres coneguts i ens falta trobar el quart nombre, sabent que són proporcionals utilitzarem la REGLA DE TRES DIRECTA Exemple: Si 4 entrades del cine ens han costat 8€, quant ens costaran 10 entrades?

9. Regla de tres directa He comprat 30 llapis per 7,50€. Quant em costaran si en compro 46?

10. Reducció a la unitat

11. Magnituds inversament proporcionals Dues magnituds són inversament proporcionals, si en multiplicar un valor d’una de les magnituds per una constant, el valor de l’altra queda dividit per la mateixa constant Exemple: Les magnituds velocitat – temps són magnituds inversament proporcionals. Quan multipliquem (o en dividim) una per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida ) pel mateix nombre.

12. Proporcionalitat inversa Dues magnituds són inversament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre l’altra queda dividida (o multiplicada) pel mateix nombre

13. Regla de tres inversa (inversament proporcional) Un grup de 23 alumnes han participat en un concurs i han guanyat un premi de 1400€, si haguessin participat 14 alumnes, quants euros s’haguessin repartit?

14. Exemples de magnituds inversament proporcionals 10 nàufrags tenen menjar per 30 dies. Si només hi ha un nàufrag, per quants dies tindrà menjar? 10·30=1 · x x=300 dies Si un cotxe va a 60km/h i triga 5 hores a fer una distància. Quant trigaria si anés a 20km/h? 60·5=20·x x= 15 hores Treballant 3 hores cada dia s'acaba un treball en 6 dies . Si treballem 2 hora cada dia, quants dies trigarem? 3·6=2·x x=9 dies

15. Reducció a la unitat

16. Problemes 1.Un cotxe circulant a 90 km/h ha tardat 12 hores en realitzar un viatge. Quant temps tardarà en el mateix trajecte a una velocitat de 80 km/h ? Solució : 13,5h 6 fotocopiadores tarden 6 hores en realitzar un gran nombre de còpies , quant temps tardarien 4 fotocopia-dores en realitzar el mateix treball ? Solució : 9h 3. En repartir una quantitat d’euros entre 7 persones cada una rep 12 euros. Quant rebrien si el repartiment es fes entre 6 persones ? Solució : 14€

17. Proporcionalitat composta Una activitat de proporcionalitat composta relaciona més de dues magnituds que poden ser directament o inversament proporcionals . Para resoldre una activitat de proporcionalitat composta es fa de manera ordenada amb el procediment de reducció a la unitat . 1r - es deixa fixa la 2ª magnitud, i es relaciona la 1ª amb la 3ª 2n - es deixa fixa la 1ª magnitud, i es relaciona la 2ª amb la 3ª

18. Problemes Cinc aixetes omplen un dipòsit de 10 m3 en 5 hores. Quant trigaran en omplir un dipòsit de 8 m3 dues aixetes iguals a les anteriors? Amb 12 quilos de pinso 9 conills mengen durant 12 dies. Quants dies trigaran 4 conills en menjar 8 quilos de pinso? Per construir 4 cases iguals en 30 dies fan falta 60 paletes. Quants paletes es necessitaran per construir 6 cases en 90 dies? Per imprimir uns fullets, 9 impressores han funcionat 8 hores diàries durant 40 dies. Quants dies tardaran en imprimir el mateix treball 6 impressores funcionant 10 hores diàries?

19. Repartiment directament proporcionals Es vol repartir una quantitat de forma directament proporcional Si el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat més gran Procediment: Sumar els valors inicials de cada una de les parts Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de cada una de les parts

20. Exemple de repartiment directament proporcional Exemple: Tenim 3 amics que han comprat respectivament: 2DVDs, 3DVDs i 5DVDs. Han pagat la factura de 120€. Quant ha de pagar cadascú 2+3+5=10 120/10=12 € 3.1. AMIC 1: 12€x2=24€ 3.2. AMIC2: 12€x3=36€ 3.3. AMIC3: 12€x5=60€ L’amic que ha comprat 2DVDs ha de pagar 24€, el que ha comprat 3DVDs 36€ i el que ha comprat 5DVDs ha de pagar 60€

21. Exercicis de repartiment directament proporcional Cinc concursants participen en una competició en la que han de trobar objectes en el fons d’una piscina. Per ordre d’actuació aconsegueixen respectivament 8, 12, 13, 7 i 10 objectes. El premi de la prova consisteix en 150 punts repartits deforma proporcional als objectes que trobin. Quants punts corresponen a cada participant? Tres socis van posar en marxa un negoci aportant, 5000 euros el primer, 25000 euros el segon i 20000 euros el tercer. El primer any s’obtenen 60000 euros de benefici, com se’ls han de repartir?

22. Repartiment inversament proporcionals Es vol repartir una quantitat de forma inversament proporcional Si el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat menor en el repartiment. Es calcula els inversos dels valors inicials Sumar els inversos dels valors inicials Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de cada una de les parts

23. Exemple de repartiment inversament proporcional

24. 22.Tres amics es reparteixen una pizza de forma inversament proporcional als seus pesos que són respectivament 60, 72 i 90 quilograms. Quina part de pizza s’ha de menjar cadascú? 23. Un professor lliura una relació de 86 exercicis a quatre alumnes per repartir-se’ls amb la condició que cada u en resolgui una quantitat inversament proporcional a les qualificacions obtingudes en un examen. Les qualificacions han estat 2, 4, 5 i 8. Quants exercicis ha de resoldre cadascú?

25. Percentatges Què en sabem?

26. Percentatges Un percentatge o tant per cent (%) és una proporció expressada com una quantitat de cada 100 unitats El 15% dels tirs llançats han entrat. Significa que 15 tirs de cada 100 han entrat. I el 15% de 600?

27. Diferents càlculs Exemple 1: Exemple 2:

28. Augments percentuals Un augment és una quantitat que s'afegeix a un valor determinat Hi ha dos mètodes per fer càlculs d’augment percentual Pas a pas Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.) Exemple : El preu d’una bicicleta era de 240 euros. A aquest preu se li ha d’afegir el 16% d’ IVA. Quin és el preu final?

29. Disminucions percentuals Una disminució és una quantitat que restem a un valor determinat Hi ha dos mètodes per fer càlculs de disminució percentual Pas a pas Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.) Exemple: El preu d’un ordinador era de 1200 euros, però m’han fet un 15% de descompte. Quin és el preu final?

30. Calculeu què hem de pagar: 95,12€ 95,04€ 93,67€

31. Exemple 1 de percentatges

32. Exemple 2 de percentatges

33. Exemple 3 de percentatges

34. Interès simple Quan ingressem una quantitat a un banc, al cap d’un temps ens tornen la quantitat ingressada incrementada en un interès abonat pel banc. Els interessos produïts són directament proporcionals al capital ingressat i al temps. I= c · i · n Conceptes: Capital inicial (c): És la quantitat inicial que s’ingressa o es presta. Interès (I). Són els interessos produïts. Interès unitari (i): És l’interès que proporciona el banc Anys (n): Anys que ha durat l’operació bancària

35. Exemple 1 - interès simple Una entitat financera ofereix un 4,5% anual pel dipòsit d’un capital. Si disposem de 13500€, quin interès ens produirà al cap de 3 anys? Pas a pas: Calculem l’interès en una any: 4,5% de 13500 = 0,045 · 13500 = 607,5€ En tres anys: 607,7 · 3 = 1822,5€ Fórmula: I = c · i ·n I = 13500 · 0.045 · 3 = 1822,5€

36. Exemple 3 - interès simple Ens queden per pagar 1500€ d’un préstec que venç al cap de 90 dies. Si el tipus d’interès és del 10% anual, quant ens descomptaran si el paguem avui mateix? Quant hem de pagar? 90 dies= 90:365= 0,247 anys Calculem els interessos que hauríem de pagar per 90 dies (0,247 anys) I= c · i ·n I = 1500 · 0,1 · 0,247 = 37€ La quantitat que hauríem de pagar= 1500 – 37 = 1463€