Puntos ordinarios y singularidades de una EDO lineal

Presentación: https://youtu.be/ggbwrmE6I0E
Solución de una EDO lineal homogénea alrededor de una singularidad regural.
Método de Frobenius

1. Lección 40 Puntos Ordinarios Y Singulares De Una Ecuación Diferencial Ordinaria. (Método de Frobenius). Integrantes: Pedro Abrahan Torres Torres María Fernanda López López Claudia Andrea Galarza Calle

2. Lección 40 A. Puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial lineal. Los métodos de series de potencias son adecuados para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes no constantes. Sin embargo, no pueden aplicarse indiscriminadamente. Por ejemplo, si tratamos de encontrar una solución en serie de potencias de En la forma por el método de diferenciaciones sucesivas, tendríamos problemas. Por la ecuación (37.26), y cuando , donde vemos de (40.1) que , por lo tanto, no existen. Si tratáramos de usar el método de coeficientes indeterminados, encontraríamos . El problema surge porque el coeficiente de y' no es analítico en , no tiene una expansión en serie de Maclaurin en potencias de . De ahí la hipótesis de las Definiciones 40.2 y 40.22 que siguen.  

3. DEFINICIÓN 40.2. Un punto se llama punto ordinario de la ecuación diferencial lineal . si cada función , y es analítica en Por el teorema 37.52. Si es un punto ordinario, entonces (40.21) tiene una solución que también es analítica en , es decir, la solución tiene representación en serie de Taylor en potencias de ( válida en una vecindad de .  

4. Definición 40.22 Un punto es llamado una singularidad de (40.21), si una o más de las funciones no es analítica en n o es analítica en Entonces, el punto es por tanto una singularidad de (40.1) Para el resto de esta lección, limitaremos nuestra atención a una ecuación lineal de segundo orden Donde y son funciones continuas de en un intervalo común . Sus singularidades, si las hay, se han dividido en dos clases, singularidades regulares y singularidades irregulares.  

5. DEFINICIÓN 40.24 singularidades regulares Si es una singularidad de (40.23) y si la multiplicación de por y de por da como resultado funciones, cada una de las cuales es analítica en , entonces el punto se llama singularidad regular de (40.23) EJEMPLO Demostrar que y son singularidades regulares de Si dividimos para tenemos Conociendo que Tenemos que Según la definición 40.22, se sabe que y son singularidades para la ecuación si  

6.   Tenemos como resultado una nueva función que da una serie Tenemos como resultado una nueva función que da una serie Entonces es regular singular para la EDO   Tenemos como resultado una nueva función y la serie Tenemos como resultado una nueva función y la serie Entonces es regular singular para la EDO     Según la definición 40.22, se sabe que y son singularidades para la ecuación si  

7. Definición 40.26 singularidades irregulares. Si es una singularidad de (40.23) y si la multiplicación de por y de por da como resultado funciones de las cuales una o ambas no son analíticas , entonces se denomina singularidad irregular de (40.23) Demostrar que y son singularidades irregulares de Si dividimos para tenemos Conociendo que Tenemos que Según la definición 40.22, se sabe que y son singularidades para la ecuación si  

8.   Tenemos como resultado una función no analítica, por lo tanto toda la ecuación no es analítica. es una singular irregular para la EDO   Tenemos como resultado una función no analítica, por lo tanto toda la ecuación no es analítica. es una singular irregular para la EDO     Según la definición 40.22, se sabe que y son singularidades para la ecuación si  

9. Solución de una ecuación diferencial lineal homogénea sobre una singularidad regular -Método de Frobenius- Si la ecuación lineal (40.3) tiene una singularidad irregular en , entonces el problema de encontrar una solución en serie es demasiado difícil de discutir aquí. Sin embargo, si (40.3) tiene una solución singular regular en entonces describiremos un método para encontrar una solución en serie, valida en una vecindad de . Es conocido como el método de Frobenius. La solución en serie que obtuvo Frobenius (40.31) es conocida como la serie de Frobenius.   LECCIÓN 40B

10. Tenga en cuenta que cuando o un entero positivo, la serie se convierte en una serie de Taylor inusual. Sin embargo, para valores negativos de o para valores positivos no enteros de m, (40.31) no es una serie de Taylor. Una serie de Frobenius, por lo tanto, incluye una serie de Taylor como un caso especial.  

11. Supongamos que es una singularidad regular de (40.3). Por lo tanto, sigue por las definiciones 40.22 y 40.24, que o ambos no son analíticas en , sino que , son. Esto significa que la tiene ( ) en su denominador y / o tiene en su denominador. Por lo tanto, , tienen estas formas respectivas. En cualquier caso, la multiplicación de (40.3) por lo transformará en una ecuación de la forma: ) (40.331) en la que tanto son ahora analíticas en .  

12. El teorema relevante que asegurará la existencia de una solución en serie de Frobenius (40.31) de (40.3) es el siguiente. Teorema 40.32 . Sea una singularidad regular de (40.311). Entonces (40.311) tiene al menos una solución en serie de Frobenius de la forma (40.31). Esto es válido en el intervalo común de convergencia de en (40.311), excepto quizás para un , es decir, si cada desarrollo de la serie de Taylor de es válido en el intervalo , entonces al menos una solución de la serie de Frobenius también es válida en : excepto quizás por . No se produce pérdida de generalidad si, en (40.311), tomamos ya que por una traslación de ejes siempre podemos reemplazar una expansión en potencias de ( por una en potencias de . Con este entendimiento, reescribimos (40.311) como: donde las funciones se analizan en . Por lo tanto, cada una tiene un desarrollo de serie de Taylor en potencias de x válido en una vecindad de . Sea sus respectivas expansiones en serie.  

13. La serie de Frobenius (40.31) y las siguiente dos derivadas son, con La función será una solución de (40.33) si satisface la ecuación. Por lo tanto, sustituyendo (40.35) en (40.33) y reemplazando al mismo tiempo las funciones por sus desarrollos en serie en (40.34), obtenemos  

14. Desarrollando (40.36) y reuniendo coeficientes de potencias iguales de x, se obtiene

15. La ecuación (40.37) será una identidad en x, si cada uno de los coeficientes de k = m, .., m +n es cero. Como hemos supuesto , el primer coeficiente en (40.37) será cero sólo si: (40.38) A esta ecuación se le ha dado un nombre especial, se llama ecuación indicial . es una ecuación cuadrática en m, tiene dos raíces.  

16. Cada una de las raíces de la ecuación indicial (40.38) hará que el primer coeficiente en (40.37) sea cero. Nos concentramos en la raíz m. Sustituyéndolo por m en el coeficiente a restante en (40.37) y igualando dichas ecuaciones a cero, nos permitirá resolver cada una de estas ecuaciones respectivamente para ,. en términos de . Recuerde que las b y las c son constantes dadas por (40.34). Como para esta y este conjunto de valores de , cada coeficiente en (40.37) es cero, (40.37) es una identidad en x. Por lo tanto, la sustitución de esta y este conjunto de en la primera ecuación de (40.35) hará que sea una solución de (40.33). Siguiendo el mismo procedimiento descrito anteriormente, usando la segunda raíz obtenemos un segundo conjunto de valores de , en términos de , que con hará que cada coeficiente en (40.37) sea cero. Por tanto, la sustitución de este segundo conjunto de valores de y en la primera ecuación de (40.35) hará de una segunda solución de (40.33).   CASO 1 Las raíces y de la ecuación indicial (40.38) son distintas y su diferencia no es un número entero.  

17. Comentario 40.381. No todas las ecuaciones de la forma (40.33) tienen dos soluciones independientes en serie de Frobenius. Algunos, como mostraremos más adelante, sólo tienen uno. Sin embargo, si (40.33) tiene dos soluciones en serie de Frobenius, entonces el siguiente teorema relevante, establecido sin demostración, complementa el Teorema 40.32. Teorema 40.39. Las dos soluciones en serie de Frobenius de (40.33) son linealmente independientes. Cada solución es válida para cada en el intervalo común de convergencia de excepto quizás para . Comentario 40.391. El teorema 40.39 también se enunciará como sigue. Cada solución de la serie de Frobenius convergerá para cada , excepto quizás para , en un círculo en el plano complejo, cuyo centro está en 0, y cuyo radio se extiende al menos hasta la siguiente singularidad más cercana de (40.33), es decir, cada la solución es válida al menos para , donde es la singularidad más cercana a 0.  

18. Encontrar una soluci ón en series de Frobenius para la ecuación dada: Ejemplo 40.393

19. De (c) observamos que son polinomios. Por tanto, por el Comentario (37.53), sus representaciones en serie son válidas para todo . Por lo tanto, por el Teorema (40.39), cada solución de la serie de Frobenius es válida para todo excepto quizás para . En este ejemplo, la solución (j) es válida para todo . La segunda solución (o), debido a la presencia de , es válida para todo excepto . Por tanto, la solución general (p) es válida para . Note que para , la segunda serie en (p) es imaginaria. Podemos hacerlo real eligiendo , donde es real.  

20. Caso 2: Las raíces , de la ecuación indicial (40.38) difieren por un entero.   Si las raíces de la ecuación indicial (40.38) difieren en un entero distinto de cero, podemos escribirlas como y , donde es un entero positivo. Dado que es una raíz de (40.38), satisface esta ecuación. Por eso ahora compare el lado izquierdo de (40.4) con el coeficiente de en el último término de (40.37). Ambos serán exactamente iguales si se reemplaza por . Esto significa que si usamos la raíz más pequeña en (40.37) para encontrar un conjunto de valores para las a’s que hagan que el coeficiente de cada sea cero, se detiene cuando llegamos al término en el que aparece aN , ya que su coeficiente será cero. Por lo tanto, no podemos resolver esta ecuación para en términos de anteriores a menos que, por accidente, el termino restante en la ecuación también sume cero. En este caso, la ecuación se cumplirá para cualquier valor arbitrario de . Entonces podemos continuar determinando los valores de las a sucesivas, es decir, de en términos de y .  

21. Caso 2a: LOS coeficientes de en (40.37) es cero y los términos restantes en el coeficiente de tambien suman 0.   En este caso, la raíz mayor determinará, por (40.37), un conjunto de valores de las a en términos de y el otro en términos de . Sin embargo, la solución en serie de Frobenius obtenida por la raíz más grande en términos de no será linealmente independiente de la que en términos de obtenga la raíz más pequeña. Por lo tanto, la raíz más pequeña por sí sola dará, en este caso, dos soluciones independientes, cuya combinación lineal será una solución general de (40.33). Tendrá dos constantes arbitrarias y . Estas soluciones serán válidas en los mismos intervalos dados en el Teorema 40.39.  

22. EJEMPLO: Encuentre la solución de: Mediante la serie de Frobenius.  

24. ecuación indicial.  

26. relación de recurrencia.   - -      

28. Caso 2b: los coeficientes en en (40.37) es cero, pero los términos restantes en el coeficiente de no suman cero.   En este caso, sólo la raíz mayor de la ecuación indicial (40.38) determinará un conjunto de valores de las a en términos de a0. por lo tanto, solo habrá una solución en serie de Frobenius de (40.33) .   Una segunda solución independiente de 40.33, se ha probado, será de la forma :   donde N es la diferencia integral positiva entre las raíces de la ecuación indicial (40.38), y1 es una solución en serie de Frobenius de 40.33 obtenida con la raíz mayor m+, y u(x) es una serie de Frobenius de la forma    

29. Ejemplo : Encuentre la solución de  

31. , ,  

32. Caso 3: Raíces de la ecuación inicial iguales. Si las raíces de la ecuación inicial son iguales, es evidente que de (40.37) solo se puede obtener un conjunto de ceros y, por lo tanto, sólo una solución en serie de Frobenius de EJEMPLO Encuentre una solución general para (Ecuación de índice cero de Bessel.) dividimos para y obtenemos Aplicamos de las definiciones y tenemos que es una singular regular de la ecuación. Conociendo todo eso, podemos buscar un solución en serie de la forma Tenemos entonces según (40.33): Comparando con la parte (40.44) tenemos los valores , , , Reemplazando los valores en la ecuación inicial Tenemos como raíces Entonces,  

33. Igualamos el coeficiente a cero Simplificando tenemos Resolviendo el literal (f) y (g) Sustituimos los valores de n en la parte (b)  

34. Por el Teorema 40.32 esta serie es válida para todo x. Una segunda solución de (a) puede encontrarse mediante la sustitución (40.51), con . (Recuerde que es la diferencia entre las raíces). Esta solución es el coeficiente de en (k) a continuación. Por lo tanto, la solución general de (a) es: K. Encontramos a en el literal (j)