Propriedades dos limites

Propriedades dos limites

1. Ensino Superior
Cálculo 1
1.2-Propriedades dos Limites
Ali Aidar
1Nerd Ali Aidar

2. Sejam becdois números reais, e seja num inteiro positivo.
Propriedadesdoslimites
x c
I) lim b b
II) lim x c



Obs.: Em IV, se nfor par, cdeve ser positivo.
x c
n n
x c
n n
x c
II) lim x c
III)lim x c
IV)lim x c






2Nerd Ali Aidar

3. Sejam becdois números reais, num inteiro positivo e fe g
funções para as quais e Lxf
cx


)(lim .)(lim Mxg
cx


Operaçãocomlimites


x c
I) lim [b.f(x)] bL    
 
 
 
 
f(x) L
IV) lim ; lim g(x) 0
g(x) M



  

x c
x c
x c
II) lim [f(x) g(x)] L M
III) lim [f(x).g(x)] L.M
Obs.: Em VI, se nfor par, Ldeve ser positivo.

 


 
 
 
 


x c x c
n n
x c
nn
x c
IV) lim ; lim g(x) 0
g(x) M
V) lim f(x) L
VI) lim f(x) L
3Nerd Ali Aidar

4. Propriedades
P
1-Olimitedafunçãoidentidadef(x)=x,quandoxtende
a“a”,éiguala“a”.
axlim
Operaçãocomlimites
3,0lim
3,0


x
x
3lim
3


x
x
ax
ax


lim
Exemplos:
3
5
5lim
3


x
x




x
x
lim
ex
ex


lim
4Nerd Ali Aidar

5. P
2-Olimitedeumafunçãoconstantef(x)=K,quandox
tendea“a”,éigualaprópriaconstante:
KK
ax


lim
Operaçãocomlimites
KK
ax


lim
44lim
3

x
Exemplos:
33
55lim 
x

2
lim
x
ee
x

2
lim
5Nerd Ali Aidar

6. P
3-Olimitedasomaéigualasomadoslimites
(casoesseslimitesexistam):
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

Operaçãocomlimites
1552.325limlim3lim
5lim3limlim)53(lim
2
22
2
2
22
2
2
2
2




xxx
xxxx
xx
xxxx
Exemplo:
6Nerd Ali Aidar

7. P
4-Olimitedadiferençaéigualadiferençadoslimites
(casoesseslimitesexistam):
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

Operaçãocomlimites
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

622.2limlim2
lim2lim)2(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2




xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo:
7Nerd Ali Aidar

8. P
5-Olimitedoprodutoéigualaoprodutodoslimites
(casoesseslimitesexistam):
  )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax 

Operaçãocomlimites
axaxax 
93.3lim.lim.lim)(lim
333
2
3


xxxxx
xxxx
Exemplo:
8Nerd Ali Aidar

9. P
6-Olimitedoquocienteéigualaoquocientedoslimites
(casoesseslimitesexistam):
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax








Operaçãocomlimites
)(lim)(
lim
xgxg
ax
ax







10
1
727
53
)7(lim
)5(lim
7
5
lim
3
3
3
3
3


















 x
x
x
x
x
x
x
Exemplo:
9Nerd Ali Aidar

10. P
7-Olimitedapotênciadeumafunção(f(x))
n
,ondenéum
númerointeiropositivo,éigualapotênciadolimiteda
função(casoexista):
nn
xfxf ))(lim())((lim 
Operaçãocomlimites
n
ax
n
ax
xfxf ))(lim())((lim


813))2(lim()2(lim
443
1
43
1


xxxx
xx
Exemplo:
10Nerd Ali Aidar

11. P
8-Olimitedaraizdeumafunção ,éaraizdo
limitedafunção,seolimiteexisteeémaiorouigual
azero:
n
n
xfxf )(lim)(lim 
n
xf)(
Operaçãocomlimites
n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim


51)2(4)2()14(lim14lim
44
2
4
2


xxxx
xx
Exemplo:
11Nerd Ali Aidar

12. Cálculo 1 -Limites
Resumindo:
Propriedades dos Limites
Se L, M, ae csão números reais e ninteiro
eLxf
ax


)(lim ,)(lim Mxg
ax


12Nerd Ali Aidar

13. Regra da soma(subtração):
Regra do Produto:
Regra da multiplicação por escalar:
MLxgxfxgxf
axaxax


)(lim)(lim)()(lim
MLxgxfxgxf
axaxax
.)(lim).(lim)().(lim 

Calculos Na Veia
Regra da multiplicação por escalar:
Regra do quociente:
Lcxfcxfc
axax
.)(lim.)(.lim 

M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 )(lim
)(lim
)(
)(
lim
13Nerd Ali Aidar

14. Regra da potência:
Regra da raíz
nn
ax
n
ax
Lxfxf 

))(lim()(lim
Calculos Na Veia
Regra da raíz
se é impar.
n
n
ax
n
ax
Lxfxf 

)(lim)(lim
nLxf
ax
,0)(lim 

14Nerd Ali Aidar

15. Regra do logaritmo:
Regra do seno (o mesmo para o cosseno)
0)(limlog
))(lim(log))((loglim




xfseL
xfxf
ax
c
ax
cc
ax
Calculos Na Veia
Regra do seno (o mesmo para o cosseno)
Regra da exponencial:
Lxfxf
axax
sen))(limsen()(senlim 

L
xf
xf
ax
ccc
ax



)(lim
)(
lim
15Nerd Ali Aidar

16. Cálculo 1 -Limites
SeP(x)éumafunçãopolinomialecéumnúmeroreal,então
)()(lim cPxP
cx


Limitedeumafunçãopolinomial
Teorema 2–Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
obtidos por Substituição:
Se
0
1
1
...)( axaxaxP
n
n
n
n



então
0
1
1 ...)()( lim acacacPxP
n
n
n
n
cx




16Nerd Ali Aidar

17. Cálculo 1 -Limites
Exemplo–Limite de Uma Função Polinomial
243 lim
245
2 x


xxxx
322246496
224164)32(3
2)2()2()2(4)2(3
245



17Nerd Ali Aidar

18. Cálculo 1 -Limites
LimitesdeFunçõesRacionais
Teorema3–OsLimitesdeFunçõesRacionaispodemser
obtidosporSubstituição,casoolimitedo
denominadornãosejazero:denominadornãosejazero:
Se e são polinômios e ,
então
)(xP )(xQ 0)(cQ
)(
)(
)(
)(
lim
cQ
cP
xQ
xP
cx


18Nerd Ali Aidar

19. Cálculo 1 -Limites
Exemplo –Limite de Uma Função Racional
0
03)1(4)1(34
lim
2323



xx
0
65)1(5
lim
22
1




 x
x
19Nerd Ali Aidar

20. Cálculo 1 -Limites
Exemplo 3–Cancelando um Fator Comum
0
0

2
2
2
1
lim



 xx
xx
x
Solução:Nãopodemossubstituirx=1porqueissoresultaemumSolução:Nãopodemossubstituirx=1porqueissoresultaemum
denominadorzero.Testamosonumeradorparaverseestetambém
ézeroemx=1.Tambémé,portantoapresentaofator(x–1)em
comumcomodenominador.Cancelaro(x–1)resultaemuma
fraçãomaissimples,comosmesmosvaloresdaoriginalparax1:
x
x
xx
xx
xx
xx 2
)1(
)2)(1(2
2
2







Sex1
20Nerd Ali Aidar

21. Cálculo 1 -Limites
Usandoafraçãosimplificada,obtemosolimitedessesvalores
quandox1porsubstituição:
)1(
)1)(2(2
limlim 2
2





xx
xx
xx
xx
)1(limlim
1
2
1 


 xxxx
xx
3
1
212
lim
1




 x
x
x
21Nerd Ali Aidar

22. Cálculo 1 -Limites




)22(
22
lim
hh
h
h
h
h
22
lim
0


  
 22
22.22
lim



hh
hh
Calcule


 )22(
lim
0 hhh
22
1
202
1



 22
lim
0 

 hhh
)22(
lim
0 

 hh
h
h
22
1
lim
0 

 hh
22Nerd Ali Aidar

23. Cálculo 1 -Limites
Vamosagoracalcularalgunslimitesimediatos,deformaafacilitaro
entendimentodosexercíciosmaiscomplexosquevirãoemseguida:
a)lim(2x+3)=2.5+3=13
x5
b)lim(x
2
+x)=(+∞)
2
+(+∞)=+∞+∞=+∞b)lim(x
2
+x)=(+∞)
2
+(+∞)=+∞+∞=+∞
x+∞
c)lim(4+x
3
)=4+2
3
=4+8=12
x2
d)lim[(3x+3)/(2x-5)]=[(3.4+3)/(2.4-5)]=5
x4
e)lim[(x+3)(x-3)]=(4+3)(4-3)=7.1=7
x4
23Nerd Ali Aidar

24. Cálculo 1 -Limites
R: -3
R: 0
3
2
1
3 2
1
x
x x
Lim
x

 

g)
f)
1
45
2
1 

 x
xx
Lim
x
3
6
R:
4
3
1
1
1
x
x
Lim
x



i)
3
1
1
1
x
x
Lim
x



j)
R: 2/3
0
3 3
x
x
Lim
x

 
h)
R: 4/3
24Nerd Ali Aidar

25. Cálculo 1 -Limites
Teorema do Confronto (ou Sanduíche)
Se
e f(x) g(x) h(x)
Lxhxf
axax


)(lim)(lim
então,
Exemplo:
Lxg
ax


)(lim


xxxfse
x
xf
x
3
2
0
)(,
)(
lim
25Nerd Ali Aidar

26. Cálculo 1 -Limites
Sabemos que:
Se |f(x)| x
3
, então –x
3
f(x) x
3
Dividindo por x
2
toda a inequação temos:
x
xf
x 
)(
Pelo teorema do confronto:
x
x
xf
x
xxx 0
2
00
lim
)(
lim)(lim


x
x
xf
x 
2
)(
0
)(
lim0
)(
lim0
2
0
2
0

 x
xf
x
xf
xx
26Nerd Ali Aidar

27. Cálculo 1 -Limites
Sef,gehsãofunçõesqueestãodefinidasemalgum
intervaloabertoIquecontémx
0,exceto,possivelmente,no
  
Teoremadoconfronto
própriox
0,f(x) g(x)h(x),paratodoxemI,talquexx
0e
então Lxhxf
xxxx


)(lim)(lim
00
Lxg
xx


)(lim
0
27Nerd Ali Aidar

28. Cálculo 1 -Limites
Ilustraçãodousodoteoremadoconfronto
2
x 0
1
lim x sen 0
x

28Nerd Ali Aidar

29. Autor: Ali Aidar
Propriedades dos Limites
Nerd Ali Aidar 29