Proyeccion de cuerpos

Geometria Descriptiva

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO PUERTO CABELLO
INGENIERIA MECANICA NOCTURNO
Profesor:
Ing. Rafael Peña
Integrantes:
Ángeles Víctor
Bolívar Marbelys
Figueredo William
Marchena Bernis
Navas Pedro
Quiroz Richard
Puerto Cabello, noviembre de 2007

2. Figuras planas

3. NoNo es más que una porción del espacio es más que una porción del espacio
limitada por superficies planas. Los limitada por superficies planas. Los
elementos característicos que poseen los elementos característicos que poseen los
poliedros son las caras, las aristas y los poliedros son las caras, las aristas y los
vértices.vértices.

4. Las caras de un poliedro son una serie Las caras de un poliedro son una serie
de polígonos en números finitos que limitan la de polígonos en números finitos que limitan la
figura. figura.

Los lados de las caras del poliedro son Los lados de las caras del poliedro son
las aristas, las cuales limitan dos caras las aristas, las cuales limitan dos caras
contiguas. Cada arista del poliedro, lo es a su contiguas. Cada arista del poliedro, lo es a su
vez, del diedro formado por las caras vez, del diedro formado por las caras
contiguas a las que pertenece dicha arista.contiguas a las que pertenece dicha arista.

Los vértices son los de las caras. Cada Los vértices son los de las caras. Cada
vértice es el punto de encuentro de tres ó vértice es el punto de encuentro de tres ó
más caras del poliedro.más caras del poliedro.

5. Podemos decir que un poliedro es Podemos decir que un poliedro es
Convexo si todo él está en el mismo Convexo si todo él está en el mismo
semi espacio respecto al plano de semi espacio respecto al plano de
cada una de sus caras, prolongado cada una de sus caras, prolongado
indefinidamente. indefinidamente.

Si en una sola de sus caras no se Si en una sola de sus caras no se
cumple esta condición, entonces cumple esta condición, entonces
estamos hablando de un poliedro estamos hablando de un poliedro
Cóncavo.Cóncavo.

La clasificación de los poliedros La clasificación de los poliedros
es:es:

Poliedros regulares: es aquel cuyas Poliedros regulares: es aquel cuyas
caras son polígonos regulares iguales caras son polígonos regulares iguales
y en cada uno de sus vértices y en cada uno de sus vértices
concurren el mismo número de caras. concurren el mismo número de caras.
Solo existen cinco tipos de poliedros Solo existen cinco tipos de poliedros
regulares:regulares:

6. El tetraedroEl tetraedro: Cuatro caras : Cuatro caras
triangulares, que concurren tres en cada triangulares, que concurren tres en cada
vértice. Tiene cuatro vértice y seis aristas. vértice. Tiene cuatro vértice y seis aristas.
Es el más sencillo de todos los poliedros, Es el más sencillo de todos los poliedros,
puesto que con tres planos no se puede puesto que con tres planos no se puede
cerrar ningún espacio. Sus ángulos cerrar ningún espacio. Sus ángulos
poliedros son todos triedros cuyas caras poliedros son todos triedros cuyas caras
miden 60º, y la perpendicular trazada miden 60º, y la perpendicular trazada
desde un vértice a la cara opuesta pasa por desde un vértice a la cara opuesta pasa por
el centro de ella.el centro de ella.

7. El Cubo El Cubo (exaedro): Seis caras (exaedro): Seis caras
cuadradas, que concurren tres en cada cuadradas, que concurren tres en cada
vértice. Tiene ocho vértice y doce aristas. vértice. Tiene ocho vértice y doce aristas.
Sus caras contiguas son perpendiculares y Sus caras contiguas son perpendiculares y
sus diedros. Por tanto, rectos. Las caras sus diedros. Por tanto, rectos. Las caras
opuestas son paralelas.opuestas son paralelas.

8. El OctaedroEl Octaedro: Ocho caras : Ocho caras
triangulares, que concurren cuatro en triangulares, que concurren cuatro en
cada vértice. Tiene seis vértice y doce cada vértice. Tiene seis vértice y doce
aristas. Las cuatro caras de sus ángulos aristas. Las cuatro caras de sus ángulos
poliedros miden 60º y sus tres poliedros miden 60º y sus tres
diagonales, son perpendiculares entre sí. diagonales, son perpendiculares entre sí.
Las aristas opuestas, son iguales y Las aristas opuestas, son iguales y
paralelas, y sus extremos son los paralelas, y sus extremos son los
vértices de un cuadrado.vértices de un cuadrado.

9. El DodecaedroEl Dodecaedro: doce caras : doce caras
pentagonales regulares, que pentagonales regulares, que
concurren en cada vértice. Tiene concurren en cada vértice. Tiene
veinte vértice y treinta aristasveinte vértice y treinta aristas

10. El Icosaedro: Veinte caras triangulares que El Icosaedro: Veinte caras triangulares que
concurren cinco en cada vértice. Tiene doce concurren cinco en cada vértice. Tiene doce
vértices y treinta aristas. Las cinco caras de vértices y treinta aristas. Las cinco caras de
sus ángulos poliedros miden 60º.sus ángulos poliedros miden 60º.
Se puede trazar una esfera fuera del poliedro Se puede trazar una esfera fuera del poliedro
regular, en la que, su centro coincida con el regular, en la que, su centro coincida con el
centro del poliedro circunscrito, siendo dicho centro del poliedro circunscrito, siendo dicho
centro el punto de centro el punto de intersecciónintersección de las de las
perpendiculares a las caras trazadas por el perpendiculares a las caras trazadas por el
centro de estas.centro de estas.

11. EL PRISMA
El prisma es aquel que está compuesto por caras laterales rectangulares y bases con
forma de triángulo, pentágono, hexágono ó cuadrado. En el caso de que sus caras
también sean cuadradas, estaríamos hablando de un Cubo.

Se puede decir que el prisma es un poliedro, el cual se encuentra limitado por una
superficie prismática y dos planos secantes paralelos. La distancia entre los planos a las
bases de un prisma se llama Altura.

Existen cuatro tipos diferentes de prisma tales como lo son el prisma Oblicuo, recto,
Regular y el paralelepípedo que es aquel cuyas bases son paralelogramos.

En el desarrollo de un prisma podemos decir que la superficie lateral del mismo puede
extenderse sobre un plano, del cual obtendremos una figura plana, que es el desarrollo
del prisma. Por saber que sus caras laterales son paralelogramos, el desarrollo tendrá
como resultado una figura formada por muchos paralelogramos como caras laterales
tenga el prisma.

12. PRISMA RECTO

Si se trata más bien, del desarrollo de un prisma recto, las caras son rectángulos y el
desarrollo será por tanto, un rectángulo. Para conseguirlo solo se debe tomar sobre una
recta cualquiera de longitudes iguales, respectivamente, a los lados de la base del prisma
y por los puntos de división, y en dirección perpendicular a la recta que los une, llevar
longitudes iguales a la arista del prisma. El rectángulo total es el desarrollo de la superficie
prismática.

13.  
 
 
PRISMA Y UN PLANO DE CANTO
 Para conseguir la traza que  deja un plano de canto y un prisma se debe tener en cuenta que un plano de 
canto es aquel que es totalmente perpendicular a la línea de tierra y paralelo al plano lateral de proyección, 
y se procede llevando líneas desde cada una de las aristas laterales del prisma hasta su corte con al traza  
que deja Vα, estos puntos de corte que referidos a la proyección  horizontal de las aristas   nos dan las 
proyecciones A1, B1,C1,D1 y E1 las cuales nos dan los vértices del polígono sección. 

14. Prisma y Recta
r2
s2
s1
c1
r1
Hs
c2
ha
A1
M1
B1
N1
A2
M2
N2
B2
Hr
Hemos representado en la figura las intersecciones de la recta r1-r2 con un prisma
oblicuo. Se traza una recta que pase por un punto cualquiera en este caso C1 y
trazamos una recta paralela a las arista del prisma que parta de ese punto y corte a la
traza hα. Las trazas horizontales de r y s, determinan la traza hα del plano auxiliar, que
corta en A1 y B1 a la base del prisma. Trazando paralelas por estos puntos a la
proyección vertical r2 vamos a obtener las debidas proyecciones verticales de los puntos
buscados.

15. Pirámide
Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son
triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la
pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el
vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de
la pirámide (e). Las pirámides se clasifican

16. Representación de una pirámide

18. Sección plana de un prisma
Para hallar la sección que un plano cualquiera produce en un prisma, basta hallar la intersección con dicho plano
de todas las aristas laterales del prisma, siendo estas intersecciones los vértices de la polígona sección. Esto se
aprecia mejor en la figura que se presenta.
.
.
. .

19. .
Sección plana de la pirámide

20.  
 
  El cono
 
    Es una superficie radiada, que se engendra al hacer girar una recta g llamada generatriz sobre una curva  d 
denominada directriz pasando siempre por un mismo punto v llamado vértice. Si el cono tiene base circular, 
se denomina cono circular. Si el cono tiene eje perpendicular a la base se denomina cono recto de lo 
contrario se llamara cono oblicuo.
 
         Para  tener  una  correcta  representación  del  cono  se  deben  indicar  y  realizar  correctamente  las 
proyecciones de dicho cono, señalando su base y el vértice. Además se deben determinar los contornos 
aparentes, es decir las partes vistas y las ocultas. 

21.  
 
 
Corte de una Recta con un cono.
 
Dado una recta r y un cono, el plano α estará determinado por el vértice del cono y por la recta r.  Para 
hallar la intersección con el cono debemos determinar las generatrices VA y VB.  También notamos que  los 
puntos M y N se encuentran al interceptar la recta r con las generatrices VA y VB.
Para hallar la generatriz Va y VB, se debe determinar una traza Tα, así pues donde esta corta a la base del 
cono, se podrá hallar a los puntos A y B, por medio de los cuales luego se podrá hallar a la generatriz. 

22.  
 
 
Aplicación al Diedro de una recta que corta a un cono. 
 
Dada la figura donde vemos al cono y a la recta r-r, si quisiéramos hallar a los puntos de intersección M y N, 
debemos encontrar la traza Hr, de la recta dada y la D-D de la recta determinada por el vértice y cualquier 
punto C-C que pertenezca a R-R.
 
En estas trazas determinan la traza horizontal Hα, así pues encontramos los cortes con la base del cono en 
los puntos A y B, de esta manera se trazan las generatrices VA y VB. Y donde estas se cortan con las rectas 
dadas, se encontrarán a los puntos N-N y M-M 

23. Plano tangente que pase por un punto exterior.
Como todo plano tangente al cono ha de pasar por su vértice V (fig.
15.5) deberá contener a los puntos V y P, luego pasará por VP y como, además,
su traza con el plano de la base del cono debe ser tangente a ésta, se deduce la
siguiente construcción:

Hallar la traza T de la recta VP (determinada por el punto P y el vértice
y), con el plano de la base del cono. Trazar, desde T, las tangentes t
1
y t
2
a la
base del cono determinando los puntos de tangencia A y B y las generatrices g
2

y g
1
de contacto. Los planos pedidos son los determinados por VP y las
tangentes t
1
y t
2
.

24. Plano tangente paralelo a una recta.

Basta trazar por el vértice V (fig. 15.5) una recta VT, paralela a la D,
dada, reduciéndose este problema al anterior, puesto que todo plano que pase
por VT es paralelo a la dirección dada D.

Plano tangente a dos conos del mismo vértice y bases coplanarias.

Basta trazar las tangentes comunes a las bases de los conos, que en
el caso de la figura son cuatro, AB, CD, EF y GH (fig. 15.6). Los planos pedidos
son los determinados por el vértice común V y cada una de las tangentes
citadas. Según la posición de las bases, el problema podrá tener de cero a
cuatro soluciones.

Un caso de aplicación inmediata de este problema es el de trazar un
plano tangente a un cono y que forme un ángulo determinado con una recta
dada o con un plano dado, o el de trazar un plan tangente común a un cono y a
una esfera.

26. Cilindro
Cilindro recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases.
Cilindro oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases.
Cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica
de revolución. Pueden a su vez ser:
Cilindro de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a las
bases.
Cilindro de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a
las bases.

28. Representación de una superficie cilíndrica
Proyecciones de la directriz y la dirección común de las generatrices.
Proyecciones de las bases y la dirección de las generatrices
Una base y la dirección y longitud de la generatriz.

30. Plano tangente
Para hallar el plano tangente a un cilindro, por un punto dado D de su superficie,
se traza la generatriz CB que pasa por dicho punto, y corta a la base en B. esta
generatriz y la tangente BH a la circunferencia de la base en B, nos determina el
plano tangente α que buscamos.