Óptica - Hecht

Libro de nivel superior sobre la óptica.

1.
Optica
Eugene Hecht
Alfred Zajac
Captulos seleccionados del libro original por
Juan Manuel Enrique Mu~nido
26 de abril de 2002
Formateado con L
ATEX 2"
en Debian GNU/Linux 3.0

2. Version Preliminar
2 Juan Manuel Enrique Mu~nido

3. Indice general
1. Movimiento Ondulatorio 5
1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.2. Ondas Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.1. Representacion Compleja de las Ondas Unidimensionales
12
1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5. Ecuacion Diferencial de Onda Tridimensional . . . . . . . . . . .
17
1.6. Ondas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.7. Ondas Cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2. Teora Electromagnetica, Fotones y Luz 25
2.1. Leyes Basicas de la Teora Electromagnetica . . . . . . . . . . . .
262.1.1. Ley de Induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.1.2. Ley de Gauss Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.3. Ley de Gauss Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2. Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3. Ondas Electromagneticas en Medios No Conductores . . . . . . .
35
2.3.1. Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3.2. Propagacion de la Luz a traves de un Medio Dielectrico .
41
2.4. Energa de las Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . .
43
2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3. Tratamiento Electromganetico de la Propagacion de la Luz 47
3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
483.1.1. Deduccion de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . . .
50
3.1.2. Interpretacion de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . .
53
4. Superposicion de Ondas 59
4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . . . . . . . . . . . .
614.1.1. El Metodo Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.1.2. El Metodo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . . . . . . . . . . . . .
683

4.
INDICE GENERAL
4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5. Interferencias 73
5.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
745.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.3. Interferometros de Division de Frente de Onda . . . . . . . . . .
79
5.4. Pelculas Dielectricas. Interferencia de dos Haces . . . . . . . . .
83
5.4.1. Franjas de Igual Inclinacion . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6. Difraccion 89
6.1. Difraccion de Fraunhofer por una Rendija . . . . . . . . . . . . .
90
4 Juan Manuel Enrique Mu~nido

5. CAP

ITULO 1Movimiento Ondulatorio
Indice General
1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Ondas Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.1. Representacion Compleja de las Ondas Unidimen-
sionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5. Ecuacion Diferencial de Onda Tridimensional . . .
17
1.6. Ondas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.7. Ondas Cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . .
235

6. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
SECCION 1.1
Ondas Unidimensionales
Sea una perturbacion que viaja en la direccion positiva dexcon una
velocidad constantev. La naturaleza especca de la perturbacion no es por
el momento importante. Podra ser el desplazamiento vertical de una cuerda,
o de la magnitud de un campo electrico o magnetico asociado con una onda
electromagnetica, o aun la amplitud de la probabilidad cuantica de una onda de
materia.
Como la perturbacion esta en movimiento, debe ser una funcion tanto de la
posicion como del tiempo y se puede, por consiguiente, escribir como:
=f(x; t) (1.1)
La forma de la perturbacion en cualquier instante se puede encontrar man-
teniendo el tiempo constante en un determinado valor, por ejemplot= 0. En
este caso:
(x; t)t=0=f(x;0) =f(x) (1.2)
la funcion (x; t) representa la forma operlde la onda en un momento dado.
El proceso es analogo a tomar una otografa" del pulso que va viajando. Por
el momento el estudio se limitara a una onda que no cambia su forma mientras
avanza a traves del espacio. Tras un tiempotdesde la produccion del pulso
de la onda, este recorre una distanciavta lo largo del ejexde un sistema
de coordenadasS, pero en todos los aspectos permanece inalterado. Si ahora
se introduce un sistema de coordenadasS
0
que viaja junto con el pulso a la
velocidadv, en este sistema ya no es una funcion del tiempo, y puesto que se
mueve junto conS
0
se ve un perl constante estacionario con la misma forma
funcional de la ecuacion (1.2). Aqu, el eje coordenado esx
0
en lugar dex, de
tal forma que:
=f(x
0
) (1.3)
La perturbacion se ve igual para cualquier valor detenS
0
como lo era enS
parat= 0 cuandoSyS
0
tenan un origen comun. Se deduce que:
x
0
=xvt (1.4)
de tal forma que se puede escribir en terminos de las variables asociadas con
el sistemaScomo:
(x) =f(xvt) (1.5)
Entonces esto representa la forma mas general de lafuncion de onda unidimen-
sional. De un modo especco,solamente se tiene que escoger la forma(1.2)y
entonces sustituirxvtporxenf(x). La expresion resultante describe una
onda movil que tiene el perl deseado. Si se verica la forma de la ecuacion
6 Juan Manuel Enrique Mu~nido

7. 1.1. ONDAS UNIDIMENSIONALES
(1.5) examinando despues de un incremento tde tiempo y un aumento
correspondiente enxdevt, se encuentra:
f[(x+vt)v(t+ t)] =f(xvt)
y el perl esta inalterado.
Similarmente, si la onda estuviese viajando en la direccion negativa dex, es
decir, hacia la izquierda, la ecuacion (1.5) quedara:
=f(x+vt);conv >0 (1.6)
Por consiguiente, se puede concluir que, independientemente de la forma de la
perturbacion, las variablesxytdeben aparecer en la funcion como una unidad;
es decir, como una variable simple de la formaxvt. La ecuacion (1.5) se
expresa a menudo equivalentemente como una funcion detx=vya que:
f(xvt) =F


xvt
v

=F(tx=v) (1.7)
Se desea usar la informacion deducida hasta aqu para desarrollar la forma
general de la ecuacion diferencial de onda unidimensional. Con ese proposito, se
toma la derivada parcial de (x; t) con respecto axmanteniendotconstante.
Usandox
0
=xvtse tiene:
@
@x
=
@f
@x
0
@x
0
@x
=
@f
@x
0
ya que
@x
0
@x
= 1 (1.8)
Si se mantienexconstante, la derivada parcial con respecto al tiempo es:
@
@t
=
@f
@x
0
@x
0
@t
=v
@f
@x
0
(1.9)
Combinando las ecuaciones (1.8) y (1.9) se obtiene:
@
@t
=v
@
@x
(1.10)
Esto dice que la rapidez de cambio de conty conxes igual, excepto por
una constante multiplicativa. Conociendo de antemano que se necesitaran dos
constantes para especicar una onda, se puede anticipar una ecuacion de onda
de segundo orden. Tomando las segundas derivadas parciales de las ecuaciones
(1.8) y (1.9), se obtiene:
@
2

@x
2
=
@
@x

@f
@x
0

=
@
@x
0

@f
@x
0

@x
0
@x
=
@
2
f
@x
02
y
@
2

@t
2
=
@
@t

v
@f
@x
0

=
@
@x
0

v
@f
@x
0

@x
0
@t
=v
2
@
2
f
@x
02
Combinando estas ecuaciones se obtiene:
@
2

@x
2
=
1
v
2
@
2

@t
2
(1.11)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 7

8. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
que es laecuacion diferencial de ondaen una dimension. Es claro de la forma de
la ecuacion (1.11) que si dos funciones de ondas diferentes 1y 2son cada una
soluciones diferentes, entonces ( 1+ 2) es tambien una solucion.
1
De acuerdo
con esto, la ecuacion de onda se satisface de manera mas general por una funcion
de onda que tiene la forma:
=C1f(xvt) +C2g(x+vt) (1.12)
dondeC1yC2son constantes y las funciones son diferenciables dos veces. Esto
es claramente la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a lo
largo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo perl.
El principio de superposicion es inherente en esta ecuacion.
SECCION 1.2
Ondas Armonicas
Hasta ahora no se ha dado una dependencia funcional explcita a la funcion
de onda (x; t), es decir, no se ha especicado su forma. La forma de onda
mas simple tiene como perl una curva seno o coseno. Estas se conocen varia-
damente como ondas senoidales, ondas armonicas simples, o mas sucintamente
como ondas armonicas. Cualquier forma de onda se puede sintetizar por una
superposicion de ondas armonicas y por consiguiente ellas toman un signicado
especial.
Se escoge para el perl la funcion simple:
(x; t)t=0=f(x;0) =f(x) =Asinkx= (x) (1.13)
dondekes una constante positiva conocida como elnumero de propagaciony
kxesta expresado en radianes. El seno vara de +1 a1 de manera que el
maximo valor de (x) esA. Este maximo de la perturbacion se conoce como
laamplitudde la onda. A n de transformar la ecuacion (1.13) en unaonda
progresivaque viaja con velocidadven la direccion positiva dex, se necesita
simplemente reemplazarxporxvt, en cuyo caso:
(x; t) =f(xvt) =Asink(xvt) (1.14)
Esto es claramente una solucion de la ecuacion diferencial de onda (1.11). Man-
teniendo jas bien seaxotresulta una perturbacion senoidal de tal forma que
la onda es periodica tanto en el espacio como en el tiempo. Elperodo espa-
cialse conoce como lalongitud de la onday se denota por. Un aumento o
disminucion enxen la cantidaddebe dejar inalterado, es decir:
(x; t) = (x; t) (1.15)
1
Ya que 1y 2son soluciones:
@
2
1
@x
2
=
1
v
2
@
2
1
@t
2
y
@
2
2
@x
2
=
1
v
2
@
2
2
@t
2
Sumando estas, se obtiene:
@
2
1
@x
2
+
@
2
2
@x
2
=
1
v
2

@
2
1
@t
2
+
@
2
2
@t
2

)
@
@x
2
( 1+ 2) =
1
v
2
@
2
@t
2
( 1+ 2);
de manera que ( 1+ 2) es tambien una solucion de la ecuacion (1.11)8 Juan Manuel Enrique Mu~nido

9. 1.2. ONDAS ARM

ONICAS
En el caso de una onda armonica, esto es equivalente a alterar el argumento de
la funcion seno en2. Por consiguiente:
sink(xvt) = sink[(x)vt] = sin[k(xvt)2]
y as
jkj= 2
o, ya quekyson numeros positivos
k= 2= (1.16)
En forma completamente analoga, se puede examinar elperodo temporal,. Esta
es la cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observador
estacionario. En este caso, es el comportamiento repetitivo de la onda en el
tiempo el que es de interes, de manera que:
(x; t) = (x; t) (1.17)
y
sink(xvt) = sink[xv(t)] = sin[k(xvt)2]
Por consiguiente:
jkvj= 2
Pero todas estas son cantidades positivas y as
kv= 2 (1.18)
o
2

v= 2
de lo cual se sigue que
=

v
(1.19)
El perodo es el numero de unidades de tiempo por onda, el inverso del cual es
lafrecuenciao el numero de ondas por unidad de tiempo. Entonces:

1

(ciclos/s o Hertz)
y la ecuacion (1.19) queda:
v=(m/s) (1.20)
Hay otras dos cantidades que se usan a menudo en la literatura del movimiento
ondulatorio que son lafrecuencia angular:
!
2

(radianes/s) (1.21)
y elnumero de onda:

1

(m
1
) (1.22)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 9

10. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
La longitud de onda, perodo, frecuencia, frecuencia angular, numero de onda
y numero de propagacion describen aspectos de la naturaleza repetitiva de una
onda en el espacio y en el tiempo. Estos conceptos se aplican igualmente bien a
ondas que no son armonicas siempre que cada perl de onda este formado por
un patron regularmente repetitivo. Hasta ahora se han denido un numero de
cantidades que caracterizan varios aspectos del movimiento ondulatorio, segun
lo cual existe un numero equivalente de formulaciones de una onda armonica
progresiva. Algunas de las mas comunes de estas son:
=Asink(xvt)
=Asin 2

x


t


(1.23)
=Asin 2(xvt) (1.24)
=Asin(kx!t) (1.25)
=Asin 2

x
v
t

(1.26)
Debe notarse que todas estas ondas son de extension innita, es decir para cual-
quier valor jo det,xvara de1a +1. Cada onda tiene solo una frecuencia
constante y por consiguiente se dice que esmonocromatica.
SECCION 1.3
Fase y Velocidad de Fase
Sea la funcion de onda armonica de la forma:
(x; t) =Asin(kx!t)
El argumento completo de la funcion seno se conoce como lafase'de la onda,
de manera que:
'= (kx!t) (1.27)
Parax= 0 yt= 0 se verica:
(x; t)x=0
t=0
= (0;0) = 0
el cual es ciertamente un caso especial. Mas generalmente se puede escribir.
(x; t) =Asin(kx!t+") (1.28)
donde"es lafase inicialoedad del angulo. Un sentido fsico del signicado
de"se puede obtener imaginando que se desea producir una onda armonica
progresiva en una cuerda tensa. A n de generar ondas armonicas, la mano
que sostiene la cuerda tendra que moverse de tal forma que su desplazamiento
verticalyfuese proporcional al negativo de su aceleracion, es decir, el movimiento
es armonico simple. Pero enx= 0 yt= 0 la mano ciertamente no necesita estar
en el ejexcuando esta a punto de moverse hacia abajo. Podra, por supuesto,
comenzar su movimiento en un balanceo hacia arriba, en cuyo caso"=. En
este ultimo caso:
(x; t) =y(x; t) =Asin(kx!t+)
10 Juan Manuel Enrique Mu~nido

11. 1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE
el cual es equivalente a:
(x; t) =Asin(!tkx)
o
(x; t) =Acos

!tkx

2

La edad del angulo es entonces justamente la contribucion constante a la fase
que se origina en el generador y es independiente de que tan distante en el
espacio y que tan lejos en el tiempo ha viajado la onda.
La fase de una perturbacion como (x; t) dada por la ecuacion (1.28) es:
'(x; t) =kx!t+" (1.29)
y es obviamente una funcion dexyt. En efecto, la derivada parcial de'con
respecto at, manteniendoxconstante, es larapidez de cambio de la fase con el
tiempo:





@'
@t

x




=! (1.30)
Similarmente, larapidez del cambio de la fase con la distancia, manteniendot
constante, es:





@'
@x

t




=k (1.31)
Estas dos expresiones deben traer a la mente una ecuacion de la teora de
derivadas parciales, una usada muy frecuentemente en termodinamica, o sea:

@x
@t

'
=
(@'=@t)x
(@'=@x)t
(1.32)
El termino de la izquierda representa la velocidad de propagacion de un punto
de fase constante. Escogiendo cualquier punto del perl de la onda, al moverse
la onda en el espacio, el desplazamientoydel punto permanece constante. Ya
que la unica variable en la funcion de la onda armonica es la fase, ella tambien
debe ser constante. Esto es, la fase esta ja en un valor tal queypermanece
constante correspondiendo al punto seleccionado. El punto se mueve junto con
el perl con la velocidadvy as tambien lo hace la condicion de fase constante.
Tomando la derivada parcial de'apropiada como se da por el ejemplo en
la ecuacion (1.29) y sustituyendola en la ecuacion (1.32) se obtiene:

@x
@t

'
=
!
k
=v (1.33)
Esta es la rapidez con la cual el perl se mueve y se conoce comunmente como
lavelocidad de fase. Lavelocidad de faselleva un signo positivo cuando la onda
se mueve en la direccion en que aumentaxy negativo en la direccion en que
Juan Manuel Enrique Mu~nido 11

12. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
disminuyex. Esto concuerda con el desarrollo devcomo la magnitud de la
velocidad de la onda.
Considerese la idea de la propagacion de fase constante y como se relaciona
con cualquiera de las ecuaciones de onda armonica, dgase:
=Asink(xvt)
con
'=k(xvt) = constante;
cuandotaumenta,xdebe aumentar. Aun six <0 tal que' <0,xdebe
aumentar, es decir, se hace menos negativa. Aqu, entonces, la condicion de fase
constante se mueve en la direccion en que aumentax. Para:
'=k(xvt) = constante
cuandotaumenta,xpuede ser positiva y decreciente o negativa y haciendose
mas negativa. En cualquier caso, la condicion de fase constante se mueve en la
direccion en que disminuyex.
.
........................................................................
1.3.1
Representacion
Compleja
de las
Ondas
Unidimen-
sionales
Al desarrollar el analisis de los fenomenos ondulatorios se hara claro que las
funciones seno y coseno que describen las ondas armonicas son poco adecuadas
para la mayora de los propositos. Al hacerse mas complicadas las expresiones
que se estan formulando, las manipulaciones trigonometricas que se requieren
para enfrentarse con ellas se hacen aun menos atractivas. La representacion de
ondas con numeros complejos ofrece una descripcion alternativa que es mate-
maticamente mas simple de trabajar. En efecto, la forma exponencial compleja
de la ecuacion de onda se usa ampliamente en mecanica clasica y cuantica, y
tambien en optica.
El numero complejoztiene la forma:
z=x+iy (1.34)
dondei=
p
1. Las partes real e imaginaria dezson respectivamentexey
donde ambas,xey, son numeros reales. En terminos de las coordenadas polares
(r; ), se tiene:
(
x=rcos
y=rsin
La formula deEuler:
2
e
i
= cos+isin
permite escribir:
z=re
i
=rcos+irsin;
donderes lamagnituddez, yes elangulo de fasedez, en radianes. La
magnitud a menudo se denota porjzjy se conoce como elmoduloovalor
absolutodel numero complejo. Elcomplejo conjugado, indicado por un astersco,
se encuentra reemplazandoidonde quiera que aparezca, pori, tal que:
8
>
<
>
:
z

= (x+iy)

=xiy
z

=r(cosisin)
z

=re
i
2
Si se tiene cualquier duda acerca de esta identidad, se toma la diferencial dez= cos+
isindonder= 1. Esto dadz=izd, y una integracion daz=e
i
.
12 Juan Manuel Enrique Mu~nido

13. 1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE
Las operaciones de adicion y sustraccion son inmediatas:
z1z2= (x1+iy1)(x2+iy2)
y por consiguiente:
z1z2= (x1x2) +i(y1y2)
Observese que este proceso es muy similar a la adicion de vectores por compo-
nentes.
La multiplicacion y la division se expresan de manera mas simple en forma
polar:
z1z2=r1r2e
i(1+2)
y
z1
z2
=
r1
r2
e
i(12)
Vale la pena en este punto mencionar un numero de hechos utiles, que seran de
valor en los calculos futuros. Se deduce facilmente de las formulas de adicion
trigonometricas ordinarias que:
e
z1+z2
=e
z1
e
z2
donde, por lo tanto, siz1=xyz2=iy,
e
z
=e
x+iy
=e
x
e
iy
:
El modulo de una cantidad compleja esta dado por:
jzj
p
zz

tal que:
je
z
j=e
x
:
En vista de que cos 2= 1 y sin 2= 0,
e
i2
= 1;
similarmente:
e
i
=e
i
=1 ye
i

2=i
La funcione
z
es periodica, es decir, se repite a s misma cadai2:
e
z+i2
=e
z
e
i2
=e
z
:
Cualquier numero complejo se puede representar como la suma de una parte
real Re(z) y una parte imaginaria Im(z):
z= Re(z) +iIm(z)
tal que:
Re(z) =
1
2
(z+z

) y Im(z) =
1
2i
(zz

):
De la forma polar donde:
Re(z) =rcosy Im(z) =rsin;
Juan Manuel Enrique Mu~nido 13

14. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
es claro que cualquier parte se puede escoger para describir una onda armoni-
ca. Se acostumbra, sin embargo, escoger la parte real en cuyo caso una onda
armonica se escribe como:
(x; t) =Re
h
Ae
i(!tkx+")
i
; (1.35)
la cual es, por supuesto, equivalente a:
(x; t) =Acos(!tkx+"):
De aqu en adelante, siempre que sea conveniente se escribira la funcion de onda
como:
(x; t) =Ae
i(!tkx+")
=Ae
i'
; (1.36)
y se utilizara esta forma compleja en los calculos requeridos. Esto se hace a
n de sacarle partido a la facilidad de manejo de las exponenciales complejas.
Solo despues de llegar a un resultado nal, y solamente si se desea representar
la onda verdadera, se necesita tomar la parte real. De acuerdo con esto se ha
hecho muy comun escribir (x; t), como la ecuacion (1.36), donde se entiende
que la onda real es la parte real.
SECCI

ON 1.4
Ondas Planas
La onda plana es quiza el ejemplo mas simple de una onda tridimensional.
Existe en un instante dado, cuando todas las supercies sobre las cuales una
perturbacion tiene fase constante forman un conjunto de planos, cada uno ge-
neralmente perpendicular a la direccion de propagacion. Hay razones practicas
para estudiar este tipo de perturbaciones, una de las cuales es que usando sis-
temas opticos se pueden producir facilmente luz semejante a ondas planas.
La expresion matematica para un plano perpendicular a un vector dado
~
k
y que pasa a traves de algun punto (x0; y0; z0) es bastante facil de deducir. El
vector de posicion, en terminos de sus componentes en coordenadas cartesianas,
es:
~r(x; y; z):
Comienza en algun origen arbitrarioOy termina en el punto (x; y; z) el cual
puede, por el momento, estar en cualquier lugar en el espacio. Poniendo:
(~r~r0)
~
k= 0 (1.37)
se fuerza al vector (~r~r0) a barrer un plano perpendicular a
~
k, cuando su punto
extremo (x; y; z) toma todos los valores permitidos. Con:
~
k(kx; ky; kz): (1.38)
la ecuacion (1.37) se puede expresar en la forma:
kx(xx0) +ky(yy0) +kz(zz0) = 0 (1.39)
14 Juan Manuel Enrique Mu~nido

15. 1.4. ONDAS PLANAS
o como:
kxx+kyy+kzz=a (1.40)
donde:
a=kxx0+kyy0+kzz0= constante: (1.41)
La forma mas concisa de la ecuacion de un plano perpendicular a
~
kes entonces:
~
k~r=a= constante (1.42)
El plano es el lugar geometrico de todos los puntos cuya proyeccion en la direc-
cion
~
kes una constante.
Se puede ahora construir un conjunto de planos sobre los cuales (~r) vara
senoidalmente, es decir:
(~r) =Asin

~
k~r

(1.43)
(~r) =Acos

~
k~r

(1.44)
o
(~r) =Ae
i
~
k~r
(1.45)
Para cada una de estas expresiones (~r) es constante sobre cada plano denido
por
~
k~r= constante. Como se manejan funciones armonicas, se deben repetir a
s mismas en el espacio de un desplazamiento deen la direccion de
~
k. Si no se
ponen lmites a~r, los planos son de extension innita y la perturbacion ocupa
claramente todo el espacio.
La naturaleza espacialmente repetitiva de estas funciones se puede expresar
por:
(~r) =

~r+

~
k
k
!
(1.46)
dondekes la mangitud de
~
ky
~
k=kes un vector unitario paralelo a el. En la
forma exponencial, equivale a:
Ae
i
~
k~r
=Ae
i
~
k(~r+
~
k=k)
=Ae
i
~
k~r
e
i
~
k
:
Para que sea cierto, se debe tener:
e
i
~
k
= 1 =e
i2
;
por consiguiente:
k= 2
Juan Manuel Enrique Mu~nido 15

16. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
y
k=
2

:
El vector
~
k, cuya magnitud es elnumero de propagacion k(ya introducido), se
llama elvector propagacion.
En cualquier punto jo en el espacio donde
~
k~res constante, la fase es
constante y tambien lo es (~r); en resumen, los planos estan inmoviles. Para
hacer que las cosas se muevan, (~r) debe hacerse variar en el tiempo, algo que
se puede lograr introduciendo la dependencia en el tiempo en una forma analoga
a la de una onda unidimensional. Aqu entonces:
(~r; t) =Ae
i(
~
k~r+!t)
(1.47)
conA,!ykconstantes. A medida que esta perturbacion viaja a lo largo de
la direccion
~
kse le puede asignar una fase correspondiente en cada punto en
el espacio y en el tiempo. En cualquier instante, las supercies que unen todos
los puntos de igual fase se conocen comofrentes de ondaosupercies de onda.
Observese que la funcion de onda tendra un valor constante sobre el frente de
onda solamente si la amplitudAtiene un valor jo en el frente. En general,A
es una funcion de~ry puede no ser constante sobre todo el espacio o ni siquiera
sobre un frente de onda. En el ultimo caso, se dice que la onda esinhomogenea;
pero a efectos practicos no interesa este tipo de perturbacion, a menos que se
consideren haces de luz laser y reexion total interna.
La velocidad de fase de una onda plana, dada por la ecuacion (1.47) es equiva-
lente a la velocidad de propagacion del frente de onda. La componente escalar de
~ren la direccion de
~
kesrk. La perturbacion en un frente de onda es constante,
de manera que despues de un tiempodt, si el frente se mueve a lo largo de
~
k
una distanciadrk, se debe tener:
(~r; t) = (rk+drk; t+dt) = (rk; t): (1.48)
En forma exponencial, o sea:
Ae
i(
~
k~r!t)
=Ae
i(krk+kdrk!t!dt)
=Ae
i(krk!t)
;
por consiguiente:
kdrk=!dt
y la magnitud de la velocidad de la ondadrk=dtes:
drk
dt
=
!
k
=v (1.49)
Se podra haber anticipado este resultado girando el sistema coordenado de tal
forma que
~
kfuese paralelo al ejex. Para esa orientacion:
(~r; t) =Ae
i(kx!t)
ya que
~
k~r=krk=kx. La onda haba sido as reducida efectivamente a una
perturbacion unidimensional ya discutida anteriormente.
16 Juan Manuel Enrique Mu~nido

17. 1.5. ECUACI

ON DIFERENCIAL DE ONDA TRIDIMENSIONAL
La onda armonica plana a menudo se escribe en coordenadas Cartesianas
como:
(x; y; z; t) =Ae
i(kxx+kyy+kzz!t)
(1.50)
o
(x; y; z; t) =Ae
i[
~
k(x+y+z!t)]
(1.51)
donde,yson los cosenos directores de
~
k. En terminos de sus componentes,
la magnitud del vector de propagacion esta dado por:



~
k


=k=
q

k
2
x+k
2
y+k
2
z

(1.52)
y por supuesto:

2
+
2
+
2
= 1: (1.53)
Se ha examinado ondas planas dando enfasis particular a las ondas armo-
nicas. El signicado especial de estas ondas es doble: primero, fsicamente, las
ondas senoidales se pueden generar en forma relativamente simple usando al-
guna forma de oscilador armonico; segundo, cualquier onda tridimensional se
puede expresar como una combinacion de ondas planas, cada una con distinta
amplitud y direccion de propagacion.
Se puede ciertamente imaginar una serie de ondas planas como aquellas
donde la perturbacion vara en alguna forma que no es armonica. Las ondas
armonicas planas son, en efecto, un caso especial de una solucion mas general
de ondas planas.
SECCION 1.5
Ecuacion Diferencial de Onda Tridimensional
De todas las ondas tridimensionales, solamente la onda plana (armonica o
no) se mueve a traves del espacio con un perl que no cambia. Entonces es claro
que la idea segun la cual una onda es la de propagacion de una perturbacion
cuyo perl no se altera, es algo defectuosa. Esta dicultad se puede vencer
deniendo una onda como cualquier solucion de la ecuacion diferencial de onda.
Obviamente, lo que se necesita ahora es una ecuacion de onda tridimensional.
Esta debera ser bastante facil de obtener, ya que se puede adivinar su forma
generalizando la expresion unidimensional (1.11). En coordenadas Cartesianas,
las variables de posicionx,yyzdeben ciertamente aparecer simetricamente
3
en la ecuacion tridimensional, un hecho que se debe recordar. La funcion de onda
(x; y; z; t) dada por la ecuacion (1.51) es una solucion particular de la ecuacion
3
No hay distincion caracterstica para ninguno de los ejes en coordenadas Cartesianas. Se
debe por lo tanto se capaz de cambiar lo nombres de, digamos,xaz,yaxyzay(manteniendo
el sistema derecho sin alterar la ecuacion diferencial de onda.
Juan Manuel Enrique Mu~nido 17

18. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
diferencial que se esta buscando. En analoga con la deduccion de la ecuacion
(1.11) se calculan las siguientes derivadas parciales de la ecuacion (1.51):
@
2

@x
2
=
2
k
2
(1.54)
@
2

@y
2
=
2
k
2
(1.55)
@
2

@z
2
=
2
k
2
(1.56)
y
@
2

@t
2
=!
2
(1.57)
Sumando las tres derivadas espaciales y utilizando el hecho de que
2
+
2
+
2
=
1 se obtiene:
@
2

@x
2
+
@
2

@y
2
+
@
2

@z
2
=k
2
(1.58)
Combinando esto con la derivada respecto del tiempo (1.57) y recordando que
v=!=k, se llega a:
@
2

@x
2
+
@
2

@y
2
+
@
2

@z
2
=
1
v
2
@
2

@t
2
(1.59)
laecuacion diferencial de onda tridimensional. Observese quex,y, yzaparecen
simetricamente y la forma es precisamente la que se esperara de la generaliza-
cion de la ecuacion (1.11).
La ecuacion (1.59) se describe generalmente en una forma mas concisa in-
troduciendo el operadorLaplaciano:
r
2

@
2
@x
2
+
@
2
@y
2
+
@
2
@z
2
(1.60)
de donde queda simplemente:
r
2
=
1
v
2
@
2

@t
2
(1.61)
Ahora que se tiene esta ecuacion, que es la mas importante, observese de nuevo
la onda plana y se vea como se adecua al esquema de cosas. Una funcion de la
forma:
(x; y; z; t) =Ae
ik(x+y+zvt)
(1.62)
es equivalente a la ecuacion (1.51) y como tal, es una solucion de la ecuacion
(1.61). Se puede demostrar tambien que:
(x; y; z; t) =f(x+y+zvt) (1.63)
18 Juan Manuel Enrique Mu~nido

19. 1.6. ONDAS ESF

ERICAS
y
(x; y; z; t) =g(x+y+z+vt) (1.64)
son soluciones de ondas planas de la ecuacion diferencial de onda. Las funcionesf
yg, que son dos veces diferenciables, son arbitrarias y ciertamente no necesitan
ser armonicas. Una combinacion lineal de estas es tambien una solucion y se
puede escribir esto de una manera ligeramente diferente como:
(~r; t) =C1f

~r
~
k=kvt

+C2g

~r
~
k=k+vt

(1.65)
dondeC1yC2son constantes.
Las coordenadas Cartesianas son particularmente adecuadas para describir
ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones fsicas, se puede
frecuentemente hacer mejor uso de las simetras existentes por medio de otras
representaciones coordenadas.
SECCION 1.6
Ondas Esfericas
Imagnese una peque~na esfera pulsatil rodeada por un uido. Al contraerse
y expandirse la fuente, genera variaciones en la presion que se propagan hacia
afuera como ondas esfericas.
Considerese ahora una fuente puntual ideal de luz. La radiacion que emana
de ella uye radialmente hacia afuera, uniformemente en todas direcciones. Se
dice que la fuente esisotropicay los frentes de onda resultantes son de nuevo
esferas concentricas con diametro creciente cuando se expanden en el espacio que
las rodea. La simetra obvia de los frentes de onda sugiere que podra ser mas
conveniente describirlos matematicamente, en terminos de coordenadas polares
esfericas. En esta representacion el operador Laplaciano es:
r
2

1
r
2
@
@r

r
2
@
@r

+
1
r
2
sin
@
@

sin
@
@

+
1
r
2
sin
2

@
@
(1.66)
donder,yse denen por:
x=rsincos; y=rsinsin; z=rcos:
Recordando que se esta buscando una descripcion de las ondas esfericas, de
ondas que son esfericamente simetricas, es decir, aquellas caracterizadas por el
hecho de que no dependen deni dede modo que:
(~r) = (r; ; ) = (r): (1.67)
Entonces el Laplaciano de (r) es simplemente:
r
2
(r) =
1
r
2
@
@r

r
2
@
@r

(1.68)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 19

20. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Este resultado se puede obtener sin estar familiarizados con la ecuacion (1.66).
Comenzando con la forma cartesiana del Laplaciano (1.60), se opera sobre la
funcion de onda (r) simetricamente esferica y se convierte cada termino a
coordenadas polares. Examinando solamente la dependencia dex, se tiene:
@
@x
=
@
@r
@r
@x
y
@
2

@x
2
=
@
2

@r
2

@r
@x

2
+
@
@r
@r
2
@x
2
ya que:
(~r) = (r):
Usando:
x
2
+y
2
+z
2
=r
2
se tiene:
@r
@x
=
x
r
;
@
2
r
@x
2
=
1
r
@
@x
(x) +x
@
@x

1
r

=
1
r

1
x
2
r
2

y
@
2

@x
2
=
x
2
r
2
@
2

@r
2
+
1
r

1
x
2
r
2

@
@r
Ahora, teniendo@
2
=@x
2
, se forma@
2
=@y
2
y@
2
=@z
2
, y sumando se obtiene:
r
2
(r) =
@
2

@r
2
+
2
r
@
@r
;
la cual es equivalente a la ecuacion (1.68). Este resultado se puede expresar en
forma ligeramente diferente:
r
2
=
1
r
@
2
@r
2
(r ) (1.69)
La ecuacion diferencial de onda (1.61) se puede escribir entonces como:
1
r
@
2
@r
2
(r ) =
1
v
2
@
2

@t
2
(1.70)
Multiplicando ambos lados porr, se obtiene:
@
2
@r
2
(r ) =
1
v
2
@
2
@t
2
(r ) (1.71)
Observese que esta expresion es precisamente la ecuacion diferencial de onda
unidimensional (1.11), donde la variable espacial esry la funcion de onda es el
producto (r ). La solucion de la ecuacion (1.71) es entonces simplemente:
r (r; t) =f(rvt)
o
(r; t) =
f(rvt)
r
(1.72)
20 Juan Manuel Enrique Mu~nido

21. 1.6. ONDAS ESF

ERICAS
Esto representa una onda esferica que progresa radialmente hacia afuera desde el
origen, con una velocidad constantev, y que tiene una forma funcional arbitraria
f. Otra solucion esta dada por:
(r; t) =
g(r+vt)
r
y en este caso la onda esta convergiendo hacia el origen.
4
El hecho de que esta
expresion falla enr= 0 es de poca importancia practica.
Un caso especial de la solucion general:
(r; t) =C1
f(rvt)
r
+C2
g(r+vt)
r
: (1.73)
es laonda esferica armonica
(r; t) =

A
r

cosk(rvt) (1.74)
o
(r; t) =

A
r

e
ik(rvt)
(1.75)
donde la constanteAse llama laintensidad de la fuente. Para cualquier valor jo
del tiempo, esto representa una agrupacion de esferas concentricas que llenan
todo el espacio. Cada frente de onda, o supercie de fase constante esta dado
por:
kr= constante
Observese que la amplitud de cualquier onda esferica es una funcion der,
donde el terminor
1
sirve como un factor de atenuacion. Al contrario que una
onda plana, una onda esferica disminuye en amplitud, con lo cual cambia su
perl, cuando se expande y se aleja del origen.
5
Un pulso de onda esferica tiene
la misma extension en el espacio en cualquier punto a lo largo de cualquier radio
r, es decir, el ancho del pulso a lo largo del ejeres una constante. Se podra
haber considerado una onda armonica, en lugar de un pulso. En este caso, la
perturbacion senoidal estara acotada por las curvas:
=
A
r
y =
A
r
La onda esferica que viaja hacia afuera emanada de una fuente puntual,
y la onda que viaja hacia adentro convergiendo a un punto, son ciertamente
idealizaciones. En realidad la luz solamente se aproxima a ondas esfericas como
tambien solo se aproxima a ondas planas.
Cuando un frente de onda esferica se propaga hacia afuera, su radio aumen-
ta. Sucientemente lejos de la fuente, una peque~na area del frente de onda se
acercara mucho a una porcion de una onda plana.
4
Otras soluciones mas complicadas existen cuando la onda no es esfericamente simetrica.
5
El factor de la atenuacion es una consecuencia directa de la conservacion de energa.
Juan Manuel Enrique Mu~nido 21

22. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
SECCION 1.7
Ondas Cilndricas
Ahora se examinara brevemente otro frente de onda idealizado, el cilindro
circular innito. Desafortunadamente un tratamiento matematico preciso es de-
masido complicado para hacerlo aqu. Sin embargo se bosquejara el el procedi-
miento, de tal forma que la funcion de onda resultante no evoque misticismo.
El Laplaciano de en coordenadas cilndricas es:
r
2
=
1
r
@
@r

r
@
@r

+
1
r
2
@
2

@
2
+
@
2

@z
2
(1.76)
donde:
x=rcos; y=rsin;y z=z:
El caso sencillo de simetra cilndrica requiere que:
(~r) = (r; ; z) = (r)
La independencia designica que un plano perpendicular al ejezintersectara
el frente de onda en un crculo, el cual puede variar enr, para diferentes valores
dez. Ademas, la independencia dezrestringe el frente de onda a un cilindro
circular centrado en el ejezy que tiene longitud innita. La ecuacion diferencial
de onda es entonces:
1
r
@
@r

r
@
@r

=
1
v
2
@
2

@t
2
(1.77)
Se esta buscando una expresion para (r), una solucion de esta ecuacion. Des-
pues de un poco de manipulacion en la cual la dependencia del tiempo se separa,
la ecuacion (1.77) se convierte en algo que se llama la ecuacion de Bessel. Las
soluciones de la ecuacion de Bessel para grandes valores derse aproximan asin-
toticamente a formas trigonometricas simples. Finalmente, entonces cuandor
es sucientemente grande, se puede escribir:
(r)
A
p
r
e
ik(rvt)
(r)
A
p
r
cosk(rvt): (1.78)
Esto representa un conjunto de cilindros circulares coaxiales que llenan todo el
espacio y que viajan hacia una fuente lineal innita o se alejan de ella. No se
pueden ahora encontrar soluciones en terminos de funciones arbitrarias como
las haba tanto para las ondas esfericas (1.73) como para las planas (1.65).
Una onda plana que choca en la parte posterior de una pantalla opaca plana
y que contiene una rendija delgada y larga, producira una emision, por esa
rendija, de una perturbacion parecida a una onda cilndrica. Se ha hecho un uso
extensivo de esta tecnica para generar ondas luminosas. Recuerdese que la onda
real, como quiera que sea generada, solamente se aproxima a la representacion
matematica idealizada.
22 Juan Manuel Enrique Mu~nido

23. 1.8. ONDAS ESCALARES Y VECTORIALES
SECCION 1.8
Ondas Escalares y Vectoriales
Hay dos clasicaciones generales de ondas, longitudinales y transversales. La
distincion entre las dos proviene de una diferencia entre la direccion a lo largo
de la cual ocurre la perturbacion y la direccion
~
k=k, en la cual se propaga la
perturbacion. Esto es mas facil de visualizar cuando se trata de un medio ma-
terial deformable elastico. Una onda longitudinal ocurre cuando las partculas
del medio se desplazan de sus posiciones de equilibrio, en una direccion paralela
a
~
k=k. Se origina una onda transversal cuando la perturbacion, en este caso el
desplazamiento del medio, es perpendicular a la direccion de propagacion. En
el caso de las ondas transversales, el movimiento ondulatorio esta connado a
un plano jo en el espacio llamadoplano de vibraciony por lo tanto se dice
que la onda eslinealmente polarizadaopolarizada plana. A n de determinar
por completo la onda, se debe ahora especicar la orientacion del plano de vi-
bracion, y tambien la direccion de propagacion. Esto es equivalente a resolver
la perturbacion en componentes a lo largo de dos ejes mutuamente perpendicu-
lares ambos normales a la direccion de propagacion. El angulo en el cual esta
inclinado el plano de vibracion es constante, de modo que en cualquier tiempo
las componentes dieren de por una constante multiplicativa y ambas son por
lo tanto soluciones de la ecuacion diferencial de onda. Se presenta un hecho muy
signicativo: la funcion de onda, de una onda transversal, se comporta en forma
parecida a una cantidad vectorial. Con la onda moviendose a lo largo del ejez
se puede escribir:
~
(z; t) = x(z; t)~i+ y(z; t)~j; (1.79)
donde, por supuesto,~i;~jy
~
kson vectores base unitarios en coordenadas carte-
sianas.
Una onda, plana armonica escalar esta dada por la expresion:
~
(~r; t) =Ae
i(
~
k~r!t)
:
Una onda plana armonicapolarizada linealmenteesta dada por el vector de
onda:
~
(~r; t) =Ae
i(
~
k~r!t)
: (1.80)
o en coordenadas cartesianas por:
~
(x; y; z; t) =

Ax
~i+Ay
~j+Az
~
k

e
i(kxx+kyy+kzz!t)
(1.81)
Para este caso donde el plano de vibracion esta jo en el espacio, tambien lo es
la orientacion de
~
A. Recuerdese que
~
y
~
Adieren solamente por un escalar y,
como tal, son paralelos el uno al otro y perpendiculares a
~
k=k.
La luz es una onda transversal y es una apreciacion de su naturaleza vecto-
rial de gran importancia. Los fenomenos depolarizacionoptica se pueden tratar
facilmente en terminos de este tipo de visualizacion ondulatoria vectorial. Para
luzno polarizada, donde el vector de onda cambia de direccion al azar y rapi-
damente, las aproximaciones escalares se hacen utiles, como en las teoras de la
interferencia y la difraccion.
Juan Manuel Enrique Mu~nido 23

24. CAP

ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
24 Juan Manuel Enrique Mu~nido

25. CAP

ITULO 2Teora Electromagnetica,
Fotones y Luz
Indice General
2.1. Leyes Basicas de la Teora Electromagnetica . . . .
26
2.1.1. Ley de Induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . .
26
2.1.2. Ley de Gauss Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.3. Ley de Gauss Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2. Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3. Ondas Electromagneticas en Medios No Conduc-
tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352.3.1. Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3.2. Propagacion de la Luz a traves de un Medio Dielectrico
41
2.4. Energa de las Ondas Electromagneticas . . . . . . .
43
2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4325

26. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
SECCION 2.1
Leyes Basicas de la Teora Electromagnetica
El objetivo de esta seccion es el de revisar y desarrollar, aunque sea bre-
vemente, algunas de las ideas necesarias para apreciar el concepto de ondas
electromagneticas.
Se sabe por experimentos que las cargas, aunque esten separadas en el espa-
cio, experimenta una interaccion mutua. Como una posible explicacion se podra
especular que cada carga emite (y absorbe) un ujo de partculas indetectables
(fotones virtuales). El ujo de estas partculas entre las cargas se puede conside-
rar como una forma de interaccion. Alternativamente, se puede tomar el punto
de vista clasico e imaginar que cada carga esta rodeada de algo llamado un cam-
po electrico. Entonces se necesita suponer solamente que cada carga interacciona
directamente con el campo electrico en el que esta sumergido. Entonces, si una
cargaqexperimenta una fuerza
~
FE, el campo electrico
~
Een la posicion de la
carga esta denido por
~
FE=q
~
E. Ademas se observa que una carga movil puede
experimentar otra fuerza
~
FMla cual es proporcional a su velocidad~v. Entonces
se tiene que denir aun otro campo, a saber lainduccion magnetica
~
B, tal que
~
FM=q~v
~
B. Si ambas fuerzas
~
FEy
~
FMocurren simultaneamente se dice que
la carga se mueve a traves de una region ocupada tanto por campos electricos
como magneticos donde
~
F=q
~
E+q~v
~
B.
Hay otras varias observaciones que se pueden interpretar en terminos de estos
campos y al hacerlo as se puede obtener una mejor idea de las propiedades
fsicas que se deben atribuir a
~
Ey a
~
B. Como se vera, loscampos electricos
son generados tanto por cargas electricas como porcampos magneticos variables
con el tiempo. Similarmente,los campos magneticosson generados por corrientes
electricas y porcampos electricos variables en el tiempo. Esta interdependencia
de
~
Ey de
~
Bes el punto clave en la descripcion de la luz y su elaboracion es la
motivacion para mucho de lo que sigue.
.
........................................................................
2.1.1 Ley
de
Induccion
de Faraday
Michael Faraday hizo numerosas e importantes contribuciones a la teora
electromagnetica. Una de las mas signicativas fue su descubrimiento de que un
ujo magnetico variable en el tiempo, pasando a traves de un circuito conduc-
tor cerrado, da como resultado la generacion de una corriente alrededor de ese
circuito. El ujo de la induccion magnetica (odensidad de ujo magnetico
~
B)
a traves de un area abiertaA, limitada por el circuito conductor esta dado por:
B=
x
A
~
B
~
dS: (2.1)
Lafuerza electromotrizinducida of.e.m.producida alrededor del circuito es
entonces:
f:e:m:=
dB
dt
: (2.2)
26 Juan Manuel Enrique Mu~nido

27. 2.1. LEYES B

ASICAS DE LA TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA
Sin embargo, no debe comprometerse demasiado con la imagen de alambres,
corriente y f.e.m. El interes presente son los campos electricos y magneticos
mismos. En efecto, la f.e.m. existe solamente como un resultado de la presencia
de un campo electrico dado por:
f:e:m:=
I
C
~
E
~
dL; (2.3)
tomada alrededor de la curva cerradaC, que corresponde al circuito. Igualando
las ecuaciones (2.2) y (2.3) y haciendo uso de la ecuacion (2.1) se obtiene:
I
C
~
E
~
dI=
d
dt
x
A
~
B
~
dS: (2.4)
Se comenzo esta discusion examinando un circuito conductor y se ha llegado a la
ecuacion (2.4); esta expresion, excepto por la trayectoriaC, no tiene referencia
al circuito fsico. En efecto, la trayectoria se puede escoger muy arbitrariamente
y no necesita estar dentro, o cerca de ningun conductor. El campo electrico en
la ecuacion (2.4) no aparece directamente por la presencia de cargas electricas
sino del campo magnetico variable con el tiempo. Sin cargas que actuen como
fuentes o sumideros, las lneas de campo se cierran, formando circuitos. Para el
caso en el cual la trayectoria esta ja en el espacio y sin cambiar de forma, la
ley de induccion(2.4) se puede reescribir como:
I
C
~
E
~
dI=
x
A
@
~
B
@t
dS: (2.5)
Esta, es en s misma una expresion bastante fascinante ya que indica que el
campo magnetico variable en el tiempo tendra un campo electrico asociado con
el..
........................................................................
2.1.2 Ley
de Gauss
Electrica
Otra de las leyes fundamentales del electromagnetismo recibe su nombre del
matematico aleman Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Ella relaciona el ujo de
la intensidad de campo electrico a traves de una supercie cerradaA:
E=
{
A
~
E
~
dS (2.6)
con la carga total encerrada. La integral doble lleva un crculo como recordatorio
de que la supercie esta cerrada. El vector
~
dSesta en la direccion de unanormal
hacia afuera. Si el volumen encerrado porAesV, y si dentro de ella hay una
distribucion continua de carga, la ley de Gauss es entonces:
{
A
~
E
~
dS=
1

y
V
dV (2.7)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 27

28. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
La integral a la izquierda es la diferencia entre la cantidad de ujo hacia adentro
y hacia afuera de cualquier supercie cerradaA. Si hay una diferencia, sera
debida a la presencia de fuentes o sumideros del campo electrico dentro deA.
Claramente entonces, la integral debe ser proporcional a la carga total encerrada.
La constantese conoce como lapermitividad electricadel medio. Para el caso
especial del vaco, lapermitividad del espacio libreesta dada por0= 8;8542
10
12
C
2
N
1
m
2
. La permitividad de un material se puede expresar en terminos
de0como:
~=
~
Ke0; (2.8)
donde
~
Ke, laconstante dielectrica(opermitividad relativa), es una cantidad sin
dimensiones, y es la misma para todos los sistemas de unidades. El interes en
~
Keanticipa el hecho de que la permitividad esta relacionada con la velocidad
de la luz en materiales dielectricos, como vidrio, cuarzo, etc.
.
........................................................................
2.1.3 Ley
de Gauss
Magnetica
No se conoce una contraparte magnetica de la carga electrica, es decir, nun-
ca se han encontrado de manera aislada polos magneticos, aunque se hayan
observado ampliamente incluso en muestras del suelo lunar. A diferencia del
campo electrico, la induccion magnetica
~
Bno diverge o converge hacia algu-
na clase de carga magnetica (una fuerza monopolar o una cada). Los campos
de induccion magnetica se pueden describir en funcion de distribucion de co-
rrientes. Realmente, se puede considerar un magneto elemental como si fuera
una peque~na corriente circular donde las lneas de
~
Bson continuas y cerradas.
Cualquier supercie cerrada en una region de campo magnetico podra tener
entonces un numero igual de lneas de
~
Bentrando y saliendo de esta. Esta si-
tuacion se produce por la ausencia de monopolos en el volumen cerrado. el ujo
de induccion magnetica Ba traves de dicha supercie es cero; se tiene entonces
el equivalente magnetico de la ley de Gauss:
B=
{
A
~
B
~
dS= 0 (2.9)
.
........................................................................
2.1.4 Ley
Circuital de
Ampere
Otra ecuacion que sera de gran interes se debe a Andre Marie Ampere (1775-
1836). Se conoce como laley circuitaly relaciona una lnea integral de
~
Btan-
gente a una curva cerradaC, con la corriente totalique pasa dentro de los
connes deC:
I
C
~
B
~
dI=
x
A
~
J
~
dS=i (2.10)
La supercie abiertaAesta limitada porC, yJes la corriente por unidad
de area. La cantidadse llama lapermeabilidaddel medio particular. Para
el vaco=0(la permeabilidad del espacio libre), que se dene como 4
10
7
N s
2
C
2
.
Como en la ecuacion (2.8):
=Km0 (2.11)
28 Juan Manuel Enrique Mu~nido

29. 2.1. LEYES B

ASICAS DE LA TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA
dondeKmes lapermeabilidad relativasin dimensiones.
La ecuacion (2.10), aunque a menudo es adecuada, no es la verdad com-
pleta. Las cargas moviles no son la unica fuente del campo magnetico. Esto se
evidencia por el hecho de que mientras se esta cargando o descargando un con-
densador, se puede medir un campo
~
Ben la region entre sus placas. Este campo
es indistinguible del que rodea los alambres aun cuando ninguna corriente en
realidad atraviesa el condensador. Observese, sin embargo, que siAes el area
de cada placa yQla carga en ella:
E=
Q
A
Cuando la carga vara, el campo electrico cambia y:

@E
@t
=
i
A
es efectivamente una densidad de corriente. James C. Maxwell supuso la exis-
tencia de tal mecanismo, al que llamodensidad de corriente de desplazamiento,
denida por:
~
JD=
@
~
E
@t
: (2.12)
La reformulacion de la ley de Ampere, como:
I
C
~
B
~
dI=
x
A

~
J+
@
~
E
@t
!

~
dS (2.13)
fue una de las contribuciones mas grandes de Maxwell. Aclara que aun cuando
~
J= 0, un campo
~
Evariable en el tiempo estara acompa~nado por un campo
~
B..
........................................................................
2.1.5
Ecuaciones
de Maxwell
El conjunto de expresiones integrales dadas por las ecuaciones (2.5), (2.7),
(2.9) y (2.13) han llegado a conocerse como las ecuaciones de Maxwell. Recuer-
dese que estas son generalizaciones de resultados experimentales. Esta formula-
cion muy simple de las ecuaciones de Maxwell gobierna el comportamiento de
los campos electricos y magneticos en el espacio libre donde=0,=0y
ambasy
~
Json cero. En este caso:
I
C
~
E
~
dI=
x
A
@
~
B
@t

~
dS; (2.14)
I
C
~
B
~
dI=00
x
A
@
~
E
@t

~
dS; (2.15)
{
A
~
B
~
dS= 0; (2.16)
{
A
~
E
~
dS= 0: (2.17)
Observese que excepto por un escalar multiplicativo, los campos electricos y
magneticos aparecen en las ecuaciones con una simetra notable. Sin embargo
Juan Manuel Enrique Mu~nido 29

30. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
si
~
Eafecta a
~
B,
~
Ba su vez afectara a
~
E. La simetra matematica supone una
gran simetra fsica.
Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma diferencial la que sera
bastante mas util para deducir los aspectos ondulatorios del campo electromag-
netico. Esta transicion se puede lograr facilmente haciendo uso de dos teoremas
del calculo vectorial, a saber, el teorema de la divergencia de Gauss:
{
A
~
FdS=
y
V
r
~
F dV
y el teorema de Stokes:
I
C
~
F
~
dI=
x
A
r
~
F
~
dS
Aqu la cantidad
~
Fno es un vector jo, sino una funcion que depende de las
variables de posicion. Es una regla que asocia a un vector unico, por ejemplo en
coordenadas cartesianas,
~
F(x; y; z) con cada punto (x; y; z) en el espacio. Las
funciones vectoriales valuadas de este tipo, tales como
~
Ey
~
Bse conocen como
campos vectoriales.
Aplicando el teorema de Stokes a la intensidad de campo electrico se tiene:
I
~
E
~
dI=
x
r
~
E
~
dS
Al comparar esto con la ecuacion (2.5) se deduce que:
x
r
~
E
~
dS=
x
@
~
E
@t

~
dS
Este resultado debe ser cierto para todas las supercies limitadas por la trayec-
toriaC. Esto puede ser el caso solamente si los integrandos son iguales, es decir,
si:
r
~
E=
@
~
B
@t
Una aplicacion similar a
~
Bdel teorema de Stokes, usando la ecuacion (2.13) da
como resultado:
r
~
E=

~
J+
@
~
E
@t
!
:
El teorema de la divergencia de Gauss aplicado a la intensidad del campo elec-
trico da: {
~
E
~
dS=
y
r
~
EdV:
Si se hace uso de la ecuacion (2.7) esto queda:
y
V
r
~
EdV=
1

y
V
dV;
y como esto es cierto para cualquier volumen (es decir, para un dominio cerrado
arbitrario) los dos integrandos deben ser iguales. Por consiguiente, en cualquier
punto (x; y; z; t) en el espacio-tiempo.
r
~
E==
30 Juan Manuel Enrique Mu~nido

31. 2.2. ONDAS ELECTROMAGN

ETICAS
En la misma forma, el teorema de la divergencia de Gauss aplicado al campoB
y combinado con la ecuacion (2.9) da:
r
~
B= 0
Las ecuaciones correspondientes para elespacio libre, en coordenadas carte-
sianas, son como sigue:
@Ez
@y

@Ey
@z
=
@Bx
@t
;
@Ex
@z

@Ez
@x
=
@By
@t
;
@Ey
@x

@Ex
@y
=
@Bz
@t
;
(2.18)
@Ez
@y

@Ey
@z
=00
@Bx
@t
;
@Ex
@z

@Ez
@x
=00
@By
@t
;
@Ey
@x

@Ex
@y
=00
@Bz
@t
;
(2.19)
@
~
Bx
@x
+
@
~
By
@y
+
@
~
Bz
@z
= 0; (2.20)
@
~
Ex
@x
+
@
~
Ey
@y
+
@
~
Ez
@z
= 0: (2.21)
La transicion se ha hecho entonces de la formulacion de las ecuaciones de Max-
well en terminos de integrales sobreregiones nitas, a una reformulacion en
terminos de las derivadas enpuntosen el espacio.
Ahora se tiene todo lo que se necesita para comprender el proceso magnco
por el cual los campos electricos y magneticos acoplados de modo no separado,
y sosteniendose mutuamente, se propagan hacia el espacio como una entidad
simple, libre de cargas y corrientes, sin materia, sin eter.
SECCION 2.2
Ondas Electromagneticas
Tres observaciones, a partir de las cuales se puede construir un modelo cuali-
tativo, son facilmente aprovechables y estas son la perpendicularidad general de
los campos, la simetra de las ecuaciones de Maxwell, y de la interdependencia
de
~
Ey
~
Ben esas ecuaciones.
Al estudiar la electricidad y el magnetismo uno pronto se entera del hecho de
que hay un numero de relaciones que se describen por productos vectoriales, o si
lo desea, por reglas de la mano derecha. En otras palabras, un suceso de un tipo
produce una respuesta afn perpendicularmente dirigida. De interes inmediato
es el hecho de que un campo
~
E, variable en el tiempo, genera un campo
~
B
que es en todas partes perpendicular a la direccion en la que
~
Ecambia. En la
Juan Manuel Enrique Mu~nido 31

32. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
misma forma, un campo
~
Bvariable con el tiempo genera un campo
~
Eque es
perpendicular en todas partes a la direccion en la que
~
Bcambia. Se podra, por
lo tanto, anticipar la naturaleza transversal general de los campos
~
Ey
~
Ben una
perturbacion electromagnetica.
Ahora, se considerara una carga que de alguna manera se acelera desde el
reposo. Cuando la carga esta sin movimiento, tiene asociada a ella un campo
electrico uniforme radial que se extiende hasta el innito. En el instante en que
la carga comienza a moverse, el campo
~
Ese acelera en la vecindad de la carga
y esta alteracion se propaga hacia el espacio con velocidad nita. El campo
electrico variable con el tiempo induce un campo magnetico por medio de la
ecuacion (2.15) o (2.19). Pero la carga esta acelerandose,@
~
E=@ten s misma no
es constante y as el campo
~
Bvariable con el tiempo genera un campo
~
E, (2.14)
o (2.18), y el proceso continua con
~
Ey
~
Bacoplados uno a otro en la forma
de un pulso. A medida que un campo cambia, genera un nuevo campo que se
extiende un poco mas alla, y as el punto se mueve de un punto al siguiente a
traves del espacio.
Se puede trazar una analoga muy mecanicista, pero muy descriptiva, si se
imaginan las lneas del campo electrico como una densa distribucion radial de
cuerdas. cuando de alguna manera se sacude, cada cuerda individual se distorsio-
na para formar un pliegue que viaja alejandose de la fuente. Todos se combinan
en cualquier instante para producir un pulso tridimensional, expandiendose.
Los campos
~
Ey
~
Bpueden, mas apropiadamente, considerarse como dos
aspectos de un solo fenomeno fsico, elcampo electromagnetico, cuya fuente es
una carga en movimiento. La perturbacion, una vez que ha sido generada en el
campo electromagnetico, es una onda sin atadura que se mueve mas alla de su
fuente e independientemente de ella. Ligados uno a otro como una sola unidad,
los campos magneticos y electricos variables en el tiempo se regeneran uno a
otro en un ciclo sin n. Las ondas electromagneticas que llegan a la tierra del
relativamente cercano centro de la galaxia han estado volando durante treinta
mil a~nos.
No se ha considerado aun la direccion de propagacion de la onda con respecto
a los campos que la constituyen. Observese, sin embargo, que el alto grado
de simetra en las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre sugiere que la
perturbacion se propagara en una direccion que es simetrica tanto a
~
Ecomo
a
~
B. Eso implicara que una onda electromagnetica no podra ser puramente
longitudinal (ya que
~
Ey
~
Bno son paralelos).
Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre se pueden transformar en
dos expresiones vectoriales extremadamente concisas:
r
2~
E=00
@
2~
E
@t
2
y
r
2~
B=00
@
2~
B
@t
2
El Laplacianor
2
, opera sobre cada componente de
~
Ey
~
Bde manera que las
dos ecuaciones vectoriales en realidad representa un total de seis ecuaciones
escalares. Dos de estas expresiones, en coordenadas cartesianas son:
@
2
Ex
@x
2
+
@
2
Ex
@y
2
+
@
2
Ex
@z
2
=00
@
2
Ex
@t
2
(2.22)
32 Juan Manuel Enrique Mu~nido

33. 2.2. ONDAS ELECTROMAGN

ETICAS
y
@
2
Ey
@x
2
+
@
2
Ey
@y
2
+
@
2
Ey
@z
2
=00
@
2
Ex
@t
2
(2.23)
precisamente con la misma forma paraEz,Bx,ByyBz. Ecuaciones de este tipo,
que relacionan las variaciones de espacio y tiempo de alguna cantidad fsica, se
estudiaron hace ya mucho por Maxwell y sirvieron para describir el fenomeno
de onda. Cada componente del campo electromagnetico (Ex; Ey; Ez; Bx; By; Bz)
obedece, por lo tanto, a la ecuacion diferencial escalar de onda:
@
2

@x
2
+
@
2

@y
2
+
@
2

@z
2
=
1
v
2
@
2

@t
2
a condicion que:
v=
1
p
00
: (2.24)
A n de evaluarvMaxwell hizo uso de los resultados de los experimentos elec-
tricos efectuados en 1856 en Leipzig por Wilhelm Weber (1804-1891) y Rudolph
Kohlrausch (1809-1858). De modo eqivalente, ya que a0se le asigno un valor
de 410
17
m kg/C
2
(en MKS) uno puede determinar0directamente de
medidas simples de capacidad. En cualquier caso:
00(8;8510
12
s
2
C
2
=m
3
kg)(410
17
m kg=C
2
)
o
0011;1210
18
s
2
=m
2
:
Y ahora, el momento de la verdad: en el espacio libre, la velocidad predicha de
todas las ondas electromagneticas sera:
v=
1
p
00
310
8
m/s:
Este valor teorico estaba en notable acuerdo con la velocidad previamente me-
dida de la luz (315300 km/s) determinada por Fizeau. Los resultados de los
experimentos de Fizeau, desarrollados en 1849 usando una rueda dentada rota-
toria, estaban en manos de Maxwell y le hicieron comentar que:
Esta velocidad [es decir, su prediccion teorica] esta tan cerca de la luz que parece
que tenemos una fuerte razon para concluir que la luz en s misma (incluyendo
calor radiante, y otras radiaciones si las hay) es una perturbacion electromag-
netica en la forma de ondas propagadas a traves del campo electromagnetico de
acuerdo con las leyes electromagneticas.
Este brillante analisis fue uno de los grandes triunfos intelectuales de todos los
tiempos.
Se ha hecho costumbre designar la velocidad de la luz en el vaco por el
smoboloc, cuyo valor por ahora aceptado es:
c= 2;99792456210
8
m/s1;1m/s
El caracter transversal de la luz, vericado experimentalmente, se debe ahora
explicar dentro del contexto de la teora electromagnetica. Con ese n, se consi-
derara el caso bastante simple de una onda plana propagandose en la direccion
Juan Manuel Enrique Mu~nido 33

34. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
positiva dex. La intensidad de campo electrico es una solucion de la ecuacion
diferencial
r
2~
E=00
@
2~
E
@t
2
donde
~
Ees constante sobre cada uno de un conjunto innito de planos perpen-
diculares al ejex. Es, por consiguiente, una funcion solamente dexyt, es decir
~
E=
~
E(x; t). Volviendo a las ecuaciones de Maxwell y en particular a la ecuacion
(2.21) (la cual generalmente se lee comola divergencia de
~
Ees igual a cero).
Ya que
~
Eno es una funcion ni deyni dez, la ecuacion se reduce a:
@Ex
@x
= 0 (2.25)
La componente del campo electrico en la direccion dex, es decir, en la direc-
cion de propagacion, es constante. Esto no es de importancia, ya que interesa
solamente la onda electromagnetica, y no ningun campo no variable que puede
residir en la misma region del espacio. El campo
~
E, asociado con la onda plana
es entonces exlusivamente transversal. Sin perdida de generalidad, se trabajara
con ondas linealmente polarizadas u ondasplanas, donde la direccion de vibra-
cion del vector
~
Ees ja. Se puede entonces orientar los ejes coordenados de tal
forma que el campo electrico sea paralelo al ejey, donde:
~
E=Ey(x; t)~j (2.26)
Volviendo a la ecuacion (2.18), se deduce que:
@Ey
@x
=
@Bz
@t
(2.27)
y queBxyByson constantes, y por consiguiente sin interes por el momento. El
campo
~
Bdependiente del tiempo solamente puede tener una componente en la
direccion dez. Es claro entonces queen el espacio libre, la onda electromagnetica
plana es, en efecto, transversal.
No se ha especicado la forma de la perturbacion y solamente se ha dicho
que era una onda plana. Las conclusiones son por consiguiente muy generales,
aplicandose igualmente bien a pulso como a ondas continuas. Ya se ha dicho
que las funciones armonicas son de particular interes porque cualquier forma
de onda se puede expresar en terminos de ondas senoidales usando las tecnicas
de Fourier. Por consiguiente, se limitara la discusion a ondas armonicas y se
escribiraEy(x; t) como:
Ey(x; t) =E0ycos[!(tx=c) +"]; (2.28)
siendocla rapidez de propagacion. La densidad de ujo magnetico asociado se
puede encontrar por integracion directa de la ecuacion (2.27), o sea:
Bz=
Z
@Ey
@x
dt:
34 Juan Manuel Enrique Mu~nido

35. 2.3. ONDAS ELECTROMAGN

ETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES
Usando la ecuacion (2.28) se obtiene:
Bz=
E0y!
c
Z
sin[!(tx=c) +"]dt
o
Bz=
1
c
E0ycos[!(tx=c) +"] (2.29)
Se ha omitido la constante de integracion, que representa un campo indepen-
diente del tiempo. Comparando este resultado con la ecuacion (2.28), es evidente
que:
Ey=cBz: (2.30)
Ya queEyyBzdieren solamente por un escalar, tienen as la misma dependen-
cia del tiempo,
~
Ey
~
Bestanen faseen todos los puntos en el espacio. Ademas,
~
E=Ey(x; t)~jy
~
BBz(x; t)
~
ksonmutuamente perpendicularesy su producto
vectorial
~
E
~
B, apunta en la direccion de propagacion~i.
Las ondas planas, aunque tienen mucha importancia, no son las unicas so-
luciones de las ecuaciones de Maxwell. La ecuacion diferencial de onda permite
muchas soluciones, entre las cuales estan las ondas esfericas y cilndricas.
SECCION 2.3
Ondas Electromagneticas en Medios No
Conductores
La respuesta de los materiales dielectricos o no conductores a los campos
electromagneticos es de especial interes en la optica. Se manejaran dielectricos
transparentes en la forma de lentes, prismas, laminas, pelculas, etc. Sin men-
cionar el oceano de aire que las rodea.
El efecto neto de introducir un dielectrico isotropico homogeneo en una re-
gion del espacio libre es cambiar0ay0aen las ecuaciones de Maxwell.
La velocidad de fase en el medio se hace ahora:
v=
1
p

: (2.31)
La razon entre las velocidades de una onda electromagnetica en el vaco y en la
materia se conoce comondice de refraccion absoluto ny esta dado por:
n=
c
v
=
r
00
: (2.32)
En terminos de la permitividad relativa y la permeabilidad relativa del medio,
nqueda:
n=
p
KeKm: (2.33)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 35

36. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
La gran mayora de las substancias, con la excepcion de los materiales ferromag-
neticos, son solo muy debilmente magneticas; ninguna es realmente no magneti-
ca. Aun as,Kmgeneralmente no se desva de uno en mas de unas pocas partes
en 10
4
(por ejemplo para el diamanteKm= 12;210
5
). PoniendoKm= 1 en
la formula paranresulta una expresion conocida como larelacion de Maxwell,
o sea:
n=
p
Ke; (2.34)
aqu se supone queKees laconstante dielectrica estatica. Como se indica
Gases a 0
o
C y 1 atmSubstancia
p
Ke n
Aire 1.000294 1.000293Helio 1.000034 1.000036Hidrogeno 1.000131 1.000132Dioxido de carbono 1.00049 1.00045Lquidos a 20
o
CSubstancia
p
Ke n
Benceno 1.51 1.501Agua 8.96 1.333Alcohol etlico (etanol 5.08 1.361Tetracloruro de carbono 4.63 1.461Bisulfuro de carbono 5.04 1.628Solidos a temperatura ambienteSubstancia
p
Ke n
Diamante 4.06 2.419Ambar 1.6 1.55Slice fundida 1.94 1.458Cloruro de sodio 2.37 1.50
Cuadro 2.1: Relacion de Maxwell.
Los valores deKecorresponden a las frecuencias mas bajas posibles, en algunos casos tan
bajas como 60 Hz, mientras quenesta medida a alrededor de 0;510
15
Hz. Se uso luz D del
sodio (= 589;29 nm).
en la tabla 2.1, esta relacion parece ser efectiva solamente para algunos gases
simples. La dicultad aparece porqueKe, y por consiguienten, son en realidad
dependientes de la frecuencia. La dependencia dencon la longitud de onda (o
color) de la luz es un efecto muy conocido llamadodispersion. En efecto, Sir Isaac
Newton uso prismas para dispersar la luz blanca en sus colores constitutivos
hace mas de 300 a~nos y el fenomeno era bien conocido aunque no se entendiera
entonces.
Hay dos preguntas interrelacionadas que vienen a la mente en este punto:
(1) >Cual es la base fsica para la dependencia dencon la frecuencia? y (2)
>Cual es el mecanismo por el cual la velocidad de fase en un medio se hace
efectivamente diferente dec? Las respuestas para ambas preguntas se pueden
encontrar examinando la interaccion de una onda electromagnetica incidente
con el arreglo de atomos que constituyen un material dielectrico.
.
........................................................................
2.3.1
Dispersion
Cuando un dielectrico se somete a un campo electrico aplicado, la distribu-
cion interna de carga se distorsiona bajo su inuencia. Esto corrresponde a la
generacion de momentos electricos dipolares, los cuales, a su vez, contribuyen
al campo interno total. De una manera mas clara, el campo electrico separa las
36 Juan Manuel Enrique Mu~nido

37. 2.3. ONDAS ELECTROMAGN

ETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES
cargas positivas y negativas en el medio (cada par de los cuales es un dipolo)
y estas entonces contribuyen una componente de campo adicional. El momento
dipolar resultante por unidad de volumen se denomina lapolarizacion electrica
~
P. Para la mayor parte de los materiales
~
Py
~
Eson proporcionales y se pueden
relacionar satisfactoriamente por:
(0)
~
E=
~
P : (2.35)
La redistribucion de carga y la consecuente polarizacion pueden ocurrir por
medio de los siguientes mecanismos. Hay moleculas que tienen un momento di-
polar permanente como resultado de compartir en forma desigual sus electrones
de valencia. Estas se conocen comomoleculas polares, de las cuales la molecula
no lineal de agua es un ejemplo bastante tpico. Cada enlace hidrogeno-oxgeno
es covalente polar, con el extremo H positivo con respecto al extremo O. La
agitacion termica mantiene los dipolos moleculares orientados al azar. Con la
introduccion de un campo electrico, los dipolos se alinean a s mismos y el die-
lectrico toma unapolarizacion orientacional. En el caso demoleculas y atomos
no polares, el campo aplicado distorsiona la nube de electrones, desplazando-
la relativamente al nucleo y produciendo por consiguiente un momento dipolar.
Ademas de estapolarizacion electronica, hay otro proceso que es especcamente
aplicable a moleculas, como por ejemplo el cristal ionico NaCL. En la presencia
de un campo electrico, los iones positivos y negativos sufren un desplazamiento
uno respecto al otro. Por consiguiente se inducen momentos dipolares, resultan-
do en lo que se llamapolarizacion ionica o atomica.
Si el dielectrico se somete a una onda electromagnetica armonica incidente,
la estructura de las cargas electricas internas experimentara fuerzas y/o tor-
ques variables con el tiempo. Estas seran proporcionales a la componente del
campo electrico de la onda.
1
Para dielectricos polares las moleculas en rea-
lidad sufren rotaciones rapidas, alineandose ellas mismas con el campo
~
E(t).
Pero estas moleculas son relativamente grandes y tienen momentos de inercia
apreciables. A altas frecuencias impulsoras!, las moleculas polares seran inca-
paces de seguir las alteraciones del campo. Sus contribuciones a
~
Pdisminuiran
yKecaera marcadamente. la permitividad relativa del agua es muy constante
desde aproximadamente 80, hasta cerca de 10
10
Hz, despues de lo cual cae muy
rapidamente.
En contraste, los electrones tienen poca inercia y pueden continuar siguiendo
el campo que contribuye aKe(!) aun a frecuencias opticas (de alrededor de
510
14
Hz). Entonces la dependencia denen!esta gobernada por el juego
interno de los varios mecanismos de polarizacion que contribuyen a la frecuencia
particular.
Es posible deducir una expresion analtica paran(!) en funcion de lo que
pasa dentro del medio a nivel atomico. Aun cuando esto es en realidad el dominio
de la mecanica cuantica, el tratamiento clasico lleva a resultados muy similares
y al hacerlo as se provee de un modelo conceptual sumamente util. En efecto ese
modelo sera usado una y otra vez mientras se examine la reexion, refraccion,
difraccion y muchos otros fenomenos. Imagnese que los electrones exteriores o
de valencia estan ligados a sus atomos o moleculas respectivas por una fuerza
1
Las fuerzas que surgen de la componente magnetica del campo tienen la forma
~
FM=
q~v
~
Ben comparacion con
~
FE=q
~
Epara la componente electrica; perovcy as se deduce
de la ecuacion (2.30) que
~
FMes generalmente despreciable.
Juan Manuel Enrique Mu~nido 37

38. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
elastica restauradora (me!
2
0x) que es proporcional al desplazamientoxde los
electrones del punto de equilibrio. El atomo entonces se parece a un oscilador
forzado clasico que esta siendo impulsado por el campo alterno
~
E(t) el cual se
supone que se aplica a lo largo de la direccionx. La fuerza (FE) ejercida sobre
un electron de cargaqepor el campoE(t) de una onda armonica de frecuencia
!es de la forma:
FE=qeE(t) =qeE0cos!t:
Consecuentemente, la segunda ley de Newton da la ecuacion del movimiento, es
decir, la suma de las fuerzas es igual a la masa multiplicada por la aceleracion:
qeE0cos!tme!
2
0x=me
d
2
x
dt
2
La constante!0es lafrecuencia naturaldel oscilador y es igual a la raz cuadrada
de la razon entre la constante elastica y la masa. Es la frecuencia oscilatoria
del sistema no impulsado. Para satisfacer esta expresionxtendra que ser una
funcion cuya segunda derivada no sea muy diferente dexmisma. Ademas se
puede anticipar que el electron oscilara con la misma frecuencia queE(t) y as
se pude \conjeturar" la solucion:
x(t) =x0cos!t
y sustituirla en la ecuacion para evaluar la amplitud dex0. En esta forma se
encuentra que:
x(t) =
qe=me
(!
2
0
!
2
)
E0cos!t
o
x(t) =
qe=me
(!
2
0
!
2
)
E(t):
Sin una fuerza impulsora (sin onda incidente) el electron oscilante vibrara con
sufrecuencia de resonanciao natural!0,E(t) yx(t) tienen el mismo signo, lo
que signica que la carga puede seguir la fuerza aplicada, es decir, que esta en
fase con ella. Sin embargo, cuando! > !0, el desplazamientox(t) esta en la
direccion opuesta a la de la fuerza instantaneaqeE(t) y por consiguiente 180
o
fuera de fase con ella. Hay que recordar que se esta hablando acerca de dipolos
oscilantes donde para!0> !el movimiento relativo de la carga positiva es
una vibracion en la direccion del campo. Por encima de la resonancia la carga
positiva esta a 180
o
fuera de fase con el campo y se dice que el dipolo esta
retrasadorad.
El momento dipolar es igual a la cargaqemultiplicada por su desplazamiento
y si hayNelectrones contribuyendo por unidad de volumen, la polarizacion
electrica, o densidad de momentos dipolares, es:
P=qexN
Por consiguiente:
P=
q
2
eNE=me
(!
2
0
!
2
)
y de la ecuacion (2.35)
=0+
P(t)
E(t)
=0+
q
2
eNE=me
(!
2
0
!
2
)
:
38 Juan Manuel Enrique Mu~nido

39. 2.3. ONDAS ELECTROMAGN

ETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES
Usando el hecho de quen
2
=Ke==0se puede llegar a una expresion paran
como funcion de!que se conoce comoecuacion de dispersion:
n
2
(!) = 1 +
Nq
2
e
0me

1
!
2
0
!
2

:
Hasta ahora se ha supuesto la existencia de solo una frecuencia natural!0. Para
explicar la observacion de un comportamiento mas complicado, se generalizaran
las cosas suponiendo que hayNmoleculas por unidad de volumen cada una con
fjosciladores que tienen frecuencias naturales!0jdondej= 1;2;3:::En este
caso:
n
2
(!) = 1 +
Nq
2
e
0me
X
j

fj
!
2
0j
!
2
!
(2.36)
Este es esencialmente el mismo resultado que aparece en el tratamiento cuantico,
con la excepcion de que algunos de los terminos deber ser reinterpretados. En
efecto, las cantidades!0jseran entonces las frecuencias caractersticas a las
cuales un atomo puede abosorber o emitir energa radiante. Los terminosfj
que satisfacen el requisito de que
P
j
fj= 1, son los factores de peso conocidos
como laintensidad de los osciladores. Ellos reejan el enfasis que se debe dar a
cada uno de los modos. Siendo una medida de la probabilidad de ocurrencia de
una transicion atomica dada, lasfjse conocen tambien comoprobabilidades de
transicion.
Una reinterpretacion similar de los terminosfjse requiere aun clasicamente
ya que de acuerdo con los datos experimentales se exige que sean menores que la
unidad. Esto es obviamente contrario a la denicion defjque llevo a la ecuacion
(2.36). Se supone entonces que una molecula tiene muchos modos de oscilacion
pero que cada uno de ellos tiene una frecuencia e intensidad bien denidas.
Observese que cuando!es igual a cualquiera de las frecuencias caractersti-
cas,nes discontinua, contrariamente a la observacion real. Esto es simplemente
el resultado de haber despreciado el termino de amortiguamiento que debera
de haber aparecido en el denominador de la suma. Incidentalmente, el amorti-
guamiento, en parte, es atribuible a la perdida de energa cuando los oscilado-
res forzados (los cuales son, por supuesto, cargas aceleradas) reirradian energa
electromagnetica. En solidos, lquidos y gases a alta presion (10
3
atm), las
distancias interatomicas son aproximadamente 10 veces menores que las de un
gas a TPN.
2
Atomos y moleculas en esta proximidad relativamente cercana
experimentan fuertes interacciones mutuas y resulta una fuerza riccional". El
efecto es un amortiguamiento de los osciladores y una disipacion de su ener-
ga dentro de la substancia en la forma de calor (movimiento molecular). Este
ultimo proceso se llamaabsorcion.
Si se hubiese incluido un fuerza de amortiguamiento proporcional a la veloci-
dad (de la formadx=dt) en la ecuacion de movimiento, la ecuacion de dispersion
(2.36) hubiese quedado:
n
2
(!) = 1 +
Nq
2
e
0me
X
j
fj
!
2
0j
!
2
+ij!
: (2.37)
2
TPN: Temperatura y presion normal = STP Standard Temperature and Pressure.
Juan Manuel Enrique Mu~nido 39

40. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
Mientras que esta expresion esta bien para medios enrarecidos tales como gases,
hay aun otra complicacion con la que se debe encontrar si se ha de aplicar a
substancias densas. Cada atomo interacciona con el campo electrico local en el
que esta sumergido. A diferencia de los atomos aislados considerados antes, los
que estan en un material denso experimentan tambien el campo inducido por
sus compa~neros. Consecuentemente un atomo \ve" ademas del campo aplicado
E(t) otro campo, a saberP(t)=30. Sin entrar en detalles aqu se puede demostar
que:
n
2
1
n
2
+ 2
=
Nq
2
e
30me
X
j
fj
!
2
0j
!
2
+ij!
: (2.38)
Hasta ahora se ha estado considerando osciladores electronicos exclusivamente,
pero los mismos resultados hubiesen sido aplicables para iones ligados a sitios
atomicos jos. En ese casomesera reemplazado por las masas ionicas considera-
blemente mayores. Entonces, mientras la polarizacion electronica es importante
sobre el espectro optico completo, las contribuciones de la polarizacion ionica
afectannsignicativamente solo en regiones de resonancia (!0j=!).
Por el momento se limita la discusion, en su mayor parte, a situaciones donde
la absorcion es despreciable (es decir,!
2
0j
!
2
j!) ynes real, tal que:
n
2
1
n
2
+ 2
=
Nq
2
e
30me
X
j
fj
!
2
0j
!
2
: (2.39)
Los gases transparentes, lquidos y solidos sin color tienen sus frecuencias
caractersticas fuera de la region visible del espectro (lo cual es la razon por la
que ellos, en efecto, sean incoloros y transparentes). En particular, los vidrios
tiene frecuencias naturales efectivas mayores a las del visible, en el ultravioleta,
donde se hacen opacos. En los casos en los cuales!
2
0j
!
2
por comparacion!
2
puede ser despreciada en la ecuacion (2.39) dando un ndice de refraccion esen-
cialmente constante sobre esa region. Por ejemplo, las frecuencias caractersticas
importantes para los vidrios ocurren en longitudes de onda de alrededor de 100
nm. El centro del rango visible es aproximadamente cinco veces aquello y, de
ah,!
2
0j
!
2
. Observese que cuando!aumenta hacia!0j, (!
2
0j
!
2
) disminuye
yn aumenta gradualmente con la frecuencia. Esto se llamadispersion normal.
En la region ultravioleta, cuando!se aproxima a una frecuencia natural, los
osciladores comenzaran a resonar. Sus amplitudes aumentaran marcadamente
y esto sera acompa~nado por amortiguamiento y una fuerte absorcion de ener-
ga de la onda incidente. Cuando!0j=!en la ecuacion (2.38) el termino de
amortiguamiento obviamente se hace dominante. Las regiones cercanas a!0j
son llamadasbandas de absorcion. Ahdn=d!es negativa y se dice que el proce-
so esdispersion anomala(es decir, anormal). Si pasa luz blanca a traves de un
prisma de vidrio, el azul que la constituye dendra un ndice mayor que el rojo
y por consiguiente sera desviado en un angulo mayor. En contraste, si se usa un
prisma celda que contiene una solucion colorante con una banda de absorcion en
el visible, el espectro sera marcadamente alterado. Todas las substancias poseen
bandas de absorcion en alguna region del espectro electromagnetico de frecuen-
cia de manera que el terminodispersion anomala, habiendo sido acarreado desde
nales del siglo XIX, es ciertamente un nombre mal puesto.
40 Juan Manuel Enrique Mu~nido

41. 2.3. ONDAS ELECTROMAGN

ETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES
Como se ha visto, los atomos dentro de una molecula tambien pueden vibrar
alrededor de sus posiciones de equilibrio. Pero los nucleos son masivos y as las
frecuencias oscilatorias naturales seran bajas, en el infrarrojo. Moleculas como
H2OyCO2tendran resonancia tanto en el infrarrojo como en el ultravioleta.
Si el agua fuese atrapada dentro de una pieza de vidrio durante su fabricacion,
estos osciladores moleculares estaran a disposicion y existira una banda de ab-
sorcion infrarroja. La presencia de oxidos tambien resultara en una absorcion
infrarroja. A las frecuencias aun mas bajas de las ondas de radio, el vidrio sera
de nuevo transparente. En comparacion, una pieza de vidrio coloreado eviden-
temente tiene una resonancia en el visible donde absorbe un rango particular de
frecuencia transmitiendo el color complementario.
Como punto nal, observese que se la frecuencia impulsora es mayor que
cualquiera de los terminos!0j, entoncesn
2
<1 yn <1. Tal situacion puede
ocurrir por ejemplo si se dirigen rayos X a una placa de vidrio. Este es un resul-
tado intrigante ya que lleva av > cen aparente contradiccion con la relatividad
especial.
Haciendo un resumen parcial entonces, en la region visible del espectro, la
polarizacion electronica es el mecanismo operativo que determinan(!). Clasi-
camente se imagina a los osciladores electronicos vibrando a la frecuencia de la
onda incidente. Cuando la frecuencia de la onda es apreciablemente diferente de
una frecuencia caracterstica o natural, las oscilaciones son peque~nas y hay poca
absorcion. En resonancia, sin embargo, las amplitudes del oscilador aumentan
y el campo hace una cantidad mayor de trabajo sobre la carga. La energa elec-
tromagnetica removida de la onda y convertida en energa mecanica se disipa
entonces termicamente dentro de la substancia y se habla de un pico o banda de
absorcion. El material, aunque es esencialmente transparente a otras frecuencias,
es muy opaco a la radiacion incidente en sus frecuencias caractersticas.
.
........................................................................
2.3.2
Propagacion
de la Luz a
traves de
un Medio
Dielectrico
El proceso mediante el cual la luz se propaga a traves de un medio con una
velocidad diferente deces bastante complicado y esta seccion esta dedicada
a hacerlo al menos fsicamente razonable, dentro del contexto del modelo de
osciladores simples.
Considerese una onda electromagnetica incidente oprimaria(en el vaco) in-
cidiendo sobre un dielectrico. Como se ha visto, ella polarizara el medio y llevara
a los osciladores electronicos a vibracion forzada. Ellas a su vez, reirradiaran o
esparciranenerga en la forma de peque~nas ondas electromagneticas de la misma
frecuencia de la onda incidente. En una substancia cuyos atomos o moleculas
estan dispuestos con algun grado de regularidad, estas ondas tenderan a inter-
ferirse mutuamente. Esto es, se superpondran en ciertas regiones donde ellas se
reforzaran o reduciran unas a otras en grados variables. Como ejemplo exam-
nese la conguracion muy simplicada de una onda refractada en un arreglo
ordenado de atomos. Ah una onda plana incidente en dicho arreglo se esparce
en un patron complicado de peque~nas ondas. Estas a su vez se superponen pa-
ra formar frentes de ondas planas a los que se denomina ondasecundaria. Por
razones empricas, solamente, se puede anticipar que la onda primaria residual
y la onda secundaria se combinaran para dar la unica perturbacion observada
dentro del medio, es decir la ondarefractada.
Tanto la onda electromagnetica primaria como la secundaria se propagan
a traves de los espacios interatomicos con la velocidad c. Y aun as el medio
ciertamente puede poseer un ndice de refraccion diferente de uno. Puede suceder
Juan Manuel Enrique Mu~nido 41

42. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
que la onda refractada tenga una velocidad de fase menor, igual, o aun mayor
quec. La clave de esta aparente contradiccion reside en la relacion de fase entre
las ondas secundaria y primaria.
El modelo clasico predice que los osciladores electronicos seran capaces de vi-
brar casi completamente en fase con la fuerza impulsora, es decir la perturbacion
primaria, solamente a frecuencias relativamente bajas. Cuando la frecuencia del
campo electromagnetico aumenta, los osciladores se retrasaran, su fase estara
retrasada por una cantidad proporcionalmente grande. Un analisis detallado lle-
va al hecho de que en resonancia el retraso de la fase llegara a 90
o
, aumentando
despues a casi 180
o
, o media longitud de onda, a frecuencias muy superiores al
valor caracterstico particular.
Ademas de estos retrasos hay otro efecto que debe ser considerado. Cuando
las ondas esparcidas se recombinan, la onda secundaria resultante esta retrasada
ella misma con respecto a los osciladores en 90
o
.
El efecto combinado de ambos de estos mecanismos es que a frecuencias
inferiores a la de la resonancia, la onda secundaria esta retrasada con respecto a
la primaria en una cantidad entre 90
o
y 180
o
aproximadamente, mientras que a
frecuencias superiores a la de la resonancia el retraso esta entre 180
o
y 270
o
. Pero
un retraso de fase de>180
o
es equivalente a un retraso de 360
o
[ejemplo,
cos(270
o
) = cos(+ 90
o
)].
Para recapitular, debajo de la resonancia la onda secundaria va atras de la
primaria; arriba de la resonancia va delante de la primaria. La onda resultante
o refractada acordemente estara adelante o detras de la onda incidente (espacio
libre) en una cierta cantidad". El proceso es progresivo y a medida que la luz
atraviesa el medio la fase es continuamente retardada o avanzada.
Ahora se desea mostrar que esto es precisamente equivalente a un cambio
en la velocidad de fase. En el espacio librela perturbacion en algun punto Pse
puede escribir como:
Ep(t) =E0cos!t
SiPesta rodeada por un dielectrico, habra un desplazamiento acumulativo de
la fase"Pel cual fue formado mientras la onda se mova a traves del medio hacia
P. El numero de crestas de onda que llegan al dielectrico por segundo debe ser
el mismo que el numero por segundo que se propaga en el. Esto es, lafrecuencia
debe ser la misma en el vaco que en el dielectrico, aun cuando la longitud de
onda y la rapidez pueden ser diferentes. Una vez mas, pero esta vez en el medio,
la perturbacion enPes:
EP(t) =E0cos(!t"P)
Un observador enPtendra que esperar un tiempo mayor para que una cresta
dada llegue cuando el esta en el medio que lo hubiera tenido que esperar en
el vaco. En otras palabras, si se imaginan dos ondas paralelas de la misma
frecuencia, una en el vaco y una en un medio material, la onda en el vaco
pasaraPun tiempo"P=!antes que la otra onda. Entonces es claro que un
retraso de fase de"Pcorresponde a una reduccion en la rapidez,v < cyn >1.
Similarmente, un adelanto de fase produce un aumento en la rapidez,v > c
yn <1. El proceso de esparcimiento es continuo y as los desplazamientos
acumulativos de fase se van sumando conforme la luz penetra en el medio. Es
decir,"es una funcion de la longitud del dielectrico atravesado; como debe ser
sives constante.
42 Juan Manuel Enrique Mu~nido

43. 2.4. ENERG

IA DE LAS ONDAS ELECTROMAGN

ETICAS
Una solucion rigurosa del problema de la propagacion se conoce como el
teorema de extincion de Ewald-Ossen. Aunque el formulismo matematico, que
involucra ecuaciones integrodiferenciales, es demasiado complicado para tratarlo
aqu, los resultados son ciertamente de interes. Se encuentra que los osciladores
electronicos generan una onda electromagnetica que tiene esencialmente dos
terminos. Uno de estos anula exactamente la onda primaria dentro del medio.
El otro, que es la unica perturbacion que permanece, se propaga a traves del
dielectrico con una velocidadv=c=ncomo la onda refractada.
SECCI

ON 2.4
Energa de las Ondas Electromagneticas
.
........................................................................
2.4.1
Irradiancia
Una de las propiedades mas signicativas de la onda electromagnetica es
que transporta energa. La luz de la estrella mas cercana viaja a 25 millones de
millones de millas para llegar a la Tierra y aun as lleva suciente energa para
hacer trabajo en los electrones dentro del ojo. Cualquier campo electromagnetico
existe dentro de alguna region del espacio y es por consiguiente muy natural
considerar laenerga radiante por unidad de volumen, es decir ladensidad de
energa u. Para un campo electrico solo, se puede calcular la densidad de energa
(por ejemplo entre las placas de un condensador) y obtener:
uE=
0
2
E
2
: (2.40)
Similarmente, la densidad de energa del campoBsolo (como se podra calcular
dentro de un toroide) es:
uB=
1
20
B
2
: (2.41)
Recuerdese que se dedujo la relacionE=cBespeccamente para una onda
plana (2.30), no obstante sera muy general en su simplicidad. Se deduce entonces
que:
uE=uB (2.42)
El ujo de energa a traves del espacio en la forma de una onda electromagnetica
es compartido por los campos constitutivos, electricos y magneticos. Ya que:
u=uE+uB;
claramente:
u=0E
2
(2.43)
o equivalentemente:
u=
1
0
B
2
: (2.44)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 43

44. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
Para representar el ujo de energa electromagnetica, se simbolizara conSel
transporte de energa por unidad de tiempo (la potencia) a traves de un area
unitaria. En el sistema MKS tendra entonces las unidades de W/m
2
. Sea una
onda electromagnetica que viaja con una velocidadca traves de un areaA.
Durante un intervalo de tiempo tmuy peque~no, solamente la energa contenida
en el volumen cilndrico,u(ctA), cruzaraA. Entonces:
S=
uctA
tA
=uc (2.45)
o, usando la ecuacion (2.43):
S=
1
0
EB: (2.46)
Ahora se hace la suposicion razonable (para medios isotropicos) de que la energa
uye en la direccion de la propagacion de la onda. Elvector
~
Scorrespondiente
es entonces:
~
S=
1
0
~
E
~
B (2.47)
o
~
S=c
2
0
~
E
~
B: (2.48)
La magnitud de
~
Ses la potencia por unidad de area que cruza una supercie
cuya normal es paralela a
~
S. Se le conoce como elvector de Poynting, en honor
de John Henry Poynting (1852-1914). Aplicando ahora estas consideraciones al
caso de una onda plana armonica, polarizada linealmente, viajando a traves del
espacio libre en la direccion de
~
k:
~
E=
~
E0cos

~
k~r!t

(2.49)
~
B=
~
B0cos

~
k~r!t

: (2.50)
Usando la ecuacion (2.4)
~
S=c
2
0
~
E0
~
B0cos
2

~
k~r!t

:
Debe ser evidente aqu que
~
E
~
Boscila entre maximos y mnimos. A frecuen-
cias opticas,
~
Ses una funcion variable del tiempo extremadamente rapida y
as su valor instantaneo es una cantidad impractica de medir. Esto mas bien
sugiere que se empleen promedios. Es decir, que se absorba la energa radian-
te durante un intervalo nito de tiempo usando, por ejemplo, una fotocelda,
una pelcula fotograca o la retina del ojo humano. El valor promediado en el
tiempo del vector de Poynting, simbolizado porhSi, es una medida de la can-
tidad muy signicativa conocida como lairradiancia,I. En este caso ya que
D
cos
2

~
k~r!t
E
=
1
2
,
hSi=
c
2
0
2



~
E0
~
B


(2.51)
44 Juan Manuel Enrique Mu~nido

45. 2.4. ENERG

IA DE LAS ONDAS ELECTROMAGN

ETICAS
o
I hSi=
c0
2
E
2
0: (2.52)
La irradiancia es por consiguiente proporcional al cuadrado de la amplitud del
campo electrico. Dor formas alternativas adicionales de decir la misma cosa son
simplemente:
I=
c
0

B
2

(2.53)
y
I=0c

E
2

: (2.54)
Dentro de un dielectrico isotropico, homogeneo y lineal, la expresion para la
irradiancia queda:
I=v

E
2

: (2.55)
Ya que, como se ha visto,
~
Ees considerablemente mas afectiva al ejercer fuer-
zas sobre las cargas
~
B,
~
Esera referido como elcampo opticoy se usara casi
exclusivamente la ecuacion (2.54).
La rapidez de ujo de la energa radiante es la potencia oujo radiante,
generalmente expresado en vatios. Si se divide el ujo radiante que incide o
sale de una supercie, por el area de la supercie, se tiene ladensidad de ujo
radiante(W/m
2
). En el primer caso, se habla de lairradiancia, y en el ultimo
de laexistencia; y en cualquier caso de ladensidad de ujo.
Hay detectores, como el fotomultiplicador, que sirven comocontadores de
fotones. Cada cuanto del campo electromagnetico, que tiene una frecuencia,
representa una energah(constante de Planck,h= 6;62510
34
J s). Si se
tiene un haz monocromatico de frecuencia, la cantidadI=hes el numero
promedio de fotones que cruzan un area unitaria (normal al haz) por unidad
de tiempo, es decir ladensidad de ujo de foton. Si tal haz incidiera sobre un
contador con areaA, entoncesAI=hsera elujo de fotonesincidentes, es
decir, el numero promedio de fotones que llegan por unidad de tiempo.
Se vio antes que la solucion de onda esferica de la ecuacion diferencial de
onda tiene una amplitud que vara inversamente conr. Se examinara ahora lo
mismo dentro del contexto de la conversacion de energa. Considerando una
fuente puntual isotropica en el espacio libre, emitiendo energa igualmente en
todas direcciones, es decir emitiendo ondas esfericas. Se rodea la fuente con
dos supercies esfericas imaginarias de radiosr1yr2. SeanE0(r1) yE0(r2) las
amplitudes de las ondas sobre la primera y segunda supercies, respectivamente.
Si se ha de conservar la energa, la cantidad total de energa que pasa a traves
de cada supercie por segundo debe ser la misma ya que no hay otras fuentes o
sumideros presentes. MultiplicandoIpor el area de la supercie y tomando la
raz cuadrada, se obtiene:
r1E0(r1) =r2E0(r2):
Puesto quer1yr2son arbitrarias, se deduce que:
rE0(r) = constante
Juan Manuel Enrique Mu~nido 45

46. CAP

ITULO 2. TEOR

IA ELECTROMAGN

ETICA, FOTONES Y LUZ
y la amplitud debe caer inversamente conr. La irradiancia de una fuente puntual
es proporcional a 1=r
2
. Esta es la bien conocidaley del inverso del cuadrado,
la cual se verica facilmente usando una fuente puntual y un exposmetro fo-
tograco. Observese que si se visualiza un haz de fotones viajando radialmente
alejandose de la fuente, se obtiene claramente el mismo resultado.
46 Juan Manuel Enrique Mu~nido

47. CAP

ITULO 3Tratamiento
Electromganetico de la
Propagacion de la Luz
Indice General
3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.1.1. Deduccion de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . .
50
3.1.2. Interpretacion de las Ecuaciones de Fresnel . . . . .
5347

48. CAP

ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGAN

ETICO DE LA PROPAGACI

ON DE
LA LUZ
Hasta ahora se ha podido deducir las leyes de reexion y refraccion usando
tres puntos de vista diferentes: elprincipio de Huygens, elteorema de Malus y
Dupiny elprincipio de Fermat. Cada uno de ellos a su vez da un punto de vista
valioso y distinto en s mismo. Otro punto de vista aun mas poderoso se obtiene
de la teora electromagnetica de la luz. Al contrario de las tecnicas anteriores
que no dicen nada sobre las densidades de ujo radiante, incidente, reejado y
transmitido (es decirIi,Ir,Itrespectivamente), la teora electromagnetica trata
estas dentro del marco de una descripcion bastante mas completa.
El cuerpo de informacion que forma el tema de la optica se ha acumulado a
lo largo de muchos siglos y al mismo tiempo que el conocimiento del universo
fsico se hace mas extenso, las descripciones teoricas concominantes deben ser
aun mas completas. Ello en general, trae consigo una complejidad aumentada. Y
as, en lugar de usar la formidable maquinaria matematica de la teora cuantica
de la luz, muy frecuentemente se aprovechara los puntos de vista mas simples
de tiempos mas simples (por ejemplo, los principios de Huygens, Fermat, etc.).
Entonces, aunque se vaya a desarrollar otra descripcion mas extensa de la ree-
xion y la refraccion, ciertamente no se pondra de lado esos metodos anteriores.
En efecto, a traves de este estudio se usara la tecnica mas simple que se pueda
dar resultados sucientemente precisos para los propositos particulares.
SECCION 3.1
Ondas en una Interfase
Supongase que la onda de luz monocromatica incidente es plana y que por
tanto tiene la forma:
~
Ei=
~
E0ie
i(
~
ki~r!it)
(3.1)
o mas simplemente:
~
Ei=
~
E0icos

~
ki~r!it

(3.2)
Suponiendo que
~
E0ies constante en el tiempo, es decir que la onda es linealmente
polarizada o polarizada en un plano. Se vera que cualquier forma de luz se puede
representar por dos ondas ortogonales polarizadas linealmente de tal forma que
esto realmente no representa una restriccion. Es preciso notar que as como
el origen del tiempo,t= 0, es arbitrario, as tambien lo es el origenOen el
espacio, donde~r= 0. Entonces, sin hacer suposiciones acerca de sus direcciones,
frecuencias, longitudes de onda, fases o amplitudes, se puede escribir las ondas
reejadas y transmitida como:
~
Er=
~
E0rcos

~
kr!rt"r

(3.3)
y
~
Et=
~
E0tcos

~
kt!tt"t

(3.4)
48 Juan Manuel Enrique Mu~nido

49. 3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE
Aqu"ry"tsonconstantes de fase relativasa
~
Ei, que se introducen debido a
que la posicion del origen no es unica.
Las leyes de la teora electromagnetica llevan a ciertos requisitos que deben
satisfacer los campos y se referira a ellos como las condiciones de frontera. Es-
peccamente, uno de estos requisitos es que la componente de la intensidad del
campo electrico
~
E, que es tangente a la interfase, debe ser contnua a traves de
ella (lo mismo es cierto para
~
H). En otras palabras, la componente tangencial
total de
~
Een un lado de la supercie debe ser igual a la del otro lado. Entonces
ya que~unes el vector unitario normal a la interfase:
~un
~
Ei+~un
~
Er=~un
~
Et (3.5)
o
~un
~
E0icos

~
ki~r!it

+~un
~
E0rcos

~
kr~r!rt+"r

=~un
~
E0tcos

~
kt~r!tt+"t
(3.6)
Esta relacion se debe mantener en cualquier instante de tiempo y en todo punto
de la interfase (y=b). Consecuentemente,
~
Ei,
~
Ery
~
Etdeben tener precisamente
la misma dependencia funcional de las variablestyr, lo cual quiere decir que:

~
ki~r!it

y=b
=

~
kr~r!rt+"r

y=b
=

~
kt~r!tt+"t

y=b
:
(3.7)
Con esto, los cosenos en la ecuacion (3.6) se anularan dejando una expresion
independiente detyr, como en efecto debe ser. Como esto debe ser cierto para
todos los valores del tiempo, los coecientes detdeben ser iguales, obteniendose:
!i=!r=!t: (3.8)
Hay que recordar que los electrones dentro del medio estan sujetos a vibraciones
forzadas (lineales) a la frecuencia de la onda incidente. Claramente, cualquier
luz que sea esparcida tiene la misma frecuencia. Ademas.

~
ki~r

y=b
=

~
kr~r+"r

y=b
=

~
kt~r+"t

y=b
;
(3.9)
donde~rtermina en la interfase. Los valores de"rt"tcorresponden a una
posicion dada deOy entonces ellos permiten que la relacion sea valida indepen-
dientemente de esa ubicacion. Por ejemplo, el origen se podra escoger de modo
que~rfuese perpendicular a
~
kipero no a
~
kro
~
kt. De los primeros dos terminos
se obtiene:
h
~
ki
~
kr

~r
i
y=b
="r: (3.10)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 49

50. CAP

ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGAN

ETICO DE LA PROPAGACI

ON DE
LA LUZ
Recordando la ecuacion (1.42), esta expresion simplemente dice que el punto
extremo de~rbarre un plano (que es por supuesto la interfase) perpendicular
al vector

~
ki
~
kr

. Diciendolo de manera ligeramente diferente,

~
ki
~
kr

es
paralelo a~un. Observese, sin embargo, que ya que las ondas reejada e inci-
dente estan en el mismo medioki=kr. Del hecho de que

~
ki
~
kr

no tiene
componente en el plano de la interfase, es decir~un

~
ki
~
kr

= 0, se concluye
que:
kisini=krsinr
y por consiguiente se tiene la ley de la reexion, es decir:
i=r
Ademas, ya que

~
ki
~
kr

es paralelo a~un, los tres vectores
~
ki,
~
kry~unestan
en el mismo plano, que es el plano de incidencia. De nuevo, de la ecuacion (3.9)
se obtiene:
h
~
ki
~
kt

~r
i
y=b
="t (3.11)
y por consiguiente

~
ki
~
kt

es tambien normal a la interfase. Entonces,
~
ki,
~
kr,
~
kty~unson todos coplanares. Como antes, las componentes tangenciales de
~
ki
y
~
ktdeben ser iguales y consecuentemente:
kisini=ktsint: (3.12)
pero como!i=!t, se puede multiplicar ambos lados porc=!ipara obener:
nisini=ntsint
lo que, por supuesto, es la ley de Snell. Finalmente, se observa que si se hubiese
escogido el origenOen la interfase es evidente por las ecuaciones (3.10) y (3.11)
que"ry"thubieran sido ambas nulas. Tal disposicion, aunque no tan instructiva,
es ciertamente mas simple y consecuentemente se usara de aqu en adelante.
.
........................................................................
3.1.1
Deduccion
de las
Ecuaciones
de Fresnel
Se acaba de encontrar la relacion que existe entre las fases de
~
Ei(r; t),
~
Er(r; t)
y
~
Et(r; t) en la frontera. Hay aun una interdependencia compartida por las
amplitudes
~
E0i,
~
E0ry
~
E0tque ahora se pueden evaluar. Con ese n se supone
que una onda monocromatica plana incide en una supercie plana que separa dos
medios isotropicos. Cualquiera que sea la polarizacion de la onda, se resolveran
sus campos
~
Ey
~
Ben componentes paralelas y perpendiculares al plano de
incidencia y se trataran estas componentes separadamente.
Caso 1.
~
Eperpendicular al plano de incidencia. Supongase ahora que
~
Ees
perpendicular al plano de incidencia y que
~
Bes paralelo a el. ComoE=vBse
tiene que:
~
k
~
E=v
~
B (3.13)
ypor supuesto
~
k
~
E= 0: (3.14)
50 Juan Manuel Enrique Mu~nido

51. 3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE
es decir
~
E,
~
By el vector de propagacion
~
kforman un sistema derecho. Haciendo
uso de nuevo de la continuidad de las componentes tangenciales del campo
electrico
~
E, se tiene que en la frontera en cualquier tiempo y en cualquier punto:
~
E0i+
~
E0r=
~
E0t (3.15)
donde los cosenos se anulan. Se debe mencionar entre parentesis que los vectores
de campo mostrados realmente deberan ser visualizados eny= 0 (es decir, en
la supercie) de donde han sido desplazados a n de hacer las cosas mas claras.
Observese que mientras que
~
Ery
~
Etdeben ser normales al plano de incidencia
por simetra,se esta adivinando que ellos deben apuntar fuerade la interfase
cuando
~
Eilo hace. Las direcciones de los campos
~
Bse derivan entonces de la
ecuacion (3.13).
Se necesita invocar otra de las condiciones en la frontera a n de obtener
una ecuacion mas. La presencia de substancias materiales que son polarizadas
electricamente por la onda tiene un efecto denido en la conguracion del cam-
po. Entonces, mientras que la componente tangencial de
~
Ees continua, al pasar
la frontera, su componente normal no lo es. En su lugar la componente normal
del producto"
~
Ees la misma en cualquier lado de la interfase. Similarmente, la
componente normal de
~
Bes continua como lo es la componente tangencial de

1~
B. Aparece aqu el efecto de los dos medios a traves de sus permeabilidades
iyt. Esta ultima condicion en la frontera sera la mas facil de usar, particu-
larmente aplicada a la reexion en la supercie de un conductor. Entonces la
continuidad de la componente tangencial de
~
B

requiere que:

~
Bi
i
cosi+
~
Br
r
cosr=
~
Bt
t
cost; (3.16)
donde los lados izquierdo y derecho son las magnitudes totales de
~
B

paralelas a
la interfase en los medios incidente y transmitido, respectivamente. La direccion
positiva es aquella en la que aumentaxde tal forma que las componentes de
~
Bi
y
~
Btaparecen con signos menos. De la ecuacion (3.13) se tiene:
Bi=
Ei
vi
(3.17)
Br=
Er
vr
(3.18)
Bt=
Et
vt
(3.19)
Entonces, ya quevi=vryi=r, la ecuacion (3.16) se puede escribir como:
1
ivi
(EiEr) cosi=
1
ivi
Etcost: (3.20)
Haciendo uso de las ecuaciones (3.2), (3.3) y (3.4) y recordando que los cosenos
que aparecen ah son iguales a uno eny= 0, se obtiene:
ni
i
(E0iE0r) cosi=
nt
t
Etcost: (3.21)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 51

52. CAP

ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGAN

ETICO DE LA PROPAGACI

ON DE
LA LUZ
Combinado esto con la ecuacion (3.15) se obtiene:

E0r
E0i

?
=
ni
i
cosi
nt
t
costnii
cosi+
nt
t
cost
(3.22)
y

E0t
E0i

?
=
2
ni
i
cosinii
cosi+
nt
t
cost
(3.23)
El subndice?sirve como un recordatorio de que se esta tratando el caso en el
que
~
Ees perpendicular al plano de incidencia. Estas dos expresiones,que son
armaciones completamente generales que se aplican a cualquier medio homo-
geneo, isotropico y lineal, son dos de las llamadasecuaciones de Fresnel. Muy a
menudo se trata con dielectricos para los cualesit0; en consecuencia
la forma mas comun de estas ecuaciones es simplemente:
r?

E0r
E0i

?

nicosintcost
nicosi+ntcost
(3.24)
y
t?

E0t
E0i

?

2nicosi
nicosi+ntcost
(3.25)
Aqur?denota laamplitud del coeciente de reexionmientras quet?es la
amplitud del coeciente de transmision.
Caso 2.
~
Eparalelo al plano de incidencia.Se puede deducir un par similar
de ecuaciones cuando el campo incidente
~
E, esta en el plano de incidencia. La
continuidad de las componentes tangenciales de
~
Een ambos lados de la frontera
lleva a:
E0icosiE0rcosr=E0tcost: (3.26)
En forma muy parecida a la anterior, la continuidad de las componentes tan-
genciales
~
B

da:
1
ivi
E0i+
1
rvr
E0r=
1
tvt
E0t (3.27)
Usando el hecho de quei=r= yi=restas formulas su pueden combinar
para dar dos mas de lasecuaciones de Fresnel:
t
k

E0r
E0i

k
=
nt
t
cosi
ni
i
costnii
cost+
nt
t
cosi
(3.28)
y
t
k

E0t
E0i

k
=
2
ni
i
cosinii
cost+
nt
t
cosi
: (3.29)
52 Juan Manuel Enrique Mu~nido

53. 3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE
Cuando los dos medios que forman la interfase son dielectricos, los coecientes
de amplitud vienen a ser:
r
k=
ntcosinicost
nicost+ntcosi
(3.30)
y
t
k=
2nicosi
nicost+ntcosi
(3.31)
Usando la ley de Snell se puede hacer una simplicacion adicional de la notacion,
por medio de la cual las ecuaciones de Fresnel para medios dielectricos devienen
en:
r?=
sin(it)
sin(i+t)
(3.32)
r
k=
tan(it)
tan(i+t)
(3.33)
t?=
2 sintcosi
sin(i+t)
(3.34)
t
k=
2 sintcosi
sin(i+t) cos(it)
(3.35)
Se debe introducir una nota de advertencia antes de que se proceda a exami-
nar el considerable signicado de los calculos anteriores. Tengase en mente que
las direcciones (o mas precisamente las fases) de los campos fueron selecciona-
das muy arbitrariamente. Por ejemplo, ciertamente se podra haber supuesto
que
~
Erapuntaba hacia adentro, por lo que
~
Brhubiese tenido que ser inverti-
do tambien. Si se hubiese hecho eso, el signo der?habra resultado positivo,
mientras que los otros coecientes de amplitud no habran cambiado. Los sig-
nos que aparecen en las ecuaciones (3.32) hasta (3.35), en este caso +, excepto
el primero, corresponden al conjunto particular de direcciones de campo selec-
cionadas. El signo menos, como se vera, solamente signica que no se adivina
correctamente la direccion deEr. No obstante hay que tener presente que la
literatura no es uniforme y que se puede encontrar cualquier posible signo bajo
el ttulo deecuaciones de Fresnel. Para evitar confusion,tales ecuaciones deben
estar relacionadas con las direcciones especcas de los campos de las que fueron
deducidas..
........................................................................
3.1.2
Interpretacion
de las
Ecuaciones
de Fresnel
Esta seccion esta dedicada a un examen de las implicaciones fsicas de las
ecuaciones de Fresnel. En particular se esta interesado en determinar las am-
plitudes fraccionarias y densidades de ujo que se reejan y refractan. Ademas
interesa cualquier posible corrimiento de fase que pueda aparecer en el proceso.
1.Coecientes de amplitud.Se examinara ahora brevemente la forma de
los coecientes de amplitud sobre el rango completo de valores dei. A
incidencia casi normal (i0) las tangentes en la ecuacion (3.33) son
esencialmente iguales a los senos, en cuyo caso:

r
k

i=0
= [r?]
i=0
=

sin(it)
sin(i+t)

i=0
Juan Manuel Enrique Mu~nido 53

54. CAP

ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGAN

ETICO DE LA PROPAGACI

ON DE
LA LUZ
Se volvera despues al signicado del signo menos. Despues de desarrollar
los senos y usar la ley de Snell esta expresion queda:

r
k

i=0
= [r?]
i=0
=

ntcosinicost
ntcosi+nicost

i=0
(3.36)
la cual se deriva tambien de las ecuaciones (3.24) y (3.30). En el lmite,
cuandoiva a 0, cosiy costse acercan ambos a la unidad y, conse-
cuentemente,

r
k

i=0
= [r?]
i=0
=

ntni
nt+ni

i=0
(3.37)
Entonces, por ejemplo, en una interfase aire (ni= 1) vidrio (nt= 1;5)
cerca de una incidencia normal, los coecientes de reexion son iguales a
0;2. Cuandont> nise deduce de la ley de Snell quei> ty asr?es
negativo para todos los valores dei. Por el contrario,r
kcomienza siendo
positivo eni= 0 y decrece gradualmente hasta que se anula cuando
i+t= 90
o
ya que tan=2 es innita. El valor particular del angulo de
incidencia para el cual esto ocurre se denota porpy se conoce como el
angulo de polarizacion.
1
Cuandoiaumenta mas alla dep,r
kse hace
aun mas negativa hasta llegar a -1.0 a los 90
o
.
A incidencia normal las ecuaciones (3.25) y (3.31) llevan directamente, a:

t
k

i=0
= [t?]
i=0
=
2ni
ni+nt
: (3.38)
Asumiendo que:
t?+ (r?) = 1 (3.39)
es valida para todo valor deimientras que:
t
k+r
k= 1 (3.40)
es valida solamente a incidencia normal.
La discusion anterior, en su mayor parte, estaba restringida al caso de
reexion externaes decirnt> ni. La situacion opuesta dereexion interna
en la cual el medio incidente es mas denso (ni> nt), es ciertamente
tambien de interes. En ese casot> iyr?, como se describe en la
ecuacion (3.11), sera simplemente positiva.r?aumenta desde su valor
inicial (3.37) eni= 0 llegando a mas de uno en lo que se llamaangulo
crtico,c. Especcamenteces el valor especial del angulo de incidencia
para el cualt==2. En la misma forma,r
kcomienza negativamente
(3.37) eni= 0 y despues aumenta hasta llegar a mas de uno eni=c,
como es evidente segun la ecuacion de Fresnel (3.30). Como antesr
kpasa
por cero en elangulo de polarizacion
0
p. Los angulos de polarizacion
0
p
yppara la reexion interna y externa en la interfase entre los mismos
dos medios son simplemente complemento el uno del otro. Posteriormente
se regresara a la reexion interna, donde se demostrara quer?yr
kson
cantidades complejas parai> c.
1
Este angulo se conoce tambien como angulo de Brewster
54 Juan Manuel Enrique Mu~nido

55. 3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE
2.Corrimientos de fase.
Debe ser evidente segun la ecuacion (3.32) quer?es negativo indepen-
dientemente deicuandont> ni. Ademas se vio anteriormente que si
se hubiese escogido
h
~
Er
i
?
en la direccion opuesta, la primera ecuacion de
Fresnel (3.32), hubiese cambiado de signo haciendo quer?se tornara po-
sitivo. Entonces el signo der?esta asociado con las direcciones relativas
de
h
~
E0i
i
?
y
h
~
E0r
i
?
. Recuerdese que una inversion de
h
~
E0r
i
?
es equiva-
lente a introducir un corrimiento de fase, '?, deradianes en
h
~
Er
i
?
.
Por consiguiente en la frontera
h
~
Ei
i
?
y
h
~
Er
i
?
seran antiparalelos y por
lo tanto fuera de fase enuno respecto del otro, como lo indica el valor
negativo der?. Cuando se consideran las componentes normales al plano
de incidencia no hay confusion sobre si los dos campos estan en fase o
radianes fuera de fase; si son paralelos estan en fase; si son antiparale-
los estanfuera de fase. Resumiendo entonces,la componente del campo
electrico normal al plano de incidencia sufre un corrimiento de fase de
radianes bajo reexion cuando el medio incidentte tiene un ndice mas
bajo que el medio transmisor. Similarmentet?yt
kson siempre positivas
y '= 0.Ademas, cuandoni> ntno resulta corrimiento de fase en la
componente normal al reejarse, es decir'?= 0siempre quei< c.
Las cosas son menos obvias cuando se consideran
h
~
Ei
i
k
,
h
~
Er
i
k
y
h
~
Et
i
k
.
Es necesario ahora denir mas explcitamente lo que se quiere decir poren
faseya que los vectores de fase son coplanares pero generalmente no coli-
neales. Las direcciones del campo se escogieron de tal forma que mirando
cualquiera de los vectores de propagacion en la direccion en que viene la
luz
~
E,
~
By
~
kse ven con la misma orientacion relativa sea cual sea el rayo
incidente, reejado o transmitido. Se puede usar esto como la condicion
requerida a n de que los dos campos
~
Eesten en fase. Equivalentemente
pero mas simplemente,dos campos en el plano incidente estan en fase si
sus componentes son paralelas y fuera de fase si son antiparalelas. Hay
que notar que cuando un par de campos
~
Eestan fuera de fase, tambien lo
estan sus campos asociados
~
By viceversa. Con esta denicion se necesita
solamente ver los vectores normales al plano de incidencia, sean ellos
~
E
o
~
B, para determinar la fase relativa de los campos acompa~nantes en el
plano incidente. Entonces,
~
Eiy
~
Etestan en fase como lo estan
~
Biy
~
Bt
mientras que
~
Eiy
~
Erestan fuera de fase junto con
~
Biy
~
Br. Similarmente
~
Ei,
~
Ery
~
Etestan en fase como lo estan
~
Bi,
~
Bry
~
Bt.
Ahora, el coeciente de amplitud de reexion para la componente paralela
esta dado por:
r
k=
ntcosinicost
ntcosi+nicost
el cual es positivo ('
k= 0) siempre que:
ntcosinicost>0
es decir, si:
sinicosicostsint>0:
Juan Manuel Enrique Mu~nido 55

56. CAP

ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGAN

ETICO DE LA PROPAGACI

ON DE
LA LUZ
o equivalentemente:
sin(it) cos(i+t)>0: (3.41)
Este sera el caso para el queni< ntsi
(i+t)<

2
(3.42)
y parani> ntcuando
(i+t)>

2
(3.43)
Y as, cuandoni< nt,
h
~
E0r
i
k
y
h
~
E0i
i
k
estaran en fase ('
k= 0) hasta
quei=py fuera de fase enradianes de ah en adelante. La transicion
no es en realidad discontinua ya que
h
~
E0r
i
k
va a cero enp. Por el con-
trario, para reexion internar
kes negativa hasta
0
plo cual quiere decir
que '
k=. Desde
0
pac,r
kes positiva y '
k= 0. Mas alla dec,r
k
se hace compleja. y '
kaumenta gradualmente hastaparai= 90
o
.
La forma funcional real de '
ky '?para reexion interna en la region
dondei> cse puede encontrar en la literatura.
3.Reectancia y transmitancia.
Hay que recordar que la potencia por unidad de area que cruza una super-
cie en el vaco cuya normal es paralela a
~
S, el vector de Poynting, esta
dado por:
~
S=c
2
0
~
E
~
B:
Ademas, la densidad de ujo radiante (W/m
2
) o irradiancia es entonces:
I=hSi=
c0
2
E
2
0:
Esta es la energa promedio por unidad de tiempo que cruza un area
unitaria normal a
~
S(en medios isotropicos
~
Ses paralela a
~
k). En el caso
que se considera seanIi,IryItlas densidades de ujo incidente, reejado
y transmitido respectivamente. Luego, la porcion de energa incidiendo
normalmente en un area unitaria de la fronterapor segundo esIicosi.
Similarmente,IrcosryItcostson las energas por segundo que salen de
un area unitaria de la frontera normalmente en cada lado. Lareectancia
Res la razon del ujo (o potencia) reejado al incidente, es decir:
R
Ircosr
Iicosi
=
Ir
Ii
; (3.44)
mientras que latransmitancia Tes la razon del ujo transmitido al inci-
dente y esta dada por:
T
Itcost
Iicosi
: (3.45)
56 Juan Manuel Enrique Mu~nido

57. 3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE
El cocienteIr=Iies igual a (vrrE
2
0r=2)(viiE0i=2) y ya que las ondas
reejadas e incidente estan en el mismo mediovr=vi,r=i, y
R=

E0r
E0i

2
=r
2
: (3.46)
En la misma forma (suponiendoi=t=0):
T=
ntcost
nicosi

E0t
E0i

2
=

ntcost
nicosi

t
2
; (3.47)
donde se uso el hecho de que0t= 1=v
2
ty0vtt=nt=c. La energa total
que llega al areaApor unidad de tiempo debe igualar a la energa que
uye fuera de ella por unidad de tiempo;
IiAcosi=IrAcosr+ItAcost; (3.48)
Es evidente aqu que el area transversal del haz transmitido,Acostes
mas grande que la de los haces incidente o reejado (que son iguales).
Multiplicando ambos lados porcesta expresion queda:
niE
2
0icosi=niE
2
0rcosi+ntE
2
0tcost
o
1 =

E0r
E0i

2
+

ntcost
nicosi

E0t
E0i

2
: (3.49)
Pero esto es simplemente
R+T= 1 (3.50)
donde no hay absorcion. Es conveniente usar las formas componentes, es
decir:
R?=r
2
? (3.51)
R
k=r
2
k
(3.52)
T?=

ntcost
nicosi

t
2
k
(3.53)
y
T
k=

ntcost
nicosi

t
2
k
(3.54)
Se puede demostrar que:
R
k+T
k= 1 (3.55)
y
R?+T?= 1 (3.56)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 57

58. CAP

ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGAN

ETICO DE LA PROPAGACI

ON DE
LA LUZ
Una caracterstica interesante de estas curvas se verca facilmente, al me-
nos cualitativamente, y ella es que ambasR
kyR?se acercan a uno cuando
i!90
o
. Esto signica que casi cualquier interfase dielectrica muy lisa se
comportara como un espejo para la incidencia rasante. Intentese observar
una fuente luminosa usando esta pagina como una supercie de fronte-
ra dondei90
o
. Se podra ver una imagen bastante clara de la fuente
reejada en el papel.
Cuandoi= 0 el plano incidente queda indenido y cualquier distincion
entre las componentes paralela y perpendicualr deRyTdesaparece. En
este caso las ecuaciones (3.51) hasta (3.54) junto con (3.37) y (3.38) llevan
a:
R=R
k=R?=

ntni
nt+ni

2
(3.57)
y
T=T
k=T?=
4ntni
(nt+ni)
2
: (3.58)
Entonces el 4 % de la luz incidente normalmente en una interfase aire-
vidrio sera reejada tanto internamente,ni> nt, como externamente,
ni< nt. Esto obviamente sera de gran interes para cualquiera que este
trabajando con un sistema complicado de lentes con diez o veinte de tales
fronteras aire-vidrio. En efecto, si se mira perpendicularmente una pila de
alrededor de 50 portaobjetos de microscopio (los cubreobjetos son mucho
mas delgados y mas faciles de manejar en grandes cantidades) la mayor
parte de la luz se reejara. La pila se comportara como si fuese un espejo.
58 Juan Manuel Enrique Mu~nido

59. CAP

ITULO 4Superposicion de Ondas
Indice General
4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . . . . .
61
4.1.1. El Metodo Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.1.2. El Metodo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . . . . .
68
4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7059

60. CAP

ITULO 4. SUPERPOSICI

ON DE ONDAS
En los captulos siguientes se estudiaran los fenomenos de polarizacion, in-
terferencia y difraccion. Todos ellos comparten una base conceptual comun ya
que en su mayor parte tienen relacion con varios aspectos del mismo proceso.
Armando esto en los terminos mas simples, se dira que interesa saber que suce-
de cuando dos o mas ondas de luz se superponen en la misma region del espacio.
Las circunstancias precisas que gobiernan esta superposicion, por supuesto, de-
terminan la perturbacion optica nal. Entre otras cosas, se esta interesado en
comprender como las propiedades especcas de cada onda constitutiva (es decir,
amplitud, fase, frecuencia, etc.) inuencian la forma ultima de la perturbacion
compuesta.
Es preciso recordar que cada componente del campo de una onda electro-
magnetica (Ex; Ey; Ez; Bx; By; Bz) satisface la ecuacion de onda diferencial tri-
dimensional escalar.
@
2

@x
2
+
@
2

@y
2
+
@
2

@z
2
=
1
v
2
@
2

@t
2
Una caracterstica muy signicativa de esta expresion es que eslineal, es de-
cir, (~r; t) y sus derivadas aparecen solamente con la primera potencia. Por lo
tanto, si 1(~r; t); 2(~r; t); : : : ; n(~r; t), son soluciones individuales de la ecua-
cion (1.59),cualquier combinacion linealde estas a su vez, sera una socucion.
Entonces
(~r; t) =
n
X
i=1
Ci i(~r; t) (4.1)
satisface la ecuacion de onda, donde los coecientesCison simplemente cons-
tantes arbitrarias. Esta propiedad, conocida comoprincipio de superposicion,
sugiere que la perturbacion resultante en cualquier punto de un medio es la
suma algebraica de sus ondas constitutivas separadas. Ahora solo se esta inte-
resado en sistemas lineales donde el principio de superposicion es en realidad
aplicable. Tengase en mente, sin embargo, que ondas de amplitud grande, bien
sean ondas de sonido u ondas de una cuerda, pueden generar una respuesta no
lineal. El haz de un laser de alta intensidad enfocado (donde el campo electrico
podra ser tan alto como 10
10
V/cm) puede evocar efectos no lineales. Por com-
paracion, el campo electrico asociado con la luz del sol aqu en la Tierra tiene
una amplitud de alrededor de 10 V/cm.
Hay muchos casos en los que no se necesita preocuparse con la naturaleza
vectorial de la luz y por el momento el estudio se restringira a tales casos. Por
ejemplo, si todas las ondas de luz se propagan a lo largo de la misma lnea y
comparten un plano comun constante de vibracion, cada una de ellas podra
ser descrita en terminos de una componente del campo electrico. Todas estas
podran ser paralelas o antiparalelas en cualquier instante y podran entonces
ser tratadas como escalares. Mucho mas se dira acerca de este punto conforme
se progrese; por ahora se representara la perturbacion optica por una funcion
escalarE(~r; t) que es una solucion de la ecuacion (1.59). Este procedimiento lleva
a una teora escalar simple que es altamente util siempre que se sea cuidadoso
al aplicarla.
60 Juan Manuel Enrique Mu~nido

61. 4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA
SECCI

ON 4.1
Suma de Ondas de la Misma Frecuencia
.
........................................................................
4.1.1 El
Metodo
Algebraico
Recuerdese que se puede escribir una solucion de la ecuacion diferencial de
onda en la forma:
E(x; t) =E0sin[!t(kx+")] (4.2)
en la cualE0es la amplitud de la perturbacion armonica que se propaga a lo
largo de la direccion positiva del ejex. Alternativamente, hagase:
(x; ") =(kx+") (4.3)
tal que
E(x; t) =E0sin[!t+(x; ")]: (4.4)
Supongase entonces que se tienen dos de tales ondas
E1=E01sin(!t+1) (4.5)
y
E2=E02sin(!t+2) (4.6)
las dos con la misma frecuencia y velocidad, superponiendose en el espacio. La
perturbacion resultante es la superposicion lineal de estas ondas. Entonces
E=E1+E2
o, al desarrollar las ecuaciones (4.5) y (4.6)
E=E01(sin!tcos1+ cos!tsin1)
+E02(sin!tcos2+ cos!tsin2):
Por lo tanto
E=(E01cos1+E02cos2) sin!t
+ (E01sin1+E02sin2) cos!t:
Ya que los terminos entre parentesis son constantes en el tiempo, se hace
E0cos=E01cos1+E02cos2 (4.7)
y
E0sin=E01sin1+E02sin2: (4.8)
Esta no es una sustitucion obvia pero sera legtima siempre que se pueda despejar
E0y. Con ese n, se eleva al cuadrado y se suman las ecuaciones (4.7) y (4.8)
para obtener
E
2
0=E
2
01+E
2
02+ 2E01E02cos(21) (4.9)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 61

62. CAP

ITULO 4. SUPERPOSICI

ON DE ONDAS
y dividiendo la ecuacion (4.8) por la (4.7) se obtiene
tan=
E01sin1+E02sin2
E01cos1+E02cos2
(4.10)
la perturbacion total queda entonces:
E=E0cossin!t+E0sincos!t
o
E=E0sin(!t+): (4.11)
La onda compuesta(4.11)es armonica y de la misma frecuencia que las cons-
titutivas aunque su amplitud y fase son diferentes. La densidad de ujo de una
onda de luz es proporcional a su amplitud al caudrado en virtud de la ecuacion
(2.52). Entonces de deduce de la ecuacion (4.9) que la densidad de ujo resul-
tante no es simplemente la suma de las densidades de ujo componentes |hay
una contribucion adicional 2E01E02cos(12) conocida como eltermino de
interferencia. El factor crucial es la diferencia en fase entre las dos ondas que
intererenE1yE2(12). Cuando= 0;2;4; : : :la amplitud
resultante es un maximo mientras que=;3; : : :da un mnimo. En el
primer caso, se dice que las ondas estan en fase, cresta sobre cresta. En el ultimo
caso las ondas estan 180
o
fuera de fase y los valles estan sobre las crestas. Ob-
servese que ladiferencia de fasepuede aparecer por una diferncia en la longitud
del camino atravesado por las dos ondas o tambien por una diferencia en la fase
incial, es decir,
= (kx1+"1)(kx2+"2) (4.12)
o
=
2

(x1x2) + ("1"2) (4.13)
Aqux1yx2son las distancias desde las fuentes de las dos ondas hasta el punto
de observacion yes la longitud de onda en el medio en que viajan. Si las ondas
estan inicialmente en fase en sus emisores respectivos, entonces"1="2, y
=
2

(x1x2) (4.14)
Esto tambien se aplicara al caso donde dos perturbaciones de la misma fuente
viajen diferentes rutas antes de llegar al punto de observacion. Ya quen=c=v=
0=
=
2
0
n(x1x2): (4.15)
62 Juan Manuel Enrique Mu~nido

63. 4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA
La cantidadn(x1x2) se conoce como ladiferencia de camino opticoy se
expresara por la abreviatura D.C.O. o por el smbolo . Hay que recordar que
es posible, en situaciones mas complicadas, que cada onda viaje a traves de un
numero de medios diferentes con espesores diferentes. Observese tambien que
=0= (x1x2)=es el numero de ondas en el medio que corresponde a la
diferencia de camino. Ya que cada longitud de onda esta asociada con un cambio
de fase de 2radianes,= 2(x1x2)=, o mas brevemente
=k0; (4.16)
dondek0es el numero de propagacion en el vaco, es decir, 2=0.
Las ondas para las que"1"2es constante, independientemente de su valor,
son coherentes; una situacion que se supondra que se consigue en casi toda esta
discusion.
Hay un caso especial que es de algun interes y es la superposicion de las
ondas
E1=E01sin[!tk(x+ x)]
y
E2=E02sin(!tkx);
donde en particularE01=E02y12=kx. Se deja demostrar que en este
caso las ecuaciones (4.9), (4.10) y (4.11) llevan una onda resultante de
E= 2E01cos

kx
2

sin

!tk

x+
x
2

: (4.17)
Esto pone de maniesto claramente el papel dominante que juega la diferencia de
caminos, x, especialmente cuando las ondas emitidas estan en fase ("1"2).
Hay muchos casos practicos donde uno arregla justamente estas condiciones
como se vera mas tarde. Si xla resultante tiene una amplitud muy cercana
al valor 2E02; mientras que es cero si x==2. En la primera situacion se dice
que hayinterferencia constructivamientras que en la ultima hayinterferencia
destructiva.
Para aplicaciones repetidas del procedimiento usado para llegar a la ecua-
cion (4.11) se puede demostrar que lasuperposicion de cualquier numero de
ondas armonicas coherentes que tienen una frecuencia dada y viajan en la mis-
ma direccion lleva a una onda armonica de la misma frecuencia. Por simple
casualidad se ha escogido representar las dos ondas en terminos de funciones
seno pero el mismo resultado hubiese aparecido si se hubiese usado funciones
coseno. Entonces en general la suma deNde tales ondas,
E=
N
X
i=1
E0icos(i!t)
esta dada por
E=E0cos(!t) (4.18)
donde
E
2
0=
N
X
i=1
E
2
0i+ 2
N
X
j>i
N
X
i=1
E0iE0jcos(ij) (4.19)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 63

64. CAP

ITULO 4. SUPERPOSICI

ON DE ONDAS
y
tan=
N
X
i=1
E0isini
N
X
i=1
E0icosi
(4.20)
Hagase una pausa por un momento y contentese con que estas relaciones son
en efecto verdaderas. Imagnese que se tiene un numero muy grande de fuentes
independientes (N) donde los angulos de fase,i, estan ahoracompletamente al
azar. En otras palabras, la fase inicial para cada fuente puede tener cualquier
valor entre 0 y 2en una forma que no tiene ninguna relacion con alguna
otra fuente, o los emisores pueden estar localizados al azar, o ambas cosas.
Aunque es aplicable a fuentes de luz, este arreglo se puede tambien visualizar
con generadores de microondas o aun con violines. Los resultados que se obtienen
se aplican bien sea que las amplitudes sean todas iguales o no, pero el primer
caso es mas simple de apreciar. Por lo tanto, hagase que cada amplitud en la
ecuacion (4.19) seaE01. SiNes sucientemente grande, cos(ij) tomara
valores tanto positivos como negativos con la misma probabilidad y el segundo
termino en la ecuacion (4.19) se aproximara a cero. Por lo tanto:
E
2
0=NE
2
01 (4.21)
La densidad de ujo resultante debida a N fuentes que tienen fases al azar esta
dada por N veces la densidad de ujo de cualquier fuente.En otras palabras,esta
determinada por la suma de las densidades de ujo individuales. Por ejemplo,
la luz que emana de una fuente termica (en contraposicion con lo que sucede en
un laser) esta compuesta de radiacion de un gran numero de emisores atomicos.
Las ondas generadas por estas fuentes microscopicas tienen fases al azar y en-
tonces sus densidades de ujo individuales se combinan en la manera que se ha
considerado para formar la densidad de ujo total.
Ademas, los emisores atomicos varan en fase rapidamente y al azar y por
consiguiente tambien lo hace as la onda total que resulta de la fuente. Dos o mas
fuentes termicas separadas (lamparas de descarga, iluminadores fotogracos,
focos, etc.) seran incoherentes en virtud de estas rapidas variaciones en. Ya
que la densidad de ujo es proporcional al promedio en el tiempo deE
2
0, tomada
generalmente sobre un intervalo de tiempo grande, y ya que lasson funciones
del tiempo a traves de fases iniciales, cos [i(t)j(t)] promediara de nuevo a
cero.
En el otro extremo, si las fuentes son coherentes y estan en fase en el punto
de observacion, es decir,i=j, la ecuacion (4.19) quedara
E
2
0=
N
X
i=1
E
2
0i+ 2
N
X
j>i
N
X
i=1
E0iE0j
o equivalentemente
E
2
0=

N
X
i=1
E0i
!2
: (4.22)
64 Juan Manuel Enrique Mu~nido

65. 4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA
De nuevo suponiendo que cada amplitud esE01, se obtiene
E
2
0= (NE01)
2
=N
2
E
2
01: (4.23)
En este caso de fuentes coherentes en fase se tiene una situacion en que las
amplitudes se suman primero y entonces se elevan al cuadrado para determinar
la densidad de ujo resultante. La superposicion de ondas coherentes general-
mente tiene el efecto de alterar la distribucion espacial de la energa pero no
la cantidad total presente. Si hay regiones donde la densidad de ujo es mayor
que la suma de las densidades de ujo individuales, habra regiones donde sera
menor que esa suma.
.
........................................................................
4.1.2 El
Metodo
Complejo
A menudo es matematicamente conveniente hacer uso de la representacion
compleja de las funciones trigonometricas cuando se esta manejando la super-
posicion de perturbaciones armonicas. La onda
E1=E01cos(kx!t+"1)
o
E1=E01cos(1!t)
se puede entonces escribir como:
E1=E01e
i(1!t)
; (4.24)
si se recuerda que se esta solamente interesado en la parte real. Supongase que
hayNde tales ondas que se superponen con la misma frecuencia y viajando en
ladireccion positiva de x. La onda resultante esta dada por:
E=E0e
i(+!t)
la cual es equivalente a la ecuacion (4.18) o despues de sumar las ondas compo-
nentes
E=
2
4
N
X
j=1
E0je
ij
3
5e
i!t
: (4.25)
La cantidad
E0e
i
=
N
X
j=1
E0je
ij
(4.26)
se conoce como laamplitud complejade la onda compuesta y es simplemente la
suma de las amplitudes complejas de las constitutivas. Ya que
E
2
0= (E0e
i
)(E0e
i
)

; (4.27)
siempre se puede calcular la irradiancia resultante de las ecuaciones (4.26) y
(4.27). Por ejemplo, siN= 2,
E
2
0= (E01e
i1
+E02e
i2
)(E01e
i1
+E02e
i2
);
de donde
E
2
0=E
2
01+E
2
02+E01E02
h
e
i(12)
+e
i(12)
i
o
E
2
0=E
2
01+E
2
02+ 2E01E02cos(12);
la cual es identica a la ecuacion (4.9).
Juan Manuel Enrique Mu~nido 65

66. CAP

ITULO 4. SUPERPOSICI

ON DE ONDAS
.
........................................................................
4.1.3
Suma de
Fasores
La suma descrita en la ecuacion (4.26) se puede representar gracamente
como la suma de vectores en el plano complejo. En la jerga de la ingeniera
electronica la amplitud compleja se conoce comofasory se especica por su
magnitud y fase; a menudo se escribe simplemente en la formaE0\. El me-
todo de la suma de fasores que se va a desarrollar ahora se puede emplear sin
apreciar su relacion con el formalismo de los numeros complejos. En bien de la
simplicidad, en su mayor parte se evitara el uso de esa interpretacion en lo que
sigue. Imagnese entonces que se tiene una perturbacion descrita por:
E1=E01sin(!t+1):
Se representa la onda por un vector de longitudE01girando en sentido contrario
a los puntos de un reloj con una rapidez!tal que su proyeccion en el eje
vertical esE01sin(!t+1). Si se hubiese trabajado con las ondas coseno, se
habra tomado la proyeccion sobre el eje horizontal. Incidentalemente, el vector
rotatorio es por supuesto el fasorE01\1y las notacionesReIdenotan los
ejes real e imaginario. Similarmente, una segunda onda es
E2=E02sin(!t+2)
La suma algebraica,E=E1+E2, es la proyeccion en el ejeIdel fasor resultante
determinado por la suma de vectores de los fasores componentes. La ley de los
cosenos aplicada al triangulo de ladosE01,E02yE0da
E
2
0=E
2
01+E
2
02+ 2E01E02cos(21);
donde se hizo uso del hecho de que cos[(21)] =cos(21). Esta
es identica a la ecuacion (4.9), como debe ser. Usando el mismo diagrama,
observese que tanesta dada tambien por la ecuacion (4.10). Generalmente
interesa encontrarE0en lugar deE(t) y ya queE0no esta afectada por el
constante girar de todos los fasores, a menudo sera conveniente ponert= 0 y
as eliminar esa rotacion.
Algunos esquemas muy elegantes como lacurva de vibraciony laespiral de
Cornuseran explicados con la tecnica de la suma de fasores. Ademas, es un
punto de vista graco que a menudo permite entender mejor el problema. Como
ejemplo nal se examinara brevemente la onda resultante de la suma de:
E1= 5 sin!t
E2= 10 sin(!t+ 45
o
)
E3= sin(!t15
o
)
E4= 10 sin(!t+ 120
o
)
y
E5= 8 sin(!t+ 180
o
):
donde!esta en grados por segundo. En los fasores 5\0
o
, 10\45
o
, 1\120
o
y
8\180
o
cada angulo de fase, bien sea positivo o negativo, tiene como referencia
la horizontal. Solo se necesita leerE0\con una escala y un transportador para
obtenerE=E0sin(!t+). Es evidente que esta tecnica ofrece una ventaja
tremenda en velocidad y simplicidad si no en precision.
66 Juan Manuel Enrique Mu~nido

67. 4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA
.
........................................................................
4.1.4
Ondas Es-
tacionarias
Se vio que la solucion general de la ecuacion diferencial de onda consista en
una suma de ondas viajantes,
(x; t) =C1f(xvt) +C2g(x+vt):
En particular se va a examinardos ondas armonicas de la misma frecuencia
propagandose en direcciones opuestas. Una situacion de interes practico aparece
cuando la onda incidente se reeja hacia atras por algun tipo de espejo; una
pared rgida funcionara para ondas de sonido o una lamina conductora para
ondas electromagneticas. Imagnese entonces que una onda incidente que viaja
a la izquierda,
EI=E0Isin(kx+!t+"I) (4.28)
llega a un espejo enx= 0 y se reeja hacia la derecha en la forma:
ER=E0Rsin(kx!t+"R): (4.29)
La onda compuesta en la region a la derecha del espejo esE=EI+ER. Se
podra efectuar la suma indicada y llegar a una solucion general en forma muy
parecida a la de la seccion 4.1. Hay, sin embargo, algunos conocimientos fsicos
que se pueden obtener tomando un camino ligeramente mas restringido.
La fase inicial"Ise puede poner en cero simplemente poniendo en marcha
el reloj cuandoEI=E0Isinkx. Hay algunas cualidades determinadas por el
arreglo fsico que deben ser satisfechas por la solucion matematica y se cono-
cen formalmente comocondiciones de contorno. Por ejemplo, si se estuviese
hablando de una cuerda con un extremo atado a una pared enx= 0, ese punto
debe tener siempre desplazamiento cero. Las dos ondas que se superponen, una
incidente y la otra reejada, deben sumarse de tal manera que den una onda re-
sultante cero enx= 0. Similarmente, en la frontera de una lamina perfectamente
conductora la onda electromagnetica resultante debe tener una componente del
campo electrico nula paralela a la supercie. Suponiendo queE0I=E0, las
condiciones de contorno requieren que enx= 0,E= 0 y ya que"I= 0 se
deduce de las ecuaciones (4.28) y (4.29) que"R= 0. La perturbacion compuesta
es entonces:
E=E0I[sin(kx+!t) + sin(kx!t)]:
Aplicando ahora la identidad
sin+ sin= 2 sin
1
2
(+) cos
1
2
()
se obtiene
E(x; t) = 2E0Isinkxcos!t: (4.30)
Esta es la ecuacion de unaonda estacionaria, en contraste con una onda viaje-
ra. Su perl no se mueve en el espacio; claramente no es de la formaf(xvt).
En cualquier puntox=x
0
la amplitud es una constante igual a 2E0Isinkx
0
yE(x
0
; t) vara armonicamente con cos!t. En ciertos puntos, que sonx=
0; =2; ;3=2; : : :, la perturbacion sera cero en todo instante. Estos secono-
cen comonodosopuntos nodales. A medio camino entrecada par adyacente
de nodos, es decir, enx==4;3=4;5=4; : : :, la amplitud tiene un valor de
Juan Manuel Enrique Mu~nido 67

68. CAP

ITULO 4. SUPERPOSICI

ON DE ONDAS
2E0Iy esos puntos se conocen comoantinodos. La perturbacionE(x; t) sera
cero para todos los valores dexdonde quiera que cos!t= 0, es decir, cuando
t= (2m+ 1)=4 dondem= 0;2;3; : : :yes el perodo de las ondas componen-
tes.
Si la reexion en el espejo no es perfecta, como es a menudo el caso, la onda
compuesta tendra una componente viajera junto con la onda estacionaria. Bajo
tales condiciones habra una transferencia neta de energa en contraste con la
onda estacionaria pura donde no hay ninguna.
Fue mediante la medicion de las distancias entre los nodos de ondas esta-
cionarias como Hertz pudo determinar la longitud de onda de la radiacion en
sus historicos experimentos. Unos pocos a~nos mas tarde, en 1890, Otto Wie-
ner demostro por primera vez la existencia de ondas estacionarias en las ondas
luminosas. El arreglo que utilizo consiste en un haz paralelo de luz cuasimono-
cromatica normalmente incidente reejandose en un espejo plateado en la cara
frontal al haz. Una pelcula fotograca, transparente y delgada de menos de
=20 de espesor se ha depositado en una placa de vidrio, inclinada con respecto
al espejo con un angulo de 10
3
radianes. En esa forma la placa de pelcula
intersecta el patron de ondas planas estacionarias. Despues de revelar la emul-
sion se encontraron una serie de bandas ennegrecidas paralelas, equidistantes.
Estas correspondan a las regiones donde la pelcula fotograca haba intersec-
tado los planos antinodales. Muy signicativamente, no hubo ennegrecimiento
de la emulsion en la supercie del espejo. Se puede demostrar que los nodos y
antinodos de la componente del campo magnetico de una onda electromagne-
tica estacionaria se alternan con los del campo electrico. Esto se podra haber
sospechado del hecho de quet= (2m+ 1)=4,E= 0 para todos los valores de
xy as para conservar energa se deduce queB6= 0. De acuerdo con la teora,
Hertz (1888) previamente haba determinado la existencia de un punto nodal del
campo electrico en la supercie de su reector. Por consiguiente, Wiener pudo
concluir que las regiones ennegrecidas estaban asociadas con los antinodos del
campo
~
E.Entonces es el campo electrico el que dispara el proceso fotoqumico.
En una forma muy parecida Drude y Nernst demostraron que el campo
~
Ees el
responsable de la uorescencia. Estas observaciones son tdas muy entendibles
ya que la fuerza ejercida en un electron por la componente
~
Bdel campo de
una onda electromagnetica es generalmente despreciable en comparacion con la
del campo
~
E.Es por estas razones que se reere al campo electrico como la
perturbacion optica o campo de luz.
SECCI

ON 4.2
Suma de Ondas de Diferente Frecuencia
Hasta ahora el analisis se ha restringido a la superposicion de ondas con
la misma frecuencia. Sin embargo, en realidad nunca se tiene perturbaciones de
ningun tipo que sean estrictamente monocromaticas. Sera bastante mas realista,
como se vera, hablar de luz cuasimonocromatica que esta compuesta de un
estrecho rango de frecuencias. El estudio de tal luz llevara a los importantes
conceptos de ancho de banda y tiempo de coherencia.
La habilidad para modular efectivamente la luz hace posible acoplar siste-
mas electronicos y opticos en una forma que ciertamente tendran efectos de
68 Juan Manuel Enrique Mu~nido

69. 4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA
gran alcance sobre toda la tecnologa en las decadas por venir. Ademas, con
el advenimiento de las tecnicas electro-opticas, la luz esta comenzando a jugar
un nuevo y signicativo papel como transportador de informacion. Esta seccion
esta dedicada a desarrollar algunas de las ideas matematicas que se necesitan
para apreciar este nuevo enfasis.
.
........................................................................
4.2.1
Pulsos
Considerese ahora la perturbacion compuesta que aparece de la combinacion
de las ondas:
E1=E01cos(k1x!1t)
E2=E01cos(k2x!2t)
las cuales tienen amplitudes iguales y fase inicial cero. La onda neta:
E=E01[cos(k1x!1t) + cos(k2x!2t)]
puede formularse de nuevo como
E= 2E01cos
1
2
[(k1+k2)x(!1+!2)t]
cos
1
2
[(k1k2)x(!1!2)t]
usando la identidad
cos+ cos= 2 cos
1
2
(+) cos
1
2
():
Ahora se denen las cantidades
!y
k, que son lafrecuencia angular promedio
y elnumero de propagacion promedio, respectivamente. Similarmente las canti-
dades!mykmse designan como lafrecuencia de modulaciony elnumero de
propagacion de modulacion. Por lo tanto, se hace
!
1
2
(!1+!2) !m
1
2
(!1!2) (4.31)
y
k
1
2
(k1+k2) km
1
2
(k1k2); (4.32)
entonces
E= 2E01cos(kmx!mt) cos(
kx
!t): (4.33)
La perturbacion total se puede considerar como una onda viajera de frecuencia
!que tiene una amplitud modulada o variable en el tiempoE0(x; t) tal que
E(x; t) =E0(x; t) cos(
kx
!t); (4.34)
donde
E0(x; t) = 2E01(x; t) cos(kmx!mt): (4.35)
En las aplicaciones de interes aqu!1y!2siempre seran muy grandes. Ademas,
si ellas son comparables entre s,!1!2, entonces!!myE0(x; t) cambiara
Juan Manuel Enrique Mu~nido 69

70. CAP

ITULO 4. SUPERPOSICI

ON DE ONDAS
lentamente mientras queE(x; t) variara muy rapidamente. La irradiancia es
proporcional a:
E
2
0(x; t) = 4E
2
01cos
2
(kmx!mt)
o
E
2
0(x; t) = 2E
2
01[1 + cos 2(kmx!mt)]:
Observese queE
2
0(x; t) oscila alrededor de un valor de 2E
2
01con una frecuencia
2!mo simplemente (!1!2) que se conoce como lafrecuencia de palpitacion.
En otras palabras, la frecuencia de modulacion, que corresponde a la envolvente
de la curva, es la mitad de la frecuencia de palpitacion. Podra parecer que,
como la forma de la onda entre dos nodos consecutivos se repite a s misma,
esa distancia debe ser la longitud de onda de la envolvente, pero este no es
generalmente el caso.
Las palpitaciones fueron observadas por primera vez usando luz en 1955 por
Forrester, Gudmundsen y Johnson. A n de obtener dos ondas de frecuencia
ligeramente diferente usaron el efecto Zeeman. Cuando los atomos de una lam-
para de descarga, en este caso mercurio, se sujetan a un campo magnetico, sus
niveles de energa se dividen. Como resultado de ello la luz emitida contiene dos
frecuencias componentes1y2que dieren en proporcion a la magnitud del
campo aplicado. Cuando estas componentes se recombinan en la supercie de
un tubo mezclador fotoelectrico la frecuencia de palpitacion,12se genera.
Especcamente, el campo estaba ajustado de tal manera que12= 10
10
Hz que corresponde convenientemente a una se~nal de microondas de 3 cm. La
corriente fotoelectrica registrada tena la misma forma que la curvaE
2
0(x).
El advenimiento del laser ha hecho desde entonces considerablemente mas
facil la observacion de las palpitaciones usando luz. Aun una palpitacion de unos
pocos Hz en 10
14
Hz se puede observar como una variacion en la corriente del
fototubo. La observacion de las palpitaciones representa ahora un medio parti-
cularmente simple y sensible de detectar peque~nas diferencias en la fecuencia.
El efecto Doppler, que explica el desplazamiento de frecuencia cuando la luz se
reeja en una supercie movil, provee otra serie de aplicaciones de las palpita-
ciones. Esparciendo luz con un objeto, bien sea solido, lquido o incluso gaseoso,
y mezclando entonces las ondas original y reejada, se obtiene una medida pre-
cisa de la velocidad del cuerpo. En forma muy parecida en escala atomica, la luz
de laser cambiara su fase al interaccionar con ondas de sonido que se mueven
en un material (este fenomeno se llama esparcimiento Brillouin). Entonces 2!m
queda como una medida de la velocidad del sonido en el medio.
.
........................................................................
4.2.2
Velocidad
de Grupo
La perturbacion examinada en la seccion anterior,
E(x; t) =E0(x; t) cos(
kx
!t);
consiste en unaonda portadora de alta frecuencia(
!), modulada en amplitud
por una funcion coseno. Suponiendo, por un momento, que la onda no estuviera
modulada, es decir,E0= constante. Cada peque~na cresta en la portadoras
viajara a la derecha con la velocidad de fase usual. En otras palabras:
v=

@'
@t

x=cte

@'
@x

t=cte
:
70 Juan Manuel Enrique Mu~nido

71. 4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA
De la ecuacion (4.34) la fase esta dada por'= (
k!t) y por lo tanto
v=
!
k
: (4.36)
Claramente, esta es la velocidad de fase bien sea que la portadora este modulada
o no. en el caso anterior las crestas simplemente cambian periodicamente de
amplitud conforme van viajando.
Evidentemente, hay otro movimiento en el que se esta interesado y es la pro-
pagacion de la envolvente moduladora. Supongase que las ondas constitutivas,
E1(x; t) yE2(x; t), avanzan con la misma velocidad,v1=v2. Imagnese, si se
quiere, las dos ondas armonicas con diferentes longitudes de onda y frecuencias
dibujadas en hojas separadas de plastico transparente. Cuando estas se super-
ponen de cierta manera la resultante es un patron estacionario de palpitaciones.
Si ambas hojas se mueven hacia la derecha con la misma velocidad para simular
ondas viajeras, las palpitaciones obviamente se moveran con la misma veloci-
dad. La rapidez con la cual la envolvente de modulacion avanza se conoce como
velocidad de grupoo simbolicamente comovg. en este caso la velocidad de grupo
es igual a la velocidad de fase de la portadora (la velocidad promedio,
!=
k). En
otras palabras,vg=v=v1=v2. Esto se aplica especcamente amedios no
dispersoresen los cuales la velocidad de fase es independiente de la longitud
de onda de tal forma que las dos ondas tengan la misma velocidad. Para una
solucion de aplicacion mas general se examinara la expresion para la envolvente
de modulacion:
E0(x; t) = 2E01(x; t) cos(kmx!mt):
La velocidad con la que se mueve la onda esta de nuevo dada por la ecuacion
(1.32) donde ahora se donde ahora se puede olvidar de la onda portadora. La
modulacion por consiguiente avanza con una rapidez dependiente de las fases
de la envolvente (kmx!mt) y as:
vg=
!m
km
o
vg=
!1!2
k1k2
=
!
k
:
Observese, sin embargo, que!puede ser dependiente deo, equivalentemente,
dek. La funcion particular!=!(k) se llamarelacion de dispersion. Cuando
el rango de frecuencia !, centrado alrededor de
!, es peque~no !=kes
aproximadamente igual a la derivada de la relacion de dispersion, es decir
vg=
d!
dk
: (4.37)
La modulacion o se~nal se propaga con una velocidadvgque puede ser mayor,
igual o menor que la velocidad de fasev, de la portadora. La ecuacion (4.37)
es muy general y sera cierta, tambien, para cualquier grupo de ondas que se
superponen siempre que su rango de frecuencia sea angosto.
Ya que!=kv, la ecuacion (4.37) da
vg=v+k
dv
dk
: (4.38)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 71

72. CAP

ITULO 4. SUPERPOSICI

ON DE ONDAS
como una consecuencia, en medios no dispersores dondeves independiente de
,dv=dk= 0 yvg=v. Especcamente en el vaco!=kc,v=cyvg=c.
En medios dispersoresv16=v2, donden(k) no se conoce,!=kc=ny es util
reformularvgcomo:
vg=
c
n

kc
n
2
dn
dk
o
vg=v

1
k
n
dn
dk

(4.39)
Para medios opticos en regiones de dispersion normal, el ndice de refraccion
aumenta con la frecuencia (dn=dk >0) y como resultadovg< v. Claramente,
se debera denir unndice de refraccion de grupo
ng
c
vg
(4.40)
que se debe distinguir cuidadosamente den. A. A. Michelson en 1885 midiongen
bisulfuro de carbono usando pulsos de luz blanca y obtuvo 1.758 en comparacion
con 1.635.
La teora de la relatividad especial hace muy claro que bajo ninguna cir-
cunstancia una se~nal se puede propagar con una velocidad mayor quec. Sin
embargo, ya se ha visto que bajo ciertas circunstancias la velocidad de fase pue-
de exceder ac. La contradiccion es solamente aparente y es debida al hecho de
que mientras que una onda monocromatica puede en efecto tener una rapidez
mayor quec, ella no puede llevar informacion. En contraste, una se~nal en la
forma de cualquier onda modulada se propagara con la velocidad de grupo que
es siempre menor quecen medios normalmente dispersores.
1
1
En regiones de dispersion anomala dondedn=dk <0,vgpuede ser mayor quec. Aqu, sin
embargo, la se~nal se propaga con otra velocidad mas, muy diferente, concida como lavelocidad
de se~nalvs. Entoncesvs=vgexcepto en una banda de absorcion de resonancia. En todos los
casosvgcorresponde a la velocidad de transferencia de energa y nunca excede ac.
72 Juan Manuel Enrique Mu~nido

73. CAP

ITULO 5Interferencias
Indice General
5.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . .
78
5.3. Interferometros de Division de Frente de Onda . .
79
5.4. Pelculas Dielectricas. Interferencia de dos Haces .
83
5.4.1. Franjas de Igual Inclinacion . . . . . . . . . . . . . .
84
5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . . .
8673

74. CAP

ITULO 5. INTERFERENCIAS
SECCI

ON 5.1
Consideraciones Generales
La luz es, por supuesto, un fenomeno vectorial; los campos electricos y mag-
neticos son campos vectoriales. Una apreciacion de este hecho es fundamental
para cualquier tipo de entendimiento intuitivo de la optica. No es necesario decir
que hay muchas situaciones en las que el sistema optico en particular esta de tal
manera congurado que la naturaleza vectorial de la luz es de poco signicado
practico. Se deducira por lo tanto las ecuaciones de interferencia basicas dentro
del contexto del modelo vectorial, delineando despues las condiciones bajo las
cuales el tratamiento escalar es aplicable.
De acuerdo con el principio de superposicion, la intensidad del campo elec-
trico
~
E, en un punto en el espacio que proviene de los campos separados
~
E1,
~
E,
: : :, de varias fuentes que contribuyen, esta dada por:
~
E=
~
E1+
~
E2+: : : :
Una vez mas se hace notar que la perturbacion optica, o campo luminoso
~
E,
vara en un tiempo sumamente rapido, aproximadamente:
4;310
14
Hz a 7;510
14
Hz;
haciendo que el campo real sea una cantidad practicamente indetectable. Por
otro lado, la irradianciaIpuede ser medida directamente usando una gran va-
riedad de sensores (por ejemplo, fotoceldas, bolometros, emulsiones fotogracas
u ojos). Realmente, si se va a estudiar la interferencia, entonces es mejor que se
ataque el problema por medio de la irradiancia.
Gran parte del analisis que sigue se puede efectuar sin especicar la forma
particular de los frentes de onda y los resultados son por consiguiente muy
generales en su aplicabilidad. Sin embargo, con el proposito de simplicar, se
consideraran dos fuentes puntualesS1yS2emitiendo ondas monocromaticas
de la misma frecuencia en un medio homogeneo. Ademas, permtase que su
separacionasea mucho mas grande que. Coloquese el punto de observacion
Plo sucientemente lejos de las fuentes de tal forma que los frentes de onda
enPsean planos. Por el momento se consideraran solamente ondas linealmente
polarizadas de la forma:
~
E1(~r; t) =
~
E01cos

~
k1~r!t+"1

y
~
E2(~r; t) =
~
E02cos

~
k2~r!t+"2

Anteriormente se vio que la irradiancia enPesta dada por:
I=v
D
~
E
2
E
Puesto que solamente son concernientes las irradiancias relativas dentro del
mismo medio, se despreciaran, al menos por el momento, las constantes y se
pondra:
I=
D
~
E
2
E
:
74 Juan Manuel Enrique Mu~nido

75. 5.1. CONSIDERACIONES GENERALES
Lo que se quiere decir por
D
~
E
2
E
es, por supuesto, el promedio en el tiempo de
la magnitud de la intensidad del campo electrico al cuadrado o
D
~
E
~
E
E
. Por
consiguiente,
~
E
2
=
~
E
~
E;
donde ahora
~
E
2
=

~
E1+
~
E2



~
E1+
~
E2

y por lo tanto:
~
E
2
=
~
E
2
1+
~
E
2
2+ 2
~
E1
~
E2
Tomando el promedio en el tiempo de ambos lados, la irradiancia queda:
I=I1+I2+I12 (5.1)
siempre que:
I1=
D
~
E
2
1
E
;
I2=
D
~
E
2
2
E
y
I12= 2
D
~
E1
~
E2
E
:
La ultima expresion se conoce comotermino de interferencia. Para evaluarlo en
este caso especco, se forma:
~
E1
~
E2=
~
E01
~
E02cos

~
k1~r!t+"1

cos

~
k2~r!t+"2

o equivalentemente:
~
E1
~
E2=
~
E01
~
E02[cos(
~
k1~r+"1)cos!t
+ sin(
~
k1~r+"1) sin!t][cos(
~
k2~r+"2) cos!t
+ sin(
~
k2~r+"2) sin!t]:
(5.2)
Recordando que el promedio en el tiempo de alguna funcionf(t), tomado sobre
un intervaloT, es:
hf(t)i=
1
T
Z
t+T
t
f(t
0
)dt
0
: (5.3)
El perodode las funciones armonicas es 2=!y para la mayora de los pro-
positos presentesT. En ese caso el coeciente 1=Tfrente a la integral tiene
un efecto dominante. Despues de multiplicar y sacar el promedio, la ecuacion
(5.2) queda:
D
~
E1
~
E2
E
=
1
2
~
E01
~
E02cos

~
k1~r+"1
~
k2~r"2

;
Juan Manuel Enrique Mu~nido 75

76. CAP

ITULO 5. INTERFERENCIAS
donde se utilizo el hecho de que

cos
2
!t

=
1
2
,

sin
2
!t

=
1
2
yhcos!tsin!ti=
0. El termino de interferencia es:
I12=
~
E01
~
E02cos (5.4)
y, igual a

~
k1~r
~
k2~r+"1"2

, es ladiferencia de faseque proviene de
combinar una diferencia de longitud de trayectoria y una diferencia de fase incial.
Observese que si
~
E01y
~
E02(y por consiguiente
~
E1y
~
E2) son perpendiculares,
I12= 0 yI=I1+I2. Dos estados ortogonalesPtales se combinan para
dar un estadoR;L;PoE, pero la distribucion de densidad de ujo quedara
inalterada.
La situacion que casi siempre ocurre en el trabajo que sigue corresponde a
~
E01paralelo a
~
E02. en ese caso, la irradiancia se reduce al valor encontrado en
el tratamiento escalar. Bajo esas condiciones:
I12=E01E02cos:
Esto se puede escribir en una forma mas conveniente notando que:
I1=

E
2
1

=
E
2
01
2
y
I2=

E
2
2

=
E
2
02
2
El termino de interferencia queda:
I12= 2
p
I1I2cos;
en donde la irradiancia total es:
I=I1+I2+ 2
p
I1I2cos: (5.5)
En varios puntos en el espacio, la irradiancia resultante puede ser mayor, menor
o igual aI1+I2dependiendo del valorI12, es decir, dependiendo de. Un
maximo en la irradiancia se obtiene cuando cos= 1, tal que:
Imax=I1+I2+ 2
p
I1I2:
cuando
= 0;2;4; : : : :
En este caso la diferencia de fase entre las dos ondas es un multiplo entero
de 2, y las perturbaciones estanen fase. Se habla de esto comointerferencia
constructiva total. Cuando 0<cos <1 las ondas estanfuera de fase,I1+
I2< I < Imaxy el resultado se conoce comointerferencia constructiva. En
==2;cos= 0, las perturbaciones opticas estan 90
o
fuera de fase yI=
I1+I2. Para 0>cos >1 se tiene la condicion deinterferencia destructiva,
I1+I2> I > Imin. El mnimo en la irradiancia resulta cuando las ondas estan
180
o
fuera de fase, valles sobre crestas, cos=1, y
Imin=I1+I22
p
I1I2:
76 Juan Manuel Enrique Mu~nido

77. 5.1. CONSIDERACIONES GENERALES
Esto, por supuesto, ocurre cuando=;35; : : :, y recibe el nombre de
interferencia destructiva total.
Otro caso algo especial, aunque no muy importante aparece cuando las am-
plitudes de ambas ondas que llegan aPson iguales, es decir,
~
E01=
~
E02. Ya
que las contribuciones a la irradiancia de ambas fuentes son entonces iguales,
haciendoI1=I2=I0. La ecuacion (5.5) se puede ahora escribir como:
I= 2I0(1 + cos) = 4I0cos
2

2
(5.6)
de lo cual se deduce queImin= 0 yImax= 4I0.
La ecuacion (5.5) es igualmente valida para las ondas esfericas emitidas por
S1yS2. Tales ondas se pueden expresar como:
~
E1(r1; t) =
~
E01(r1)e
i(kr1!t+"1)
y
~
E2(r2; t) =
~
E02(r2)e
i(kr2!t+"2)
Los terminosr1yr2son los radios de los frentes de onda esfericos que se su-
perponen enP, es decir, ellos especican las distancias de las fuentesJ. En este
caso:
=k(r1r2) + ("1"2):
La densidad de ujo en la region que rodea aS1yS2ciertamente variara de
punto a punto al variar (r1r2). No obstante, del principio de conservacion de
la energa, se espera que el promedio espacial deIpermanezca constante e igual
al promedio deI1+I2. El promedio espacial deI12debe ser por lo tanto cero,
una propiedad vericada por la ecuacion (5.4) ya que el promedio del termino
del coseno es, en efecto, cero.
La ecuacion (5.6) sera aplicable cuando la separacion entreS1yS2sea
peque~na en comparacion conr1yr2y cuando, ademas, la region de interferencia
tambien sea peque~na en el mismo sentido. Bajo estas circunstancias
~
E01y
~
E02
pueden considerarse independientes de la posicion, es decir, constantes en la
peque~na region examinada. Si las fuentes emisoras son de igual intensidad
~
E01=
~
E02,I1=I2=I0y se tiene:
I= 4I0cos
2
1
2
[k(r1r2) + ("1"2)]
Los maximos de irradiancia ocurren cuando:
= 2m
siempre quem= 0;1;2; : : :. Similarmente, los terminos para los cualesI= 0,
aparecen cuando:
=(2m+ 1):
Estas expresiones se pueden reescribir de tal forma que la maxima irradiancia
ocurre cuando:
(r1r2) =
2m+ ("2"2)
k
(5.7)
y la mnima cuando
(r1r2) =
(2m+ 1) + ("2"2)
k
Juan Manuel Enrique Mu~nido 77

78. CAP

ITULO 5. INTERFERENCIAS
Cualquiera de estas ecuaciones dene una familia de supercies, cada una de las
cuales es un hiperboloide de revolucion. Los vertices de los hiperboloides estan
separados por distancias iguales a los lados derechos de las ecuaciones (5.7). Los
focos estan localizados enS1yS2. Si las ondas estan en fase al salir del emisor
"1"2= 0, y las ecuaciones (5.7) se simplican a:
(r1r2) =
2m
k
=m
(r1r2) =
(2m+ 1)
k
=

m+
1
2


para irradiancia maxima y mnima, respectivamente. Las zonas claras y oscuras
que se veran en una pantalla colocada en la region de interferencia se conocen
comofranjas de interferencia.
SECCION 5.2
Condiciones para la Interferencia
Si el patron de interferencia que corresponde a las ecuaciones (5.7) es ob-
servable, la diferencia de fase ("1"2) entre las dos fuentes debe permanecer
bastante constante en el tiempo. Tales fuentes son coherentes. Dos haces que
se superponen y que vienen de emisores separados interferiran, pero el patron
resultante no se sostendra el tiempo suciente para ser facilmente observable.
Una fuente tpica contiene un gran numero de atomos excitados, cada uno capaz
de radiar un tren de onda aproximadamente por 10
8
s. Dos fuentes distintas
por consiguiente podran mantener sus fases relativas, en el mejor de los casos,
10
8
s. El patron de interferencia resultante sera constante en espacio solamen-
te durante ese lapso, antes de que vare al cambiar la fase, y de ah en adelante
permanecera estable por otro momento, solamente para cambiar de nuevo y as
sucesivamente. Por consiguiente, sera inutil intentar ver o fotograar el patron
de interferencia resultante de dos lamparas. Se han usado dos laseres separados
para generar patrones de interferencia. La forma mas comun de resolver el pro-
blema, como se vera, es hacer que una fuente se utilice para producir dos fuentes
secundarias coherentes.
Si dos haces deben interferir para producir un patron estable, deben tener
casi la misma frecuencia. Una diferencia de frecuencia signicante resultara en
una diferencia de fase dependiente del tiempo, variando rapidamente el cual a
su vez hara queI12se promediase a cero durante el intervalo de deteccion.
Los patrones mas claros existiran cuando las ondas que interrieron tengan
amplitudes iguales o casi iguales. Las regiones centrales de las franjas oscuras y
claras corresponden entonces a interferencia completamente destructiva o cons-
tructiva, respectivamente, dando maximo contraste.
En la seccion previa se supuso que dos vectores de perturbaciones opticas su-
perpuestos estaban linealmente polarizados y paralelos. No obstante, las formu-
las de la seccion anterior se aplican tambien a situaciones mas complicadas;
realmente el tratamiento es aplicable sin importar el estado de polarizacion de
las ondas. Para apreciar esto, es preciso recordar que cualquier estado de po-
larizacion se puede sintetizar en estadosPortogonales. Para luz natural (no
78 Juan Manuel Enrique Mu~nido

79. 5.3. INTERFER

OMETROS DE DIVISI

ON DE FRENTE DE ONDA
polarizada) estos estadosPson mutuamente incoherentes, pero ello no repre-
senta ninguna dicultad particular.
Supongase que cada onda tiene su vector de propagacion en el mismo plano
de tal forma se pueden marcar los estadosPortogonales constitutivos con res-
pecto a ese plano, es decir,
~
E
ky
~
E?, los cuales son paralelos y perpendiculares al
plano respectivamente. Entonces, cualquier onda plana polarizada o no, se pue-
de escribir en la forma (
~
E
k+
~
E?). Imagnese entonces que la sondas (
~
E
k1+
~
E?1)
y (
~
E
k2+
~
E?2) emitidas desde dos fuentes coherentes identicas se superponen
en la misma region del espacio. La distribucion de densidad de ujo resultante
consistira de dos patrones de interferencia independientes, precisamente super-
puestas,
D
(
~
E
k1+
~
E?1)
2
E
y
D
(
~
E
k2+
~
E?2)
2
E
. Por consiguiente, puesto que se
dedujeron las ecuaciones en la seccion anterior, especcamente para luz lineal,
ellas son aplicables tambien, para cualquier estado de polarizacion incluyendo
luz natural.
Observese que aunque
~
E?1y
~
E?2son siempre paralelas una a otra
~
E
k1
y
~
E
k2, las cuales estan en el plano de referencia, no necesariamente lo son.
Seran paralelas solamente cuando los dos haces son paralelos entre s (es decir,
~
k1=
~
k2). La naturaleza vectorial inherente del proceso de interferencia, como
se maniesta en la representacion del producto escalar (5.4) deI12, no puede
por consiguiente ignorarse. Como se vera, hay muchas situaciones practicas en
las que los dos haces son casi paralelos y para estos la teora escalar funciona
perfectamente.
Fresnel y Arago hicieron un estudio extensivo de las condiciones bajo las cua-
les la interferencia de luz polarizada ocurre y sus conclusiones resumen algunas
de las consideraciones anteriores. Lasleyes de Fresnel-Aragoson las siguientes:
1.Dos estadosPcoherentes ortogonales no pueden interfereir en el sentido
de queI12= 0 y no resulten franjas.
2.Dos estadosPcoherentes y paralelos intereren en la misma forma que la
luz natural.
3.dos estadosPortogonales constitutivos de la luz natural no pueden in-
terferir para formar un patron facilmente observable aunque se giran para
alinearlos. Este ultimo punto es comprensible ya que estos estadosPson
incoherentes.
SECCI

ON 5.3
Interferometros de Division de Frente de Onda
La ecuacion
(r1r2) =m
determinaba las supercies de irradiancia maxima. Ya que la longitud de onda
para la luz es muy peque~na, un gran numero de supercies que corresponden
a los valores mas bajos demexistiran cerca y ambos lados del planom= 0.
Un numero de franjas paralelas y bastante rectas por consiguiente apareceran
en una pantalla colocada perpendicularmente al plano (m= 0) y en la vecindad
de el, y para este caso la aproximacionr1r2sera valida. SiS1yS2son
Juan Manuel Enrique Mu~nido 79

80. CAP

ITULO 5. INTERFERENCIAS
entonces desplazados normalmente a la lnea
S1S2, las franjas solamente seran
desplazadas paralelamente a s mismas. Practicamente, dos rendijas angostas
por consiguiente aumentaran la irradiancia dejando esencialmente inalterada,
por otro lado, la region central del patron de las dos fuentes puntuales.
Considerese una onda plana monocromatica hipotetica iluminando una ren-
dija larga y angosta. De esa rendija primaria emergera una onda cilndrica; y
supongase que esta onda, a su vez, cae en dos rendijasS1yS2muy juntas,
angostas y paralelas. Cuando existe simetra, los segmentos del frente de onda
primario que llegan a las dos rendijas estaran exactamente en fase, y las rendi-
jas constituiran dos fuentes secundarias coherentes. Se espera que donde quiera
que las dos ondas que vienen deS1yS2se superpongan, ocurrira interferen-
cia (siempre que la diferencia de camino optico sea menor que la longitud de
coherencia,ct).
En una situacion fsica realista la distancia entre cada una de las pantallas
sera larga en comparacion con la distanciaaentre las dos rendijas, y todas
las franjas estaran bastante cerca del centroOde la pantalla. La diferencia de
camino entre los rayos a lo largo de
S1PyS2Pse puede obtener, con buena
aproximacion, bajando una perpendicular desdeS2hasta
S1P. Esta diferencia
de camino esta dada por:

S1B

=

S1P



S2P

(5.8)
o

S1B

=r1r2:
Continuando con esta aproximacion la diferencia de camino se puede expresar
como:
r1r2=a (5.9)
ya quesin.
Observese que
=
y
s
(5.10)
y as
r1r2=
a
s
y:
De acuerdo con la seccion (5.11), la interferenciaconstructivaocurrira cuan-
do:
r1r2=m: (5.11)
Entonces, de las ultimas dos relaciones se obtiene:
ym=
s
a
m: (5.12)
80 Juan Manuel Enrique Mu~nido

81. 5.3. INTERFER

OMETROS DE DIVISI

ON DE FRENTE DE ONDA
Esto da la posicion de lam-esima franja brillante sobre la pantalla si se cuenta
el maximo 0 como la franja cero. La posicon angular de la franja se obtiene
sustituyendo la ultima expresion en la ecuacion (5.10)
m=
m
a
(5.13)
Esta relacion se puede obtener directamente mediante metodos geometricos.
Para el ordenm-esimo de interferencia,mlongitudes de onda enteras deben
caber dentro de la distanciar1r2. Por consiguiente, del trianguloS1S2Bse
obtiene:
m=
m
a
:
El espacio entre franjas en la pantalla se puede obtener facilmente de la
ecuacion (5.12). La diferencia en las posiciones de dos maximos consecutivos es:
ym+1ym=
s
a
(m+ 1)
s
a
m
o
y=
s
a
: (5.14)
Ya que este patron es equivalente al obtenido para dos ondas esfericas su-
perpuestas (al menos en la regionr1r2), se puede aplicar la ecuacion (5.6).
Usando la diferencia de fase
=k(r1r2):
La ecuacion (5.6) se puede reescribir como:
I= 4I0cos
2
k(r1r2)
2
siempre que, por supuesto, los dos haces sean coherentes y tengan irradian-
cias iguales aI0. Con
r1r2=y
a
s
la irradiancia resultante queda:
I= 4I0cos
2
ya
s
:
Los maximos consecutivos estan separados por la ydada en la ecuacion (5.14).
Una observacion visual directa del patron de las franjas se puede hacer per-
forando dos peque~nos agujeros en una tarjeta delgada. Los agujeros deben ser
aproximadamente del tama~no del tipo de imprenta usado para el punto en esta
pagina y con sus centros separados alrededor de 3 radios. Una lampara en la
calle, las luces de un automovil o un semaforo en la noche, localizados a pocos
metros de distancia servira como fuente de ondas planas. Esta tarjeta debe ser
colocada directamente frente ymuy cerca del ojo. El patron es mucho mas facil
de observar usando rendijas, pero vale la pena ensayar los agujeritos.
Las microondas, debido a su gran longitud de onda, tmabien ofrecen una
forma facil de observar la interferencia de doble rendija. Dos rendijas (por ejem-
plo,=2 de ancho porde largo, separados por 2) cortadas en un pedazo de
lamina u hoja metalica serviran muy bien como fuente de onda secundaria.
Juan Manuel Enrique Mu~nido 81

82. CAP

ITULO 5. INTERFERENCIAS
La conguracion interferometrica discutida antes, con fuentes puntuales o de
rendija, se conoce comoexperimento de Young. El principio fsico y las conside-
raciones matematicas se aplican directamente a otros interferometros de division
de frente de onda. Entre los mas comunes de ellos estan el espejo doble de Fres-
nel, el prisma doble de Fresnel y el espejo de Lloyd.
El espejo doble de Fresnel consiste en dos espejos planos metalizados al frente
e inclinados uno respecto al otro con un angulo muy peque~no. Una porcion del
frente de onda cilndrico proveniente de la rendijaSse reeja en el primer espejo,
mientras que otra porcion del frente de onda se reeja en el segundo espejo. Un
campo de interferencia existe en el espacio en la region deonde las dos ondas
reejadas se superponen una sobre la otra. Las imagenes (S1yS2) de la rendijaS
en los dos se pueden considerar como fuentes coherentes separadas, colocadas con
una separaciona. De la ley de la reexion se deduce que
SA=S1A,SB=S2B,
de tal forma que
SA+AP=r1ySB+BP=r2. La diferencia de camino optico
entre los dos rayos es simplementer1r2. Los maximos ocurren enr1r2=m
como era el caso para el interferometro de Young. De nuevo, la separacion de
las franjas esta dada por:
y=
s
a

dondeses la distancia entre el plano de las dos fuentes virtuales (S1; S2) y la
pantalla. Notese que el anguloentre los espejos debe ser muy peque~no si los
vectores de campo electrico para cada uno de los dos haces son paralelos o casi
paralelos. Representese por
~
E1y
~
E2las ondas de luz emitidas por las fuentes
coherentes virtualesS1yS2. En cualquier instante de tiempo en el puntoPen el
espacio, cada uno de estos vectores se puede resolver en componentes, paralelas
y perpendiculares al plano de la pagina. Con
~
k1y
~
k2paralelas aAPyBP
respectivamente, debe ser evidente que las componentes
~
E1y
~
E2en el plano de
la pagina se acercan al paralelismo solamente parapeque~na.
El prisma doble de Fresnel o biprisma consiste en dos prismas unidos en las
bases. Un frente de onda cilndrico simple llega a ambos prismas. La porcion
superior del frente de onda se refracta hacia abajo, mientras que el segmento
inferior se refracta hacia arriba. En la region de superposicion ocurre la interfe-
rencia. Aqu de nuevo, existen dos fuentes virtuales,S1yS2, separadas por una
distanciaAla cual puede ser expresada en terminos del angulodel prisma
dondesa. La expresion para la separacion de las franjas es la misma que
antes.
El ultimo interferometro de division de frente de onda que se considerara es
el espejo de Lloyd. Consiste en una pieza plana de dielectrico o metal que sirve
como espejo, del cual se reeja una porcion del frente de onda cilndrico que
sale de la rendijaS. Otra porcion del frente de onda procede directamente de
la rendija a la pantalla. Para la separaciona, entre las dos ondas coherentes, se
toma la distancia entre la rendija real y su imagenS1en el espejo. El espacio
entre las franjas esta de nuevo dado por
s
a
. La caracterstica que distingue a
este dispositivo es que a incidencia rasante (i=2) el haz reejado sufre un
cambio de fase de 180
o
(hay que recordar que el coeciente de reexion para las
amplitudes es entonces igual a -1). Con un cambio de fase adicional de.
=k(r1r2)
82 Juan Manuel Enrique Mu~nido

83. 5.4. PEL

ICULAS DIEL

ECTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES
y la irradiancia queda:
I= 4I0sin
2

ay
s

:
El patron de franjas para el espejo de Lloyd es complementario del de inter-
ferometro de Young; el maximo de de un patron existe para valores deyque
corresponden a los mnimos en el otro patron. La orilla superior del espejo es
equivalente ay= 0 y sera el centro de una franja oscura en lugar del de una
franja brillante como en el sistema de Young. La mitad inferior del patron sera
obsturida por la presencia del espejo mismo. Considerese, entonces, que pasara
si una hoja delgada de material transparente se colocara en la trayectoria de
los rayos que viajan directamente a la pantalla. La hoja transparente tendra el
efecto de aumentar el numero de longitudes de onda en cada rayo directo. El
patron entero se movera hacia arriba hasta donde los rayos reejados viajaran
un poco mas antes de interferir. Debido a la simplicidad obvia inherente de este
sistema se ha encontrado util en una region muy ancha del espectro electromag-
netico. Las supercies reectoras reales han variado de cristal por rayos X, de
vidrio comun para luz, de pantallas de alambre para microondas, a un lago o
incluso la ionosfera de la tierra para ondas de radio.
Todos los interferometros anteriores se pueden demostrar muy facilmente.
La fuente de luz debe ser fuerte; si no se dispone de un laser, una lampara de
descarga o un arco de carbon seguida por una celda de agua, para enfriar las
cosas un poco, trabajara satisfactoriamente. La luz no es monocromatica, pero
las franjas, que seran coloreadas, aun se pueden observar. Una aproximacion
satisfactoria a la luz monocromatica se puede obtener con un ltro colocado
frente al arco. Un laser He-Ne de baja potencia es quiza la fuente mas facil para
trabajar y con ella no se necesitara una celda de agua o ltro.
SECCI

ON 5.4
Pelculas Dielectricas. Interferencia de dos Haces
Los efectos de la interferencia se observan en materiales transparentes, el
espesor de los cuales vara en un amplio rango. El rango de valores va desde
pelculas con espesores menores que la longitud de onda de la luz (por ejemplo,
para luz verde0es aproximadamente igual a 1/150 el espesor de esta hoja de
papel) hasta placas con varios centrmetros de espesor. Se dice que una capa de
algun material es unapelcula delgadapara cierta longitud de onda de radia-
cion electromagnetica cuando su espesor es del orden de la longitud de onda.
A cominezos de la decada de los cuarenta, el fenomeno asociado con pelculas
delgadas dielectricas, aunque era bien conocido, haba tenido aplicaciones limi-
tadas. El despliegue espectacular de colores que aparece en las capas de aceite y
en las pompas de jabon, aunque estetica y teoricamente son agradables, fueron
practicamente solo bellas curiosidades.
El advenimiento de tecnicas adecuadas de deposicion al vaco en la decada
de 1930 trajo consigo la capacidad de producir recubrimientos precisamente
controlados a escala comercial y con eso, a su vez un renacimiento del interes.
Durante la Segunda Gerra Mundial, ambos lados encontraban al enemigo con
una variedad de dispositivos opticos recubiertos y alrededor de 1960 se usaban
profusamente recubrimientos de multicapas.
Juan Manuel Enrique Mu~nido 83

84. CAP

ITULO 5. INTERFERENCIAS
.
........................................................................
5.4.1
Franjas de
Igual
Inclinacion
Inicialmente, se considerara el caso sencillo de una placa transparente y
paralela de material dielectrico con un espesord. Supongase que la pelcula
es no absorbente y que los coecientes de reexion de amplitud en las caras
son tan bajos, que unicamente se necesitan considerarse los dos primeros haces
reejadosE1ryE2r(ambos han sufrido solo una reexion). En la practica los
haces reejados varias veces (E3r, etc.) por lo general decrecen muy rapidamente,
como puede ser demostrado para las interfases entre aire-agua y aire-vidrio. Por
el momento, se considerara aScomo una fuente puntual monocromatica. La
pelcula sirve como un dispositivo de division de amplitud, tal queE1ryE2r
pueden ser considerados como provenientes de dos fuentes coherentes virtuales
colocadas atras de la pelcula. Los rayos reejados son paralelos cuando dejan la
pelcula y se pueden unir en un puntoPsobre el plano focal de un objetivo de
telescopio o sobre la retina del ojo cuando esta enfocado al innito. La diferencia
de camino optico para los dos primeros rayos reejados esta dada por:
=nf

AB

+

BC

n1

AD

y puesto que

AB

=

BC

=d=cost,
=
2nfd
cost
n1

AD

:
Ahora, para encontrar una expresion para

AD

, se escribe:

AD

=

AC

sini;
si se hace uso de la ley de Snell, esto se transforma en:

AD

=

AC
nf
n1
sini;
donde

AC

= 2dtant: (5.15)
La expresion para ahora es:
=
2nfd
cost
(1sin
2
t)
o nalmente
= 2nfdcost: (5.16)
La diferencia de fase correspondiente y asociada con la diferencia de camino
optico es entonces justamente el producto del numero de propagacion del vaco
y , es decir,k0. Si la pelcula esta sumergida en un solo medio, el ndice de
refraccion se puede escribir simplemente comon1=n2=n. Hay que darse
cuenta, por supuesto, quenpuede ser menor quenf, como en el caso de la
pompa de jabon en aire; o mayor quenf, como con una capa de aire entre
dos placas delgadas de vidrio. En cualquier caso habra un corrimiento adicional
en la fase como resultado de las reexiones mismas. Hay que recordar que,
independientemente de la polarizacion de la luz incidente, los dos haces, uno
reejado interna y el otro externamente, sufriran uncambio relativo de fasede
radianes. De acuerdo a ello:
=k0
84 Juan Manuel Enrique Mu~nido

85. 5.4. PEL

ICULAS DIEL

ECTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES
y mas explicitamente
=
4nf
0
dcost (5.17)
o
=
4nf
0
q
n
2
f
n
2
sini (5.18)
El signo de corrimiento de fase no es relevante, de tal modo que se escogera el
signo negativo para hacer las ecuaciones un poco mas simples. En luz reejada
un maximo de interferencia, un punto brillante, aparecera enPcuando= 2m,
o sea, un multiplo par de. En ese caso la ecuacion (5.17) puede ser arreglada
para obtener
dcost= (2m+ 1)
f
4
m= 0;1;2; : : : ;maximos (5.19)
donde se ha usado el hecho de quef=0=nf. Esto tambien corresponde a
mnimos en la luz transmitida. Los mnimos de interferencia en luz reejada
(maximos en transmitida) resultan cuando= (2m1), es decir, multiplos
impares de. Para tales casos la ecuacion (5.17) da:
dcost= 2m
f
4
: (5.20)
El hecho de que aparezcan multiplos pares e impares def=4 en las ecuaciones
(5.19) y (5.20) es bastante signicativo, como se vera posteriormente. Se puede,
por supuesto, tener una situacion donden1> nf> n2o donden1< nf< n2
como en el caso de una pelcula de uorita depositada sobre un elemento optico
sumergido en aire. El corrimiento de fase enno se presentara y las ecuaciones
anteriores tendran que ser modicadas apropiadamente.
Si la lente empleada para enfocar los rayos tiene una abertura peque~na, las
franjas de interferencia apareceran sobre una porcion peque~na de la pelcula.
Solamente los rayos que salen de la fuente puntual, los cuales son reejados
directamente hacia la lente, podran ser observados. Para una fuente extensa, la
luz llegara a la lente desde varias direcciones y el patron de franjas se extendera
para cubrir una area mayor de la pelcula.
El anguloio equivalentementet, determinado por la posicion deP, a su
vez controlara. Las franjas que aparezcan en los puntosP1yP2son, corres-
pondientemente, conocidas comofranjas de igual inclinacion. Hay que recordar
que cada fuente puntual sobre la fuente extendida es incoherente con respecto
a las otras.
Observese que conforme la pelcula se hace mas gruesa, la separacion

AC

entreE1ryE2rtambien aumenta ya que:

AC

= 2dtant:
Cuando solo uno de los rayos puede entrar a la pupila del ojo, el patron de
interferencia desaparecera. La lente mas grande de un telescopio puede ser usada
entonces para atrapar ambos rayos, haciendo una vez mas posible la observacion
Juan Manuel Enrique Mu~nido 85

86. CAP

ITULO 5. INTERFERENCIAS
del patron. La separacion tambien puede disminuirse reduciendoty por lo tanto
i, o sea, observando la pelcula casi a incidencia normal. Las franjas de igual
inclinacion observadas en esta forma para placas gruesas se conocen comofranjas
de Haidinger. Con una fuente extendida ellas consisten de una serie de bandas
circulares concentricas centradas sobre la perpendicular del ojo a la pelcula.
Conforme el observador se mueve, el patron tambien lo hace.
.
........................................................................
5.4.2
Franjas de
Igual
Espesor
Existe toda una clase de franjas de interferencia para las cuales el espesor
optico,nfd, es el parametro dominante mas quei. Estas se llamanfranjas
de igual espesor. Bajo iluminacion con luz blanca la iridiscencia de pompas de
jabon, capas de aceite (con unas cuantas longitudes de onda gruesa), e inclu-
so supercies de metal oxidado, todas ellas son resultados de variaciones en el
espesor de la pelcula. Las bandas de interferencia de este tipo son analogas al
contorno de lneas de altura constante de un mapa topograco. Cada franja es
el lugar geometrico de todos los puntos en la pelcula para el cual el espesor
optico es constante. En general,nfno vara, de tal modo que las franjas en
realidad corresponden a regiones de igual espesor en la pelcula. Como tal, ellas
pueden ser bastante utiles para determinar aspectos diferentes de la supercie
de elementos opticos: lentes, prismas, etc. Por ejemplo, una supercie que va a
ser examinada se puede poner en contacto con unplano optico.
1
El aire entre
el espacio de las dos supercies genera un patron de interferencia de pelculas
delgadas. Si la supercie bajo prueba es plana, una serie de bandas rectas e
igualmente espaciadas indicara una pelcula de aire en forma de cu~na, resultan-
do proveniente, generalmente, del polvo entre los planos. Dos piezas de placas
de vidrio separadas en un extremo por una tira de papel formaran una cu~na
satisfactoria con la cual se observaran estas bandas.
Cuando se ve casi a incidencia normal, los contornos provenientes de una
pelcula no uniforme se llamanfranjas de Fizeau. Para una cu~na delgada de
angulo peque~no, la diferencia de camino optico entre los dos rayos reejados
puede ser aproximada por la ecuacion (5.16), dondedes el espesor para un
punto particular, es decir:
d=x
Para angulos peque~nos deila condicion para interferencia maxima es:

m+
1
2

0= 2nfdm
o

m+
1
2

0= 2xmnf:
Puesto quenf=0=f,xmpuede escribirse como:
xm=

m+
1
2
2

f:
1
Una supercie se dice que esta opticamente plana cuando se desva no mas de=4 res-
pecto a un plano perfecto. En el pasado, los mejores planos fueron hechos de cuarzo fundido
transparente. Ahora hay disponibles materiales de vidrio-ceramica (por ejemplo, CER-VIT)
que tiene coecientes de expansion termica muy peque~nos (alrededor de un sexto de los de
cuarzo). Se pueden hacer planos individuales de=200 o un poco mejores.
86 Juan Manuel Enrique Mu~nido

87. 5.4. PEL

ICULAS DIEL

ECTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES
Los maximos ocurren a distancias del vertice dadas porf=4, 3f=4, etc., y
las franjas consecutivas estan separadas por una distancia x, dada por:
x=
f
2
Observese que la diferencia de espesor de la pelcula entre maximos adyacentes
es simplementef=2. Puesto que el haz reejado en la supercie inferior cruza
la pelcula dos veces (it0), los maximos adyacentes dieren en longitud
de camino optico porf. Tambien se observa que el espesor de la pelcula para
varios maximos esta dado por:
dm= (m+
1
2
)
f
2
el cual es un multiplo impar de un cuarto de longitud de onda. Cruzando la
pelcula dos veces se obtiene un cambio de fase deel cual, cuando se suma al
corrimiento deresultante de la reexion, pone a los dos rayos en fase. Cuando
una pelcula de jabon se ilumina con luz blanca las bandas son de varios colores.
La region negra en la parte superior es una porcion donde el espesor de la
pelcula es menor quef=4. Dos veces esto, mas corrimiento adicional def=2
debido a la reexion, es menor que una longitud de onda completa. Los rayos
reejados, por lo tanto, estan fuera de fase. Como el espesor decrece aun mas,
la diferencia de fase total se aproxima a. La irradiancia para el observador
alcanza un mnimo (5.5) y la pelcula aparece negra en luz reejada.
2
Si se presionan juntos dos portaobjetos de microscopio bien limpios. La pel-
cula de aire encerrada entre ambos generalmente no sera uniforme. con la ilumi-
nacion ordinaria de una habitacion, una serie de bandas irregulares y coloreadas
(franjas de igual espesor) seran claramente visibles sobre la supercie. Los por-
taobjetos (laminas delgadas de vidrio) se distorsionaran si se someten a presion
y por lo tanto las franjas se moveran y cambiaran. Es mas, si las dos piezas de
vidrio son presionadas juntas en un punto, por ejemplo, empleando la punta de
un lapiz, se formara alrededor de ese punto una serie de franjas concentricas,
casi circulares. Conocido como anillos de Newton.
3
Colocando una lente sobre
un plano optico e iluminando a incidencia normal con luz cuasimonocromatica,
la cantidad de uniformidad en el patron de crculos concentricos es una medida
del grado de perfeccion en la forma de la lente. SiendoRel radio de curvatura
de una lente convexa, la relacion entre la distanciaxy el espesordde la pelcula
esta dada por:
x
2
=R
2
(Rd)
2
;
o mas simplemente por:
x
2
= 2Rdd
2
2
El corrimiento relativode fase entre las reexiones interna y externa es indispensable
si la densidad de ujo reejada tiende a cero suavemente, conforme la pelcula se hace mas
delgada y nalmente desaparece.
3
Robert Hooke (1635-1703) e Isaac Newton, ambos en forma independiente, estudiaron
una gama de fenomenos en pelculas delgadas como pompas de jabon hasta pelculas de aire
entre lentes. Citando el libroOpticksde Newton:
Tome dos objetos de vidrio, el uno una lente plano-convexa para un telescopio de catorce
pies, y el otro una lente doble-convexa para uno de quince pies; despues de esto, la otra con su
lado plano hacia abajo, las presione lentamente hasta hacer aparecer colores en forma sucesiva
que salan de en medio de los crculos.
Juan Manuel Enrique Mu~nido 87

88. CAP

ITULO 5. INTERFERENCIAS
Puesto queRdesto se convierte en:
x
2
= 2Rd:
Nuevamente se aproximara suponiendo que se necesita unicamente examinar los
primeros dos haces reejadosE1ryE2r. Elm-esimo orden de interferencia para
un maximo ocurrira en la pelcula delgada cuando su grueso este de acuerdo con
la relacion:
2nfdm=

m+
1
2

0:
El radio delmesimo anillo brillante se encuentra por lo tanto combinando las
dos ultimas expresiones para obtener:
xm=
s

m+
12

fR: (5.21)
Igualmente, el radio delm-esimo anillo negro es:
xm=
p
mfR: (5.22)
Si las dos piezas de vidrio estan en buen contacto (sin polvo), la franja central
en ese punto (x0= 0) claramente sera el mnimo de orden cero, un resultado
comprensible puesto quedse hace cero en ese punto. En luz transmitida, el
patron observador sera el complementario del de luz reejada discutido antes,
de tal modo que el centro aparecera ahora brillante.
Los anillos de Newton, que son franjas de Fizeau, pueden distinguirse del
patron circular de franjas de Haidinger por la manera como los diametros de los
anillos varan con el ordenm. La region central en el patron de Haidinger co-
rresponde al valor maximo demmientras que justamente lo opuesto se aplicara
a los anillos de Newton.
Un taller de optica en el negocio de produccion de lentes tendra un conjunto
de precisas placas esfericas de referencia o medidores. Un dise~nador puede en-
tonces especicar la precision de la supercie de una lente nueva en terminos del
numero y regularidad de los anillos de Newton, los cuales seran observados con
un instrumento de prueba particular. Se debe mencionar que el uso de placas de
prueba en la manufactura de lentes de alta calidad da lugar a tecnicas mucho
mas complicadas incluyendo interferometros de laser.
88 Juan Manuel Enrique Mu~nido

89. CAP

ITULO 6Difraccion
Indice General
6.1. Difraccion de Fraunhofer por una Rendija . . . . .
9089

90. CAP

ITULO 6. DIFRACCI

ON
SECCI

ON 6.1
Difraccion de Fraunhofer por una Rendija
Considerese que se ilumina una pantalla con un foco puntual y coherenteS,
de longitud de onday se interpone entre dicho foco y la pantalla un diafragma
formado por una rendija de anchuraa, de manera que la distanciaLentre el
diafragma con la rendija y la pantalla sea mucho mayor que la anchura de la
rendijaa.
Hechas estas consideraciones y teniendo en cuenta que la luz presenta dos
comportamientos muy distintos la pregunta es >se observara en la pantalla lo
mismo si es uno u otro el modo de interaccion de la luz? Pues bien, dependiendo
de la naturaleza que supongamos para la luz dos son los posibles resultados de
este experimento, que se describiran a continuacion.
Atendiendo exclusivamente a la naturaleza corpuscular de la luz esto es lo
que se debera ocurrir: Los fotones se propagan en todas direcciones desde el
foco puntualS, extendiendose por todo el espacio; algunos de ellos viajaran en
direccion a la pantalla, pero al estar interpuesto el diafragma entre el foco y la
pantalla parte de estos ultimos se pegaran contra la placa del diafragma y ah
nalizara su viaje, de manera que sobre la pantalla se proyectara la sombra del
diafragma; sin embargo, otros (los que salen del foco S formando un peque~no
angulo) conseguiran pasar a traves de la rendija y llegaran a la pantalla ilumi-
nandola. Segun esta descripcion el resultado nal que cabe esperar es que se
observe una zona iluminada semejante a la abertura, con contornos ntidos y
bien delimitados entre la luz y la sombra.
Sin embargo si se atiende a la naturaleza ondulatoria de la luz, el estudio
del fenomeno es mas complicado, pues debera ocurrir lo siguiente: Un frente de
ondas esferico se propaga desde el foco puntual a traves del espacio, si ademas
el foco puntual esta alejado del diafragma y la rendija de este es relativamente
peque~na, se puede considerar que el frente de ondas incidente sobre la rendija
es plano. De acuerdo con el principio de Huygens, cada punto sobre el frente
de ondas realiza el mismo papel que un foco puntual, emitiendo a su vez, fren-
tes de onda esfericos. Estos nuevos frentes de ondas producidos en la rendija
estan destinados a interaccionar unos con otros. Se produciran fenomenos de
interferencia en los cuales unos frentes de ondas al interferir con otros se re-
forzaran (interferencia constructiva) mientras que en otros casos se debilitaran
(interferencia destructiva).
La interferencia constructiva maxima entre dos frentes se producira cuando
ambos frentes esten en fase, o lo que es lo mismo, cuando en las ondas de cada
frente coinciden espacialmente crestas y nodos; en este caso las amplitudes de
las ondas se sumaran y la amplitud resultante sera maxima. La condicion de
interferencia constructiva entre dos frentes de ondas es que el angulo de desfase
entre ambos sea 0 o 2m, siendomun numero entero. Toda interferencia que
se produzca entre dos frentes de ondas diferente de la descrita dara lugar a on-
das con amplitud menor que la maxima, pudiendo incluso darse extinciones en
el caso particular de que los frentes que intereran esten desfasados en media
longitud de onda, (cuando las crestas de las ondas de un frente coinciden espa-
cialmente con los valles de las ondas de otro frente) en este caso la suma de las
ondas de dichos frentes dan lugar a amplitudes de radiacion mnimas, que se
conoce como interferencia destructiva. La condicion de interferencia destructiva
90 Juan Manuel Enrique Mu~nido

91. 6.1. DIFRACCI

ON DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA
entre dos frentes de ondas es que el angulo de desfase entre ambos seaom,
siendomun numero entero.
Para analizar la distribucion de la intensidad luminosa en la pantalla tras
las interferencias de los frentes de onda procedentes de la rendija, considerese
un punto generico de la pantallaPsituado en ella, de manera que el tren de
ondas procedente de uno de los focos se propaga hastaPformando un angulo
con respecto a la normal a la rendija. Puesto que la rendija es peque~na y la
pantalla se encuentra muy alejada del diafragma, se puede considerar que los
rayos (o mejor dicho, las lneas directrices a lo largo de las cuales se propagan
las ondas luminosas) que llegan al puntoPde la pantalla salen paralelos entre
s de los focos puntuales situados en la rendija. Considerese tambien que la
rendija de anchuraase divide enNsubintervalos iguales tales que en el medio
de cada subintervalo haya un foco puntual emisor de ondas luminosas. Si se
denota porda la distancia entre dos focos puntuales adyacentes y puesto que
la anchura de la rendija esa, resulta que la distancia de separaciondentre dos
focos adyacentes esd=a=N. Esta distancia de separacion entre los focos hace
que exista una diferencia de trayectos entre las ondas que de ellos salen hacia
el puntoP, siendo, a su vez, esta diferencia de trayectos la causa de que entre
estas ondas haya una diferencia de fase dada por:
=
2

dsin (6.1)
Se puede calcular la amplitud de la radiacion en el puntoP, para el cual las
ondas procedentes de dos fuentes adyacentes dieran en una fase igual a.
La siguiente gura muestra el diagrama de fasores para la suma deNondas
procedentes de losNfocos puntuales que dieren de fase de la primera onda en
;2; : : : ;(N1). CuandoNes muy grande ymuy peque~na, el diagrama de
fasores es aproximadamente un arco de circunferencia, pero en cualquier caso
se puede escribir= (N1), siendola diferencia de fase existente entre
la onda del primer foco y la onda del ultimo foco. La amplitud de la radiacion
resultante en el punto genericoPesE, que resulta ser la longitud de la cuerda
de este arco, y se calcula en funcion de la diferencia de fases entre la onda del
primer foco y la onda del ultimo foco.
Del anterior diagrama de fasores se tiene:
E= 2rsin
1
2
(6.2)
Donderes el radio del arco, que puede calcularse en funcion de la longitud del
arco y el angulo de desfaseentre la primera y ultima ondas.
r=
NE0

(6.3)
DondeE0es la amplitud de la radiacion de cada foco independiente de los
demas. Sustituyendo esta expresion en la precedente se obtiene:
E= 2
NE0

sin
1
2
)E=
NE0
12

sin
1
2
(6.4)
Juan Manuel Enrique Mu~nido 91

92. CAP

ITULO 6. DIFRACCI

ON
La amplitud maxima de la radiacion (y por tanto su intensidad) se dara en aquel
punto en el que todas las ondas intereran constructivamente, de manera que
se satisfaga que el desfase de todas las ondas es 0, situacion que se da cuando
= 0 y en este caso la amplitud maxima esNE0, y puesto que la intensidad
de la radiacion en cualquier punto de la pantalla es proporcional al cuadrado
de la amplitud de la radiacion incidente en dicho punto, se obtiene la siguiente
expresion para la intensidad de la radiacion en el punto genericoP:
(
Imax/(NE0)
2
I /E
2

)
I
Imax
=
E
2

(NE0)
2
)I=Imax
E
2

(NE0)
2
)
)I=Imax
1
(NE0)
2

NE0
12

sin
1
2


2
es decir:
I=Imax

sin
1
2

12

2
(6.5)
El segundo factor del segundo miembro no hace mas que modular la intensidad
maximaImax, ya que toma valores entre 0 y 1 dependiendo del desfaseentre
la primera y ultima onda. El desfasedepende del desfase existente entre dos
ondas de dos focos adyacentes, que a su vez, depende del anguloformado
por la lnea de propagacion de las ondas hasta un puntoPen la pantalla y la
normal a la rendija. Esta dependencia de la intensidad con el anguloda lugar a
maximos y mnimos de difraccion sobre la pantalla. A continuacion se hara una
discusion acerca de las distintas situaciones que se pueden dar segun la anterior
expresion:
1.Intensidad mnima. El valor mnimo posible de la intensidad en un punto
Pde la pantalla esI= 0. La situacion de intensidad mnima se produce
cuando el segundo factor de la expresion general de la intensidad vale
0, que se produce cuando= 2m, como bien puede comprobarse tras
sustituir dicho valor. Como el desfase entre dos ondas adyacentes y el
desfase entre las ondas del primer y ultimo foco esta relacionadas por
= (N1), se llega a la conclusion de que= 2mse cumple cuando
= 2m=(N1)2m=N(cuandoNes grande). Esto signica que
todos los fasores se hallan formando un polgono regular cerrado. Por otro
lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes esta relacionado con el
angulopor= 2=dsin, ocurre que la situacion= 2m=Nse da
cuandoasin=m:
=
2

dsin)
2m
N
=
2

dsin)m=Ndsin
Puesto qued=a=Nse obtiene nalmente:
asin=m m = 1;2;3; : : : (6.6)
Todo puntoPde la pantalla situado de manera que forme un angulo
con respecto a la normal a la rendija, y verique la expresion anterior se
halla en oscuridad, es decir:
I= 0 (6.7)
92 Juan Manuel Enrique Mu~nido

93. 6.1. DIFRACCI

ON DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA
2.Maximos relativos de intensidad. En los puntosPde la pantalla en los que
no se cumpla la anterior condicion es evidente que no habra oscuridad. En
dichos puntos incidira siempre algo de radiacion, aunque sea muy poca, y
el valor de su intensidad oscilara entre 0< IImax. Esta situacion se
produce cuando el segundo factor de la expresion general de la intensidad
vale entre 0 y 1, que se produce cuando6= 2m. De todos los valores
posibles que puede tomar, existen algunos para los que la intensidad en
la pantalla presenta maximos relativos. Estos maximos relativos aparecen
cuando= 2(m+
1
2
). Como el desfase entre dos ondas adyacentes y
el desfase entre las ondas del primer y ultimo foco esta relacionadas por
= (N1), se llega a la conclusion de que= 2(m+
1
2
) se cumple
cuando= 2(m+
1
2
)=(N1)2(m+
1
2
)=N(cuandoNes grande). Esto
signica que todos los fasores se hallan completando m circunferencias y
media, aproximadamente. Por otro lado, como el desfase entre dos ondas
adyacentes esta relacionado con el angulopor= 2=dsin, ocurre
que la situacion= 2(m+
1
2
)=Nse da cuandoasin= (m+
1
2
):
=
2

dsin)
2

m+
1
2

N
=
2

dsin)

m+
1
2

=Ndsin
Puesto qued=a=Nse obtiene nalmente:
asin=

m+
1
2

m = 1;2;3; : : : (6.8)
Todo puntoPde la pantalla situado de manera que forme un angulo
con respecto a la normal a la rendija, y verique la expresion anterior se
halla iluminado con la siguiente intensidad:
I=Imax
"
1

m+
12


#
2
m= 1;2;3; : : : (6.9)
Estos maximos relativos reciben el nombre de maximos secundarios de di-
fraccion, lo hace suponer que debe existir un maximo principal. Pues bien,
es a este maximo principal al que corresponde la situacion de iluminacion
con intensidad maxima en la pantalla.
3.Intensidad maxima. El valor maximo posible de la intensidad en un punto
Pde la pantalla esI=Imax. La situacion de intensidad maxima se
produce cuando el segundo factor de la expresion general de la intensidad
vale 1, que se produce cuando= 0, como bien puede comprobarse tras
sustituir dicho valor y eliminar previamente la indeterminacion tipo
0
0
mediante la regla de L`H^opital. Como el desfase entre dos ondas adyacentes
y el desfase entre las ondas del primer y ultimo foco esta relacionadas por
= (N1), se llega a la conclusion de que= 0 se cumple cuando
= 0. Esto signica que todos los fasores estan en lnea, o lo que es lo
mismo, que las ondas procedentes de todos los focos estan en fase. Por otro
lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes esta relacionado con el
angulopor= 2=dsin, ocurre que la situacion= 0 se da cuando:
=
2

dsin)0 =
2

dsin
Juan Manuel Enrique Mu~nido 93

94. CAP

ITULO 6. DIFRACCI

ON
Que ocurre cuando:
= 0
o
(6.10)
Y como se deca, la intensidad en este caso es:
I=Imax (6.11)
Todo puntoPde la pantalla situado de manera que forme un angulo
igual a 0 con respecto a la normal a la rendija, se halla iluminado por
radiacion de intensidad maxima igual aImax(y amplitud maximaNE0).
La distancia existente yentre el maximo principal y el primer mnimo de
difraccion esta relacionada con el anguloy la distanciaLque separa la rendija
de la pantalla por:
tan=
y
L
Puesto que la pantalla esta bastante alejada del diafragma, el anguloes muy
peque~no y puede hacerse la aproximacion tansin, de manera que la anterior
expresion se convierte en:
sin=
y
L
Sustituyendo el valor de sinde la anterior ecuacion en la expresion que carac-
teriza los mnimos de difraccion, se obtiene nalmente:
y=
L
a
(6.12)
Finalmente, la descripcion del fenomeno que se observara es la siguiente: la
mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un maximo central de
difraccion ancho, aunque, existen bandas de maximos secundarios mas peque~nos
a cada lado del maximo central. Para una longitud de onda determinada, la
anchura del maximo central vara en razon inversa con la anchura de la rendija.
Es decir, si se aumenta la anchura de la rendijaa, disminuye el anguloen que la
intensidad es por primera vez nula, originandose un maximo de difraccion central
mas estrecho. Inversamente, si disminuye la anchura de la rendija, aumenta
el angulo correspondiente al primer mnimo, dando as un maximo central de
difraccion mas ancho. Cuando la rendija es muy peque~na, no existen puntos
de intensidad nula en el diagrama, pues en este caso la rendija actua como
una fuente lineal, radiando energa luminosa esencialmente por igual en todas
direcciones. Si, por el contrario, la rendija es muy ancha (mucho mayor que la
longitud de onda de la radiacion), simplemente no se observaran los fenomenos
de interferencia y difraccion.
Como puede verse, el tama~no de los objetos que interaccionan con la luz
inuye en el comportamiento de esta, mostrandose fundamentalmente como
corpusculos (fotones) con objetos macroscopicos, y como ondas con objetos que
tienen un tama~no similar a la longitud de onda de la luz.
94 Juan Manuel Enrique Mu~nido

95. Bibliografa
[Justiniano Casas]

Optica. Ed. Librera Pons, 1994.
[Coulson, C.A.]
Ondas. Exposicion Matematica de los tipos mas comunes
de movimiento ondulatorio. Ed. Dossat.
[Ghatak A.K.]
Optics. Ed. McGraw-Hill, 1997.
[Hecht E., Zajact A.]

Optica. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, 1986.
[Rossi B.]
Fundamentos de

Optica. Ed. Reverte, 1973.
[Sears F.]

Optica. Ed. Aguilar, 1980.
[Young M.]
Optics and Lasers. Ed. Springer Verlag, 1977.
[Dichtburn]

Optica. Ed. Reverte.
[French]
Vibraciones y Ondas. Ed. Reverte.95