"Introducción a la Sumatoria de Riemann: Conceptos"

"Exploraremos la sumatoria de Riemann, sus conceptos fundamentales y cómo se utiliza para aproximar el área bajo una curva. Ideal para comprender los fundamentos del cálculo integral."

1. Sumatoria de Riemann Explicada por alumnos de la materia de ingeniería electrónica de quinto semestre

2. ¿Qué es la sumatoria de Riemann? la sumatoria de Riemann es una manera de sumar áreas pequeñas para aproximar el área total bajo una curva. o más formalmente, calcular una integral. Esto explicado mas sencillamente es dividir la curva en pequeños rectángulos, usando el área de cada rectángulo para sacar el valor total aproximado; que de igual forma mientras más rectángulos uses, más precisa será la aproximación.

3. Ejemplo de exactitud en sumatoria de Riemann

4. ¿Por qué? Esto se debe a que tiene más divisiones en el intervalo y, por lo tanto, los rectángulos son más delgados y se ajustan mejor a la curva roja. mientras más rectángulos uses (es decir, mientras más subdivisiones hagas), menor será el error de aproximación, ya que los rectángulos se acercan más a la forma de la curva.

5. Formula general

6. Partes de la Formula general la letra A representa el área bajo la curva de una función f(x) en un intervalo específico.

7. Partes de la Formula general La letra n en la fórmula representa el número de subdivisiones o intervalos en los que se divide el rango sobre el que se está calculando el área bajo la curva. 1 2 3 4

8. Partes de la Formula general La letra i en la fórmula es un índice que indica cada una de las particiones o subdivisiones del intervalo. Varía desde i hasta n En pocas palabras donde se empieza a contar

9. Partes de la Formula general f(xi​) representa el valor de la función en un punto específico xi ​ dentro del intervalo. Es el valor de la altura de la curva en ese punto

10. Partes de la Formula general Δx representa el ancho de cada subdivisión o intervalo en la suma de Riemann.

11. Partes de la Formula general Uniendo las dos nos queda esta formula para sacar el área de cada rectángulo de la curva dada por la integral representada como Área de cada rectángulo = base x altura Base= Δx Altura= f(xi​) Finalmente se suman cada una de las áreas de cada rectángulo para calcular el área bajo la curva

12. Ejemplo #1 Evalua la suma de Riemann para la función Utiliza el intervalo [-1,2] tomando como punto de referencia la mitad de cada rectángulo de cada sub intervalo usando la partición (-1<0<1<2).  

13. Ejemplo #1 Paso uno: dividir el intervalo al punto medio de (-1<0<1<2). Para identificarlos en la grafica

14. Ejemplo #1 Paso uno: dividir el intervalo al punto medio de (-1<0<1<2). Para identificarlos en la grafica Paso dos: encontrar la base de cada uno de los rectángulos restando el punto a la derecha menos el punto a la izquierda del intervalo (-1<0<1<2). Quedando de esta manera: Δ1x= (0-(-1))= 1 Δ2x= (1-0)= 1 Δ3x= (2-1)= 1

15. Ejemplo #1 Paso tres: trazar cada uno de los rectángulos en líneas paralelas en el punto medio donde especificamos pada punto de Xn. Paso cuatro: evaluar f(x) en cada uno de los puntos medios de la base multiplicado al resultado de Δ1x, Δ2x, Δ3x (en este caso 1) F(X1)= (-0.5)*1= -0.5 F(X2)= (0.5)*1= 0.5 F(X3)= (1.5)*1= 1.5

16. Ejemplo #1 Paso cinco: sustituir el resultado anterior a la función con las siguientes operaciones de cada uno de los rectángulos F(X1)= = 9/4 F(X2)= = 9/4 F(X3)= = 17/4 Paso seis: sumar todos los resultados de F(x) y tendremos el resultado: 9/4+9/4+17/4= 35/4 = 8.75  

17. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Evalua la suma de Riemann para la función Utilizando el intervalo [0,5] tomando como punto de referencia el área bajo la curva tanto inferior como superior en el intervalo (0<1<2<3<4<5)  

18. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Paso 1: Como podemos apreciar(0<1<2<3<4<5) están divididos de uno en uno de forma igual por lo que podemos calcular cada termino con esta formula para ver la separación = Esto aplica para cada punto del intervalo  

19. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Paso 1: Como podemos apreciar(0<1<2<3<4<5) están divididos de uno en uno de forma igual por lo que podemos calcular cada termino con esta formula para ver la separación = Esto aplica para cada punto del intervalo Paso 2: trazar cada uno de los rectángulos en líneas paralelas en el punto medio donde especificamos pada punto de Xn.  

20. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Paso 3: evaluar f(x) en cada uno de los puntos medios de la base multiplicado al resultado de Δ1x, Δ2x, Δ3x, Δ4x, Δ5x (en este caso 1) F(X1)= (0)*1= 0 F(X2)= (1)*1= 1 F(X3)= (2)*1= 2 F(X4)= (3)*1= 3 F(X5)= (4)*1= 4

21. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Paso 4: sustituir el resultado anterior a la función con las siguientes operaciones de cada uno de los rectángulos F(X1)= F(X2)= F(X3)= 5 F(X4)= F(X5)= 29  

22. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Paso 5: sumamos todos los resultados de las operaciones de F(x): =-1+1+5+13+29= 47 Paso 6: La suma superior de Riemann toma los valores de la función en los puntos inferiores o izquierdos. Los puntos de la derecha son: x=1, 2, 3, 4, 5

23. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Paso 7: repetimos el proceso de evaluar f(x) en cada uno de los puntos medios de la base en los puntos de la derecha multiplicado al resultado de Δ1x, Δ2x, Δ3x, Δ4x, Δ5x (en este caso 1) F(X1)= (1)*1= 1 F(X2)= (2)*1= 2 F(X3)= (3)*1= 3 F(X4)= (4)*1= 4 F(X5)= (5)*1= 5

24. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Paso 8: sustituir el resultado anterior a la función con las siguientes operaciones de cada uno de los rectángulos con los puntos del lado superior o derecho F(X1)= 1 F(X2)= 5 F(X3)= 13 F(X4)= 29 F(X5)= 61  

25. Ejemplo #2 con suma superior e inferior Paso 9: sumamos todos los resultados de las operaciones de F(x): =1+5+13+29+61= 109 Paso 6: La suma superior de Riemann toma los valores de la función en los puntos de la derecha de cada subintervalo. Los puntos de la derecha son: x=1, 2, 3, 4, 5 Por lo tanto el área bajo la curva esta dada entre 47 y 109