Proporcionalidad geométrica

1. PROPORCIONALIDAD
GEOMÉTRICA
MATEMÁTICAS 2º ESO

2. ¿QUÉ VAMOS A VER?
1.- Segmentos en el plano y segmentos
proporcionales.
4.- Escalas
2.- Teorema de Tales
3.-Semejanza de triángulos. Criterios y triángulos en
Posición de tales. Aplicaciones

3. 1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS 1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS
PROPORCIONALESPROPORCIONALES
1.1 Definiciones

4. 1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS 1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS
PROPORCIONALESPROPORCIONALES
1.2 Razón de dos segmentos
1.3 Segmentos proporcionales

5. C
D
F
E
A
B
L
1
L
2
L
3
2. Teorema de Thales
Sean L
1
// L
2
// L
3
, entonces:
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos
transversales, los segmentos determinados por las
paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres
formas de presentarse:
a) Forma de Escalera:

6. Sean L
1
// L
2
, entonces:
L
1
L
2
A
C
B
O
D
AO
OD
BO
OC
=
AB
CD
AO
OD
=
AB
CD
BO
OC
=
c) Forma de Reloj de Arena:

7. C
A’
C’
B’
A
B
2. Ejemplos
a) Forma de Escalera:
3 cm 2 cm
4 cm

8. b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Calcula las longitudes que faltan en el dibujo
A
O
C
D
B
L
1
L
2
5 cm
4 cm 10 cm
y
x

9. b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Calcula la longitud que falta en el dibujo
O
A
B
A’ B’
1,5 cm
3 cm
2 cm

10. Calcular las longitudes de los segmentos BO y CD
L
1
L
2
A
C
B
O
D
AO
OD
BO
OC
=
AB
CD
AO
OD
=
AB
CD
BO
OC
=
c) Forma de Reloj de Arena:
7 cm
3 cm1,5 cm
15 cm

11. 3. Semejanza de triángulos
3.1 Triángulos semejantes
A A’
B
B’
C
C’
3.2 Triángulos en posición de Tales
Dos triángulos están en posición de tales si:
- Tienen un ángulo en común
- Los lados opuestos al ángulo común son paralelos
Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes
A
B
C
D
F

12. A
C
B
D
F
E
3.2 Criterios de semejanzas de triángulos
Existen tres criterios para determinar si dos triángulos
son semejantes
PRIMER CRITERIO: Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son SEMEJANTES si tienen sus lados
proporcionales
Ejemplo:
4
8
510
36

13. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales
A B
C
E
F
D
aa
Ejemplo:
b b
Los triángulos ABC y DEF son semejantes porque tienen
dos ángulos iguales.
SEGUNDO CRITERIO: ángulo, ángulo (A.A.)

14. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y
los lados que lo forman son proporcionales
A B
C
E
F
D
a
2,5
5
5
10
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF semejantes
TERCER CRITERIO: Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
a

15. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos
correspondientes son congruentes, y sus lados
homólogos proporcionales.
Ejemplos Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
a
b
g
E
F
D
a
b
g
5
3
15
9
4
12
Son semejantes aplicando el primer
criterio
AB
DE
BC
EF
AC
DF
1
3
= = == k

16. P
Q
R
A B
C
Ejemplos Triángulos Semejantes
Ejemplo:
4
5
8
10
Son semejantes, según el tercer principio, es decir:
El ángulo A y el R son iguales y miden 90º
Dos de sus lados son proporcionales

17. 3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos
La semejanza de triángulos, la aplicaremos para resolver muchas situaciones reales.
Como por ejemplo: la altura de un árbol o un edificio, la sombra que se proyecta…..

18. 3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos

19. 3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos

20. 4. ESCALAS
Tipos de
escalas
2:1
1:2

21. EJEMPLOS ESCALAS
1:50
Calcula las dimensiones reales
de la habitación.
1
50
20
x
D
x= 1000 cm= 10 m de largo
D
1 50
18,5 x
x= 925 cm = 9,25 m de ancho