Qué es una función

1. ¿Qué es una función?

Una función es como una máquina: tiene una entrada y
una salida.
Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo
que entra.
Ejemplos
"Multiplicar por 2" es una función muy simple
La raíz cuadrada (√) es una función
Seno, coseno y tangente son funciones que se usan en trigonometría
Pero no vamos a ver funciones concretas...
... ahora vamos a ver la idea general de una función.
Nombres
Primero, es útil darle un nombre a una función. El nombre más común es "f", pero puedes
ponerle otros como "g" ... o hasta "mermelada" si quieres.
Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre
paréntesis () después del nombre de la función:
Así que f(x) te dice que la función se llama "f", y "x" se pone dentro
Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada:
f(x) = x
2
nos dice que la función "f" toma "x" y lo eleva al cuadrado.

Así que con la función "f(x) = x
2
", una entrada de 4 da una salida de 16. De hecho podemos
escribirf(4) = 16.
Nota: a veces las funciones no tienen nombre, y puede que veas algo como y = x
2

2. Relacionar
Arriba dije que una función es como una máquina. Pero una función no tiene engranajes ni
correas ni partes que se muevan. ¡Y no destruye lo que pones dentro!
En realidad, una función relaciona la entrada con la salida.
Decir que "f(4) = 16" es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O
también 4 → 16

Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la
altura del árbol está relacionada con la edad por la
función a:
a(edad) = edad × 20
Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200
cm
Volveremos a esta idea después de responder la pregunta...
¿Con qué tipo de cosas trabaja una función?
Los "números" parecen una respuesta clara, pero...

... ¿qué números? Por ejemplo, la función de la altura del árbol a(edad)
= edad×20 no tiene sentido si la edad es menor que cero.

... también podrían ser letras ("A"→"B"), o códigos de identificación
("A6309"→"Acceso") o cosas más raras.
Así que tenemos que usar algo más general, y ahí es donde entran en juego los conjuntos:



Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo
números.
Aquí tienes algunos ejemplos:
El conjunto de los números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Un conjunto de ropa: {"sombrero","camisa",...}
El conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
...}
Los múltiplos de 3 que son más pequeños que 10: {3, 6, 9}

3. Cada cosa individual en un conjunto (como "4" o
"sombrero") es un miembro, o elemento.
Así que una función toma elementos de un conjunto, y devuelve (normalmente con algún
cambiados) elementos de un conjunto. Con esto llegamos a la definición formal:

Definición formal de función
Una función relaciona cada elemento de un
conjunto
con un elemento exactamente de otro
conjunto
(puede ser el mismo conjunto).


"exactamente uno" significa que la función es univaluada. No devolverá 2
o más resultados para la misma entrada. ¡Así que "f(2) = 7 o 9" no vale!

Cada elemento de "X" se relaciona con un elemento de "Y". Decimos que
la función cubre "X" (relaciona cada elemento de)
También fíjate que en el dibujo de arriba hay dos elementos en "X" que se relacionan con el
mismo elemento de "Y". No pasa nada. No hay ninguna regla contra esto.
Y finalmente, fíjate en que algunos elementos de "Y" no se relacionan con nada. Eso
también vale.
Esto son cosas normales entre funciones, pero algunos tipos de funciones cumplen reglas
más estrictas, para saber más lee sobre inyectivo, sobreyectivo y biyectivo


La prueba de la línea vertical
En un gráfico, la idea de univaluada significa que
ninguna línea vertical cruza más de una vez.
Si alguna cruzara más de una vez no sería una
función.

4. Dominio, codominio y rango
En el dibujo de arriba
el conjunto "X" es el dominio,
el conjunto "Y" es el codominio, y
el conjunto de elementos de Y a los que llega alguna flecha (los valores verdaderos
de la función) se llama rango o imagen.
Tenemos una página especial sobre dominio, codominio y rango por si quieres saber más.
Pares ordenados
Puedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16).
Se llaman pares ordenados porque la entrada siempre va primero y la salida después.
Así que (4,16) significa que la función toma "4" y devuelve "16"
Y una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados:
Ejemplo: {(2,4), (4,5), (7,3)} es una función que dice que "2 se relaciona con 4", "4 se
relaciona con 5" y "7 se relaciona con 3".

Fíjate también en que el dominio es {2,4,7} y el rango es {4,5,3}
Pero la función debe ser univaluada, esto se puede decir
"si contiene (a, b) y (a, c), entonces b tiene que ser igual a c"
Es otra manera de decir que una entrada "a" no puede dar dos resultados diferentes.
Ejemplo: {(2,4), (2,5), (7,3)} no es una función porque {2,4} y {2,5} quieren decir que 2
estaría relacionado con 4 y 5, o sea no es univaluada
Conclusión
una función relaciona entradas con salidas
una función toma elementos de un conjunto (el dominio) y los relaciona con
elementos de un conjunto (el codominio).
las salidas (los verdaderos valores de la función) se llaman la imagen o rango
una entrada sólo produce una salida (no una u otra)
una entrada y la salida que corresponde se llaman juntos un par ordenado

5. así que una función también se puede ver como un conjunto de pares ordenados
Dominio, codominio y rango

En su forma más simple el dominio
son todos los valores a los que aplicar
una función, y el rango son los valores
que resultan.
Pero de hecho son conceptos
importantes cuando se define una
función. ¡Sigue leyendo!
Por favor, primero lee "¿Qué es una función?"...
Funciones
Una función relaciona una entrada con una salida.

Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la
altura del árbol está relacionada con la edad por la
función a:
a(edad) = edad × 20
Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200
cm
Decir que "a(10) = 200" es como relacionar 10 con 200. O bien 10 → 200
Entrada y salida
Pero muchas veces es importante decir qué valores pueden entrar y pueden salir de una
función.
Aquí tienes algunas razones:
La función no funciona si das valores equivocados (como una edad negativa)
Limitar los valores de entrada te puede permitir hacer después cosas especiales con
la función
Saber el tipo de valores de salida (por ejemplo siempre positivos) también ayuda

6. Entonces, ¿cómo se dice lo que entra o sale en una función? respuesta: se usan
conjuntos...



Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo
números.
Aquí tienes unos ejemplos:
Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}
Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}
De hecho, las funciones se definen sobre conjuntos:

Definición formal de una
función
Una función relaciona cada elemento de un
conjunto
con exactamente un elemento de otro
conjunto
(puede ser el mismo conjunto).
Dominio y rango
Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una
función:

Lo que puede entrar en una función se llama el dominio

Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio

Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen
Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el
codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente
por la función) son el rango.

7. Parte de la función
Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio.
De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una
función diferente.
Ejemplo: una simple función como f(x) = x
2
puede tener dominio (lo que entra) los
números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}

Y otra función g(x) = x
2
puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},
entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}


Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado,
operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas
diferentes.


También tienen diferentes propiedades.
Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la
misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)
Así que el dominio es una parte muy importante de la función.
Entonces, ¿todas las funciones tienen su dominio?
Sí, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone:
Normalmente se supone que es algo así como "todos los números que hacen que
funcione".

8. O si estás estudiando números enteros, el dominio será los enteros.
etc.
¡Pero en matemáticas más avanzadas tienes que tener cuidado!
Codominio y rango
El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo.
El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.
El rango es el conjunto de valores que realmente salen.
Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros (porque
tú lo eliges así).
Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros
pares.
Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.
Así que rango es un subconjunto del codominio.
¿Por qué los dos? Bueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque la función es
complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que está (como los
enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.
La importancia del codominio
Déjame que te haga una pregunta: ¿la raíz cuadrada es una función?
Si tú dices que el codominio (las salidas posibles) es el conjunto de los números reales,
¡entonces la raíz cuadrada no es una función! ... ¿te sorprende?
La razón es que podría haber dos respuestas para una entrada, por ejemplo f(9) = 3 o -3
Una función debe ser univaluada. No puede dar 2 resultados para el mismo valor de
entrada. ¡Por ejemplo "f(2) = 7 o 9" no está bien!
Pero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los números reales no
negativos.
√De hecho, el símbolo radical (como en √x) siempre significa la raíz cuadrada positiva (la
principal), así que √x es una función porque su codominio es correcto.

9. Así que el codominio que elijas puede afectar el que algo sea o no una función.

Notación
A los matemáticos no les gusta escribir muchas palabras cuando unos pocos símbolos
hacen el mismo trabajo. Así que hay maneras de decir que "el dominio es", "el codominio
es", etc.
Esta es la mejor manera que conozco:

Esto dice que la función "f" tiene dominio "N" (los
números naturales), y también codominio "N".

y esto dice que la función "f" toma "x" y devuelve "x
2
"
Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo
"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una
función.
Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a
los de otro conjunto "B":

"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que
corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo
mejor más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia
perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

10. Definiciones formales
Inyectivo
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo:f(x) = x
2
del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x
2
no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros(esto incluye
números negativos) porque tienes por ejemplo
f(2) = 4 y
f(-2) = 4)
Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco
como si fuera biyectiva.
Sobreyectivo (o también "epiyectivo")
Una función f (de un conjunto Aa otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo
menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) =
B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo
menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números
pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva,
porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.
Biyectiva
Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x
en A que cumple que f(x) = y
Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo: La función f(x) = x
2
del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto
es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo
f(2)=4 y

11. f(-2)=4)