Proyecto de optimizacion de derivadas

Trabajo de aplicación en la empresa BACKUS & JOHNSTON- Matemática 1

1. Título OPTIMIZACIÓN DE DERIVADAS EN LA EMPRESA “BACKUS & JOHNSTON”

2. PROBLEMA ¿ En qué medida la optimización de derivadas mejora la minimización en las dimensiones de las latas de aluminio de bebidas en la empresa “ Backus & Johnston” del distrito Trujillo?

3. hipótesis La optimización de derivadas Mejora significativamente la minimización de las dimensiones de las latas de aluminio de la empresa “ Backus & Johnston ”.

4. OBJETIVOS

5. PROBLEMA Backus & Johnston es una empresa dedicada a la producción y venta de bebidas, para lo cual utiliza diferentes envases como: botellas de vidrio, envases de aluminio y barriles chopp. Tomando como ejemplo las latas de aluminio, las cuales se modelan en forma de cilindro circular recto y almacenan unos 355 mililitros de líquido, se ha detectado que la producción de aluminio requiere mucha energía, por lo que es deseable diseñar las latas de bebida de forma que utilicen la mínima cantidad posible de material. ¿Qué dimensiones debe tener la lata de bebida óptima?

6. DATOS “ h” la altura del cilindro Y “r ” la radio de las tapas

7. 1.-Hallar el área superficial de un cilindro circular recto con tapa y base cerrada TAPAS DEL CILINDRO PARED DEL CILINDRO

8. el área superficial de un cilindro circular recto con tapa y base cerrada A = 2 π. r.h + 2( π r 2 ) Pared del cilindro tapas del cilindro SE DEBE MINIMIZAR

9. FUNCIÓN DE RESTRICCIÓN

10. Sustituyendo este valor de “h” en la fórmula de “A”, se obtiene :

11. Para comprobar si se trata en realidad de un mínimo, se calcula la segunda derivada de A(r): A”(r) = 2 + 4 π > 0 ; para r > 0 Para calcular “h”, se utiliza: h = = = h=2 = 2r= 7.67 cm  

12. Por lo tanto , como se debe minimizar el àrea y como ya tengo las medidas mìnimas ahora si puedo reemplazar la “r” y la “h” A= 2 π. r.h + 2( π r 2 ) A= 2(3.1416)(3.84)(7.67) + 2((3.1416)(3.84) 2 A= 277.70 cm 2

13. H emos obtenido que la lata que utiliza la mínima cantidad de materiales sea aquella en que la altura es igual a su diámetro; por lo tanto la medidas mínimas son h = 7.67cm y la r =3.84cm. Las latas de bebidas reales tiene h= 12 cm y r=3 cm. CONCLUSIÓN

14. RECOMENDACIONES Luego de analizar el problema, llegamos a la conclusión que el radio de la lata, no debería medir más de 3.84 cm, ya que de lo contrario se gastaría material extra, lo cual no sería nada favorable . Además, se observó que si se quiere tener las medidas exactas, la mejor manera es usar la teoría de optimización.

15. Arya , Jagdish , Lardner , Robin . (2009)Matemáticas aplicadas a la administración y la economía. Segunda Edición . PETERSON , J. (2006). Matemática Básica: Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Segunda Edición. México: CECSA. REFERENCIAS

16. ANEXOS