Raciocinio logico 01

dwdsfs

1. I Proposiçôes simples e compostas

Proposigöes simples

Observe as seguintes sentengas:

Os gatos nao voam.
m Como éoseunome?
m Saia ja daquil
Nao se esqueca de estudar.
m Que dia lindo!
Embora todas as sentencas anteriores facam parte da nossa linguagem
usual, aqui estamos interessados apenas naquelas que possam ser classifica

das em verdadeiras ou falsas. As sentengas que admitem tal lassificagäo sáo
chamadas de sentengas declarativas.

Entre as sentengas citadas, somente a primeira delas ("Os gatos nao
voam') pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Para as demais, nao faz
muito sentido classficé-las dessa forma.

Quando uma sentenga é verdadeira, dizemos que seu valor lógico é ver-
dadeiro (V), e quando é falsa, que seu valor lógico é falso (F). A definiçäo de
proposicáo considera apenas um desses dois possiveis valores:

Uma proposiçäo é uma sentenga declarativa que admite um e somente.
um dos dois valores lógicos -V ou F.

Observe alguns exemplos de proposigóes:

= Curitiba éa capital do Paraná.

m mtr pr ent > Vilas ne SDE

2. Proposiges simples composts

€ uma proposigäo cuj valor lógico €
Todos os animais sáo mamíferos.

E uma proposigäo cujo valor lógico é .
Quero mais cafe!

Traduz um desejo. Logo, nao € uma proposigáo e, portanto, náo pode-
mos atribuir um valor lógico.

34427
É uma proposigäo cujo valor lógico é verdadeiro.
152

E uma proposigäo cujo valor 6

7-2
Nao é uma proposiçäo. Nao se pode atribuir valor lógico à sentenga.
153

Nao € uma proposicáo, pois nao & possivel verificar a veracidade, uma
vez que nao se conhece o valor da variável x Trata-se de uma sentença
aberta.

Ele émédico.

Nao € uma proposigáo, pois a palavra “ele” nao esclarece de quem se
fala e, portanto, nao se pode atribuir valor lógico à declaraçäo.

Ana é fisioterapeuta.

É uma proposicáo, pois declara especificamente a profissäo de Ana e,
portanto, pode ser classificada ou em verdadeira ou em falsa.

Vocé gosta de quiabo?

Trata-se de uma sentenga interrogativa. Logo, náo é uma proposi
pois nao pode ser clasificada em verdadeira ou falsa,

a mtr pr ren enn ine ©

3. Proposes simples composts
Paradoxos

Existem proposiçôes, entretanto, chamadas de paradoxos, que nao admi-
tem um único valor lógico, apesar de serem declarativas. Segundo o dicio-
nário Aurelio, paradoxo é um conceito que é ou que parece contraditório a0.
comum; contra-senso, absurdo ou disparate. Ele reflete a impossibilidade da
existencia simultanea de duas situagóes.

Exemplo 1
Observe a sentenca:
Essasentengae fals.
Afrase anterior € verdadeira ou éfasa?

Vamos tentar classificä-la em apenas um dos valores possiveis. Se a frase
anterior for verdadeira, a conclusáo é de que ela é falsa, pois isso é o que
afirma a propria sentenga. Se a frase for falsa, a conclusäo € de que ela é ver-
dadeira, pois isso contraria a propria sentenca. As conclusöes sáo:

mA frase é falsa se, e somente se, ela é verdadeira.
mA frase é verdadeira se, e somente se, ela é falsa.

Estamos diante de um paradoxo, pois a sentenga náo pode ser verdadei-
ra e falsa simultaneamente, Tais paradoxos náo se limitam apenas à Lógica,
estando presentes na Quimica, Física, Matemática, Filosofia e outras áreas do
conhecimento.

Exemplo 2
Se Joao afirma:
-Sou mentiroso!

Essa declaraçäo seria verdadeira ou falsa? Em outras palavras, Jodo é ou
näo mentiroso?

Analisando a frase, consideramos duas hipöteses: ou a frase é verdadeira
ouéfalsa,

a mtr pr ren enn ine ©

4. Sea frase for verdadeira, entáo é verdadero de que Jodo € mentiroso, pois
isso foi o que ele disse. Entretanto, se Jodo fosse realmente mentiroso, jamai
diria que é mentiroso, pois, nesse caso, a declaragäo seria verdadeira e seria
contraditéria com a frase que foi proferida,

Se afrase for falsa, entáo € falso de que Jodo é mentiroso, ouseja,¢ verda-
deiro que Joäo náo € mentiroso. Por outro lado, se Joäo náo fosse mentiroso,
entáo náo deveria mentir. Deveria dizer a verdade. E a verdade seria a de
que ele nao é mentiroso. Assim, ao dizer a frase“Sou mentiroso”, Joao estaria
novamente se contrariando.

Em qualquer uma das hipóteses levantadas, chega-se a uma contradigäo.
Essa é outra situagäo que nos remete a um paradoxo.

Negaçäo

Estudamos anteriormente que uma proposigäo pode ser classificada em
apenas um dos dois valores lógicos - Vou F. A negaçäo de uma proposigáo €
utilizada para alterar seu valor lógico, dando ideia contréra.

Assim, se p é uma proposigäo verdadeira, a negagáo de p, indicada por
=p, € uma proposiçäo falsa. Da mesma forma, se p é uma proposicáo falsa,
=p é uma proposiçäo verdadeira.

A próxima tabela é conhecida como tabela-verdade. Ela relaciona uma
Proposigäo com a respectiva negacáo:

nn
GE

Foy

Exemplos:

M A Alemanha é um pats europeu.
Proposigáo p cujo valor lógico é V.

M AAlemanha náo éum pais europeu.
Proposigäo =p cujo valor lógico éF.

m Éfolsoque a Alemanha éum pais europe

a mtr pr earn enn ine ©

5. Propess simples ecomposs
Proposigäo ~p cujo valorlógico €.

= Nao éverdade que a Alemanha um país europew.
Proposigäo ~p cujo valorlógico €.

Observacáo 1:

A negagäo de uma proposigäo indica sempre uma ideia conträria, de
modo que se uma é verdadeira, a outra é falsa, e vice-versa. Entretanto, $
importante entender que a negaçäo nao vai simplesmente indicar algo
diferente,

Por exemplo, na proposicáo:
Artur viaja nos finais de semana,

Nao € correto dizer que a negacáo dessa proposiçäo seja ~p: Artur viaja
‘em dias de semana, pois nada se pode concluir sobre se Artur viaja ou náo em
dias de semana.

A negaçäo correta de p é:
=p :Artur no viaja nos finais de semana.
Observaçäo 2:

Considere a proposigáo p: Está chovendo. A negacáo de p é ~p: Nao está
chovendo. Qual seria a proposiçäo correspondente à negacáo da negacáo de
P,ouseja,~(~p)?

A negaçäo da negaçäo de p afirma o mesmo que p, observe:
p:Estáchovendo.
=p:Nao está chovendo,

(=p): Náo é verdade que náo está chovendo, o que equivale a está
chovendo.

Em outras palavras, a proposiçäo
Simbolicamente, escreve-se (=p) = p.

EI
EEE

EN ev RE
Equivaletes

(-p) € logicamente equivalente a p.

m mtr pr at o Vibra es SDE RIS.

6. Na Lingua Portuguesa é comum usarmos uma dupla negagäo no sentido
de reforgar ou enfatizar uma ideia. Por exemplo, quando uma pessoa diz"náo
vou fazer nada’, normalmente ela está querendo dizer que nada será feito.
Por outro lado, quando estudamos essa sentenga por meio da Lógica, cons-

tatamos que, na verdade, essa pessoa está dizendo "vou fazer algo"

O quadro seguinte justifica o raciocinio:

= Proposicáo p:*Vou fazer algo”
IM Proposiçäo ~p:"Vou fazer nada”.

m Proposicáo ~(~p):"Nao vou fazer nada!"

A conclusáo é a de que como p é equivalente a ~(
equivalente a*náo vou fazer nada".

p), "vou fazer algo" €

Para evitar problemas no uso das proposigöes de dupla negaçäo, pode-
mos substitu-las por outras que talvez nao dardo a Enfase que se pretende,
mas que seräo logicamente corretas Assim, em vez de dizermos “náo vou
fazer nada’, podemos dizer“no vou fazer coisaalguma”.

Da mesma forma, em vez de dizer “no tenho nada a declarar”, o que na
Lógica corresponde a “tenho algo a declarar” diga “nada tenho a declarar”
que vocé estará transmitindo a ideia de que nada será declarado.

Em Lógica, quando uma pessoa diz "náo quero nada', significa que ela
quer alguma coisa. Para expressar melhor a ideia que ela desejava transmitir
- a de que nada quer - seria melhor dizer "nao quero coisa alguma".

Observacáo

O símbolo que indica a negaçäo de uma determinada proposiçäo pode
também ser representado por” +. Assim, a negagäo de uma proposigäo p
pode ser representada por"=p"0u"=p".

Negaçäo e conjunto complementar

A negaçäo de uma proposigáo está relacionada ao complementar de um
dado conjunto. Dado um conjunto U (universo) e sendo A um subconjunto
de U, o complementar de A em relaçäo a U é representado e definido por:

vs

IixeVexeA

0 mtr pr nn enna ie SDE

7. Proposes simples composts

Exemplo 1:
Considere a propriedade:

jostar de gatos

© Conjunto U formado por todas as pessoas:
U= bu x é uma pessoa}

m Conjunto A das pessoas que tém a propriedade p:
‘A= (x/x é uma pessoa que gosta de gatos)

= Conjunto A‘ das pessoas que tém a propriedade =p:

A‘ = bu x é uma pessoa que nao gosta de gatos}
ou
A= bx/xeU exe)

Exemplo 2:

Considerando a propriedade p: ser alegre

m Conjunto A das pessoas que possuem a propriedade p:

A

bx/x é uma pessoa alegre)
m Conjunto A‘ das pessoas que possuem a propriedade ~p:

A

9x näo é uma pessoa alegre)

Proposigöes compostas

Em nossa comunicagäo diäria, frequentemente utilizamos mais de uma
declaraçäo objetivando criar uma ideia mais complexa. Da mesma forma, em
Lógica, duas ou mais proposigöes podem ser associadas (ou interligadas)for-
‘mando uma proposigäo composta.

a mtr pr ren enn ine ©

8. Proposiges simples composts

As proposigöes que compóem uma proposiçäo composta sáo chamadas
de proposigóes simples. Essas proposigóes simples sáo interligadas por meio
de conectivos (e/ou) para formar as proposigöes compostas. Observe alguns
exemplos de proposigöes compostas:

m Amanha é sábado e Anselmo é professor.

Conectivo:e
Proposigäo simples: Anselmo é professor.
M Artur ébondoso ou intesponsável.

Proposigäo simples: Artur € bondoso.

Conectivo: ou
Proposigäo simples: Artur € irresponsável.

Cada proposigäo composta tem também um valor lógico que pode
ser verdadeiro ou falso. Esse valor lögico será determinado pelo valor lógico
de cada uma das proposigöes simples componentes e peloconectivo utliza-
do para interligar essas proposigóes simples.

Conectivo“e”

O conectivo "e" será utilizado sempre para dar uma ideia de simultanei-
dade.

Considere as seguintes proposigdes simples:
1: José completou 20 anos.
:Jose näo sabe dirigir

Interligando as proposiçôes através do conectivo "e" podemos obter a
proposicáo composta pA

pq: José completou 20 anos endo sabe dirigir.

A proposiçäo composta p A q pode ser lida“p e q"

a mtr pr ren enn ine ©

9. Proposes simples composts

A última declaragáo significa que tanto José completou 20 anos quanto
José náo sabe dirigir O conectivo “e” indica que ambas as situagóes estäo
ocorrendo simultaneamente.

Quando duas proposigöes simples säo interligadas por meio do conecti-
‘vo"e’ a proposigäo composta será denominada conjungäo. A conjungäo das
proposicóes simples p e q será representada por p Mg.

Uma conjungáo p A q é verdadeira apenas quando p e q sao verdadeiras.
‘Caso uma das proposigöes simples seja falsa ou as duas sejam falsas, a propo-
sicdo composta p A q será falsa.

Observe alguns exemplos de conjungöes:

= O Brasil banhado pelo Oceano Atlántico e náo faz divisa com a Argen-
tina,

Essa conjungäo tem o valor lógico F, pois a primeira proposigäo é ver-
dadeira e a segunda é falsa.

Im Aleitura estimula o pensamento e 10 é múltiplo de.

Essa conjunçäo tem valor lógico, pois ambas as proposicóes compo-
nentes säo verdadeiras.

m Sao Paulo fica no nordeste brasileiro e o fumo pode causar cancer.

A proposiçäo composta & falsa, pois a primeira proposigäo simples é
falsa.

M 5-223 todo número inteiro épositivo.

Aproposiçäo composta é falsa, pois ambas as proposigöes componen-
tes säo falsas.

A tabela a seguir, conhecida como tabela-verdade da proposiçäo com-
posta, apresenta todos os possiveis valores lógicos e permite determinar o
valor lógico da proposigäo composta a partir dos valores lógicos das propo-
sigóes simples componentes.

m mtr pr ent > Vilas ne SDE

10. Proposiges simples composts

nent

Observe que a proposiçäo composta p A q é verdadeira apenas no caso
de pe q serem verdadeiras. Nos demais casos, p A q é falsa.

Conjuncáo e intersecgáo de conjuntos

‘Tendo em vista que o conectivo’e" é usado na ocorréncia de acontecimen-
tos simultáneos, o símbolo A (conjungáo) pode ser usado para definira inter-
secçäo de dois conjuntos. Isso ocorre porque a interseccáo dos conjuntos A eB
$0 conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a Ae
8. Como cada um dos conjuntos pode ser definido a partir de uma proprieda-
de característica (ou proposigäo) que seus elementos possuem, ter ambas as
propriedades significa pertencer aos dois conjuntos simultaneamente.

Exemplo 1:

Observe a relaçäo existente entre uma conjunçäo e a interseccao de dois
conjuntos.

Considere as propriedades p eq:

g:morar em Brasilia

m mtr pr at o Vibra es SDE RIS.

11. Proposes simples composts

m Conjunto A das pessoas que tém a propriedade p:

‘A= f/x € uma pessoa leitora de revistas)
= Conjunto B das pessoas que tem a propriedade q:
B= (x/ xé uma pessoa moradora de Brasilia)
= Conjunto An das pessoas que tema propriedade p À 4:
[An B=tx/x é uma pessoa leitora de revistas e moradora de Brasilia}
ou

Ans

/xeAnxeB)
Exemplo 2:

Sendo A=(125) e

(2;5;7; 8), obtenha An B:

Conectivo“ou’

Apalavra’ou',em Lógica, pode ser utilizada em dois sentidos di
sentido inclusivo ou no sentido exclusivo.

Sentido inclusivo do “ou”

Nalinguagem usual, quando utilizamos a palavra "ou" normalmente que-
remos nos referir a acontecimentos exclusivos, ou seja, acontecimentos em
que quando um ocorre, o outro náo ocorre. A exclusividade reside no fato de
apenas um deles ocoreer.

m mtr pr at o Vibra es SDE RIS.

12. Em Lógica, entretanto, o conectivo”ou' ocorrendo uma única vez na pro-
posiçäo composta, será utilizado no sentido de inclusäo. A inclusáo abrange
as possibilidades em que pelo menos uma das proposigöes simples ocorre
= podendo ocorrer as duas.

Para exemplificar, observe as seguintes proposigóes simples:
P:Pedro éalto.

Pedro joga basquete.

Interligando-as por meio do conectivo “ou” podemos obter a proposigáo
composta p vq:

pva:Pedro éalto ou joga basquete.
A proposiçäo composta p v q élida poug.

O que se pretende dizer é que Pedro é alto, ou Pedro joga basquete, ou
Pedro é alto e joga basquete. Nada impede que Pedro, ao mesmo tempo,
seja alto ejogue basquete.

Portanto, o conectivo “ou” está sendo utilizado no sentido inclusivo (pelo
menos um ocorre), e náo no exclusivo (só um deles ocorre).

Quando duas proposigöes simples säo interligadas por meio do conecti-
vo "ouf a proposigäo composta será denominada disjungäo. A disjungäo de
pe qserá representada por p vq,

Quando uma disjungäo será falsa?
Uma disjunçäo p vq será falsa apenas no caso dep e q serem ambas falsas

¡Caso uma das proposigöes simples seja verdadeira ou as duas sejam verdadei-
as, a proposicáo composta p v q será verdadeira

Observe alguns exemplos de disjungöes:

M Uma semana tem 8 dias ou o esporte mais praticado na Venezuela é 0
beisebol.

Essa disjunçäo tem o valor lógico V, pois a segunda proposigäo &
verdadeira.

m Roma 6a capital italiana ou 7.

Essa disjungáo tem valor lógico Y, pois ambas as proposigóes componen-
tes säo verdadeiras.

m mtr pr ent > Vilas ne SDE

13. Proposes simples composts
m 5>2ou0 més deabriltem 31 dias.

A proposiçäo composta é verdadeira, pois a
verdadeira.

ira proposigáo €

m Oelefante 60 maior mamífero ou um hexágono éum polígono com nove
lados.

A proposiçäo composta é falsa, pois ambas as proposigöes componentes
sáo falsas.

A seguir temos a tabela-verdade da proposiçäo composta, apresentando
todos os possiveis valores lógicos da proposigäo composta a partir dos valo-
res lógicos das proposigöes simples componentes.

<<<

Observe que a proposigäo composta p vq é falsa apenas no caso dep eq
serem falsas. Nos demais casos, p v q é verdadeira,

Sentido exclusivo do “ou”

O conectivo “ou pode ser utilizado também no sentido exclusivo, Nesse
caso, € necessário que seja utilizado mais de uma vez. Para exemplificar, con-
sidere as seguintes proposigóes compostas:

p:caso
4: compro uma bicicleta
A proposicáo composta contendo um “ou” exclusivo será representada.
porp Y qe ters a seguinte forma:
PY ou caso ou compro uma bicicleta

O que se pretende dizer é ‘ou caso’ “ou compro uma bicicleta", mas náo
ambos. Portanto, é no sentido exclusivo (só um deles ocorre), e náo no inclu-
sivo (pelo menos um deles ocorre), que o conectivo ‘ou’ foi utilizado nesse
caso. Assim, quando o “ou” é utilizado na forma “ou p ou q, significa que
apenas uma das proposigöes deve ser verdadeira, e náo as duas.

a mtr pr ren enn ine ©

14. A tabela-verdade de uma proposigäo composta contendo o conectivo
“ou” exclusivo apresenta os seguintes valores lógicos:

-5<8
"n<n<

Observe que a proposiçäo composta p Y q é verdadeira apenas quando
uma proposigäo simples é verdadeira e a outra é falsa. Quando as duas pro-
posiçôes simples forem verdadeiras ou as duas forem falsas, a proposigäo
composta será falsa

jungäo inclusiva e uniáo de conjuntos

Podemos associar o conceito de disjunçäo inclusiva de proposigdes à
definiçäo de unido de conjuntos. A associaçäo € possivel porque o conjunto
AUB éformado pelos elementos que pertencem a A ouB (ouambos).Como
‘cada um dos conjuntos pode ser também definido através de uma proprie-
dade característica de seus elementos (ou proposigäo), o simbolo v (disjun-
ao) pode ser usado para definira uniäo de dois conjuntos.

A e

e |
ae

AB x CA Vx)

Exemplo 1:

Considere as propriedades p eq:

p: beber refrigerante

4: praticartriátlon

M Conjunto A das pessoas que tém a propriedade p:
‘A= (x/x é uma pessoa que bebe refrigerante)

a mtr pr ren enn ine ©

15. Proposes simples composts
m Conjunto B das pessoas que tém a propriedade q:
B= (x/ x6 uma pessoa que pratica triátlon)
m Conjunto AUB das pessoas que tem a propriedade pv q:
AUB = (x/ xé uma pessoa que bebe refrigerante ou pratica triätlon}
AUB={x/xeAvxeß)
Exemplo 2:
Sendo A=(1; 2;5}e B= (7;8;9}, obtenha AUB:

AUB=(1;2;5)U17;8; 9)

AUB=(1,2:5,7,8:9

Elementos de À ou de 8

Observe que todos os elementos de A e todos os elementos de B estäo
emAUB:

Disjungäo exclusiva e diferenga simétrica

A diferença simétrica entre dois conjuntos A eB é definida e representada
por:

AAB=(AUB)-(ANB)
ou

AAB=(A-B)U(B=A)

m mtr pr at o Vibra es SDE RIS.

16. us

Observe na ilustraçäo que os elementos que constituem a diferenga si
métrica sáo formados pelos elementos que sáo ou exclusivos de A ou exclu-
sivos de B.

Como 0 conjunto resultante da diferença simétrica entre os conjuntos Ae
8 éformado apenas pelos elementos exclusivos, sejam pertencentes apenas
à A, sejam pertencentes apenas a B, o conectivo“ou" exclusivo está relacio-
nado a essa operaçäo.

Exemplo 1:
Considere as propriedades p eq:
prler livros

ateatros

M Conjunto A das pessoas que tém a propriedade p:

A

bu x é uma pessoa que lé livros}
M Conjunto B das pessoas que tém a propriedade q:

8

/ x6 uma pessoa que vai a teatros)
M Conjunto A AB das pessoas que tém a propriedade pq (ou p ou q):

AA B= bx (xlé livros e náo vai a teatros) ou (x nao lé livros e vai a tea-
tros)

ou

Aa

IK /keAnxeB)uikeAnxeß)
Exemplo 2:
Considere as propriedades p eq:

p:estudar

a mtr pr ren enn ine ©

17. Proposçoes simples composts
q: pasear
m Conjunto A das pessoas que tem a propriedade p:
‘A= (x/x & uma pessoa que estuda}
m Conjunto B das pessoas que tém a propriedade q:
B= (x/xé uma pessoa que passeia)
= Conjunto A AB das pessoas que tém a propriedade p vq (ou p ou q)
AB (x/x estuda ou x passela, mas náo ambos)
ou

AAB= (x / (xe (AVB)) AXE ANB)

Tabelas-verdade

As tabelas-verdade apresentam todos os valores lógicos possiveis das
proposiçües compostas a partir dos valores lógicos das proposigöes simples
componentes e dos conectivos utilizados.

Para proposicôes compostas näo extensas e com poucos conectivos,
podemos encontrar o valor lógico resultante de forma quase imediata, En
tretanto, à medida que aumenta a complexidade da proposigáo composta,
com mais proposigóes simples e mais conectivos, cada vez mais as tabelas-
verdade tornam-se üteis na determinacáo de valores lógicos.

As tabelas-verdade constituem-se, portanto, numa forma sistemática e
organizada de obter o valor lógico de uma proposigäo composta para cada
uma das combinagöes possiveis dos valores lógicos das proposigöes simples
componentes.

Construgáo da tabela-verdade

Para a construgäo de tabelas-verdade é imprescindivel o conhecimen-
to dos valores lógicos de proposigöes compostas. Nos próximos exemplos
construiremos algumas tabelas-verdade:

Exemplo 1

a mtr pr earn enn ine ©

18. Construir a tabela-verdade da proposigäo composta pv=q:
IAN
DER
pan

Nas duas primeiras colunas, foram dispostas todas as possiveis combina-

—
Be nS Ss Se
A —

OEE
nS Sa
E a IES
EI EE RU VE

Para determinar os valores lógicos da última coluna, foram utilizados os
valores lógicos da primeira e da terceira colunas por meio do conectivo v.

Na primeira linha, p V ~q tem valor lógico Y, pois p tem valor V e -q tem
valor F.Os resultados das demaislínhas podem ser obtidos da mesma manei-
ra. Fica claro que, para construir tabela-verdade, € imprescindivel dominar
as regras lógicas dos conectivos”e"e“ou' e da negagáo de uma proposiçäo.

Exemplo 2:

Construir a tabela-verdade da proposigáo composta -p À =q:

Lo 1 a |. |
vv

nee
Ev

RE ES m

Nas duas primeiras colunas, foram dispostas todas as possiveis combina-
des de valores lógicos de p e q.

En mar pr ren > Vil e SDE ASS.

19. Proposes simples composts

Lo Lo | -» | -a Loc]
CE DEV NE I
Ka mern E er
EN va RE IE
EEE |

A terceira coluna apresenta valores lógicos conträrios aos da primeira
coluna, pois ~p tem valor lógico conträrio a p. A quarta coluna foi construida
analogamente com os valores lógicos contrários aos da segunda coluna:

E
1
v
v

Para determinar os valores lógicos da quinta coluna, foram utilizados os
valores lógicos da terceira e da quarta colunas por meio do conectivo A.

v

Na primeira linha, =p A -qtem valor lógico F, pois ~p tem valor F e -q tem
valor F. Na segunda coluna, =p A =q tem valor légico F, pois ~p tem valor F e
q tem valor lógico V. Os resultados das duas últimas linhas podem ser obti-
dos da mesma maneira.

Numero total de linhas de uma tabela-verdade

Atabela-verdade construída anteriormente tem quatro linhas, pois a pro-
posicäo p v ~q € formada por duas proposigöes (p e q), cada uma apresen-
tando dois valores lógicos possiveis (V ou F). Logo, basta fazer 2. 2 = 4 para
encontrar o número total de linhas dessa tabela-verdade. Caso existissem
très proposigóes (p, qe), atabela-verdade seria formada por oitolinhas, pois
2.2.2= 8 possibilidades.

Em geral, para uma proposiçäo composta com n proposigöes simples, a
tabela-verdade será formada por 2" linhas.

Exemplo:

Quantas linhas tem a tabela-verdade da proposicáo (pa av ~r?

m mtr pr ent enna ne SDE

20. [> | a |, | Long | pager
DVB VE BER BEE ER v
a DEV EEE EV EN v
VE BE EZ HE F
VEA ERS EE ENVOIE v
ER EV IRE EN IES F
VS Ses EEN v
SE AV EN IS F
FSS DED u u v

Aproposicáo composta possui 3 proposigöes simples. Logo, atabela-ver-
dade possuird 2 = 8 linhas.

Proposigóes especiais

Existem proposigöes que merecem atengäo especial pelas características
que apresentam. Sao elas: a proposigäo tautolögica, a proposigáo contradi
tória ea proposigáo contingencial.

Tautologia
Analise a seguinte proposigáo:
Paulo é dentista oundo é dentista.
Qual o valor lógico dessa proposigäo?

As sentengas “Paulo é dentista" e "Paulo nao & dentista" säo contraditörias.
Isso significa que, se uma for verdadeira, a outra será falsa. Nao é possivel que
ambas sejam verdadeiras, nem que ambas sejam falsas. Por sso, independen-
temente de quem seja Paulo e de qual seja a real profissäo dele, a proposicáo
“Paulo € dentista ou nao é dentista” deve ser necessariamente verdadeira.

Uma proposigäo composta que apresenta sempre o valor lógico V, inde-
pendente dos valores lógicos das suas proposigöes simples componentes, é
denominada tautologia ou proposiçäo tautolögica.

Considerando p: Paulo édentista e =p: Paulo náo édentista, observe como
Podemos construir a tabela-verdade da proposigäo composta p v =p:

Vii ENEE SVE
LÉ DEV DEV
Pr Tautología

m mtr pr en > Vilas in SDE

21. Proposes simples composts

Essa tabela-verdade tem apenas duas linhas, pois existe apenas uma
Proposigäo simples que é p. A primeira coluna da tabela apresenta os
dois valores possiveis para p. A segunda coluna mostra os valores lógicos
contrários, pois ~p é a negaçäo de p. Ea última coluna € a disjunçäo entre as
proposigóes p e -F

úni

Portanto, a proposigáo pv ~p é um exemplo de tautologia ou proposiçäo
tautológica. As afırmagöes “amanhà vai chover ou nao vai" ex € À ou x A”
sáo exemplos de tautologias, pois ambas tem sempre o valor lógico V.

Contradiçäo

Sendo p uma proposiçäo lógica, vamos construira tabela-verdade da pro-
posiçäo composta p À -p:

(000 NC HE)
Ce E
Contadigao

Essa tabela tem apenas duas linhas e as duas primeiras colunas contém os
dois valores possiveis para a proposigäo lógica p. A última coluna tem como
resultado a conjunçäo entre os valores lógicos das duas primeiras colunas.
Observe que a última coluna é formada apenas pelo valor F.

Uma proposiçäo composta que apresenta sempre o valor lógico F, inde-
pendente dos valores lógicos das suas proposigóes simples componentes, é
"denominada contradigáo ou proposigdo contraditória.

Qual o valor lógico da proposiçäo Paulo édentista e náo € dentista?

Sendo p: Paulo é dentista, a proposigáo em destaque tem a forma p À -p.
Observe que essa proposiçäo composta náo pode ter um valor lógico V, pois
isso somente ocorreria no caso em que pe ~p tivessem ambas o valor lógico
Vo que é impossivel.

Aproposigáo pap é um exemplo de contradigáo ou proposigäo contradi-
tória. As declaracóes"hoje é domingo e hoje nao é domingo"e“AcBeAcB”
sáo exemplos de contradiçôes, pois ambas tem sempre o valor lógico F.

m mtr pr ent > Vilas ne SDE

22. Contingéncia
Observe o seguinte conceito:
Uma proposigäo composta que apresenta valores Ve F em linhas diferen-

tes para algumas combinagóes dos valores lógicos das suas proposigöes sim
ples componentes é denominada contingéncia ou proposigäo contingencial.

Como exemplo, vamos analisar o valor lógico da proposiçäo composta p
vq por meio da construgäo da correspondente tabela-verdade:

oa ora]
VES VE EEE EV
WE EE EE BW
(EV ca BE
I ES EV E
Contingencia

A tabela tem quatro linhas, pois existem duas proposigóes simples: p eq.
‘As duas primeiras colunas apresentam as quatro combinaçôes possiveis de
valores entre p e q. A terceira coluna é a negagáo da segunda coluna, logo,
apresenta valores conträrios aos da segunda coluna. A quarta coluna é resul-
tado da disjunçäo entre a primeira e a terceira colunas.

A coluna correspondente à proposiçäo composta p v -q (42 coluna)
apresenta valores V e F, cada um deles situado em uma determinada linha
Isso caracteriza uma contingéncia. Qual o valor lógico da proposigáo "Paulo
6 dentista ou Carlos näo é engenheiro”? O valor dependerá da veracidade
particular de “Paulo ser ou näo dentista" e também de “Carlos ser ou no
engenheiro’

Organizando os conceitos estudados, podemos escrever:

m. Aproposiçäo pv =p € uma tautología.

A proposiçäo pa ~p uma contradic

mA proposiçäo pv ~q 6 uma contingéncia.

m mtr pr ent enna ne SDE

23. roosts simples composts
Equivaléncias lógicas

Anteriormente, observamos algumas proposigöes que sao logicamente
equivalentes, tais como uma proposiçäo qualquer pe a sua respectiva dupla
negaçäo:

[> | > 1-0}
VE BF EV
FN VE EF
L équivatentes —1

Para representar que a proposigäo p é equivalente a ~(~p), em símbolos,
escrevemos:

tp)

ou
p=>-(-p)
O que significa dizer que duas proposigöes sáo equivalentes?

Duas proposigóes compostas säo equivalentes quando ambas apresen-
tam sempre os mesmos valores lógicos, independentemente dos valores ló-
gicos de cada proposicáo simples componente.

Atabela-verdade é um instrumento que permite verificar a veracidade de
equivaléncias lógicas. No próximo exemplo, mostraremos que as proposi-
ges -(p vq) e~PA~q sáo logicamente equivalentes.

v v F F v E F
v F F v voor F
E v v E v E F
F E y v E v v
U équivalentes —)
A tabela foi construída a partir das duas primeiras colunas que contém

as quatro possibilidades de valores lógicos para as proposigöes p e q. Pela
tabela, observa-se que as colunas correspondentes as proposigöes ~(p v q)
e -p A -q sáo idénticas. Assim como os valores lógicos de ambas as propo-
sigöes compostas säo iguais para cada possivel valor lógico de p eq. A con-
dusäo é a de que ~(p v a) e =p A ~q säo logicamente equivalentes, ou seja,

m mtr pr at o Vibra es SDE RIS.

24. Propose simples compos
Observagao:

Em geral, para negarmos proposicóes compostas por conectivos (e/ou)

basta negarmos cada uma das proposigóes simples componentes e substi-

tuirmos os conectivos v por 1, e A por v. Assim, por exemplo, a negagäo da
proposigáo pv q, representada por ~(p v a), é dada pı

Apva=-pa-a
Anegacáo da proposigáo p 1, representada por=(p Aq), é dada por:

~paq=-pv~a
A negaçäo da proposigäo ~p v q, representada por ~(~p v q), é dada por:
~-pv@)s~-p)A~q=pr~q

Exemplo:

Por meio da tabela-verdade, vamos provar que as proposigóes ~(p À a) e
=p v-q sáo equivalentes:

As proposigöes -{p ag) €~pv~q sao logicamente equivalentes:

PA q)=-pv-qou page -pv-q

O quadro apresenta algumas equivaléncias lógicas:

Tautologia SoY)
pAg=æaqnp
Comutagao
Pva=avp

m matron e SDE ASS.

25. Proposes simples composts

Vanier (pvalawve

okies DA QVD AV EAN
nova
De Morgan
Zs “pVde-pA-a

Todas essas equivaléncias podem ser verificadas por meio da tabela-
«verdade.

Ampliando seus conhecimentos

Texto extraído do livro intitulado Alice no País dos Enigmas.

(SMULYAN, 2000)

Logo depois do julgamento, Alice encontrou a Duquesa, e as duas tiveram
‘a seguinte conversa extraordinária.

= O Gato de Cheshire disse que todos aqui säo loucos - disse Alice. Isso €
mesmo verdade?

= E claro que náo - retrucou a Duquesa. Se fosse mesmo verdade, o Gato
também seria louco, donde vocé nao poderia confiar no que ele diz.

Isso pareceu perfeitamente lógico a Alice.

- Mas, vou contar-lhe um grande segredo, minha cara - continuou a Du-
quesa. Metade das criaturas daqui sáo loucas, totalmente loucas!

= Isso nao me surpreende - disse Alice -, muitas me parecem bastante
loucas!

- Quando eu digo totalmente loucas - prosseguiu a Duquesa, ignorando
por completo a observagäo de Alice -, quero dizer o que digo: Elas säo com-
pletamente delirantes! Todas as suas crengas säo erradas - náo apenas algu-
mas, mas todas. Tudo o que € verdadeiro elas acreditam que é falso, e tudo o
que éfalso, acreditam que é verdade

Alice refletiu um pouco sobre essa estranhissima situaçäo.

= A pessoa ou criatura louca acredita que dois mais dois säo cinco?
= perguntou.

re mtr pr pat enna ne SE

26. — Ora, é claro, menina! Já que dois mais dois nao sáo cinco, naturalmente a
pessoa louca acredita que sáo.

= Ea pessoa louca também acredita que dois mais dois sáo ses?

= claro ~ respondeu a Duquesa já que náo sáo, olouco acredita que sio.

= Mas, näo é possivel que sejam iguas a cinco e ses! exclamou Alice

= Eclaro que náo - concordou a Duquesa -, voce sabe disso e eu sei disso,
mas o louco náo sabe. E a moral da história

= Eas pessoas säs daqui? - interrompeu Alice (que já tinha ouvido moral
mais do que suficiente para um dia). Imagino que a maioria de suas crenças
esteja certa, mas que algumas estejam erradas, náo €?

= Oh, no, näo,näo!- disse a Duquesa, em tom enfático. Isso pode ser ver-
dade lá de onde vocé vem, mas por aqu as pessoas sadias sáo cem por cento
exatas em suas crengas! Tudo o que é verdade elas sabem que é verdade, e
tudo 0 que éfalso elas sabem que é falso.

Alice refletiu sobre isso. - Quem sáo os sadios e quem sáo os loucos aqui?
= perguntou. Eu gostaria de saber.

Alagarta e o lagarto

= Bem respondeu a Duquesa -, considere, por exemplo, a Lagarta e Bill,
Lagarto. A Lagarta acredita que ambos säo loucos.

= Qual deles é realmente louco? - perguntou Alice.

= Eu náo deveria precisar Ihe dizer isso! -retrucou a Duquesa. Dei-the infor-
maçôes suficientes para que vocé deduza a resposta.

Qual é a soluçäo? A Lagarta é louca ou sa? E o Lagarto?
Solugáo:

A lagarta acredita que ela e olagarto säo loucos. se a lagarta fosse sa, seria
falso ela e o lagarto serem loucos, donde (sendo sa) a lagarta nao poderia
acreditar nesse fato mentiroso. Portanto, a lagarta deve ser louca. Já que ela
élouca, sua crenga é errada, donde nao é verdade que ambos sejam loucos.

‘Assim o outro (0 lagarto) deve ser sadio. Portanto, alagarta é, louca e o lagarto
ésäo.
mar pr at enn tn SDE RIS.

27. Proposes simples composts

idades de aplicaçäo

1. Indique quais sentenças sáo proposigöes, atribuindo-Ihes o valor lógi-

co correspondente, Caso asentenga ndo sea uma proposigo, marque
umx,

a) (.) Zero éumnúmero par.
by () 743

©) €.) Todos os brasileiros sáo cariocas.
d) ( ) Amanha chovers?

e) (.) Charlie é dentista ou nao é dentista.
MC) Felicidades!

9) ()x>2

hh) (_) Todos os meses do ano tém 28 dias.

U) x=3 éraizde x ~ 3x

2. Um aviäo caiu em uma área nao coberta pelo radar. Apenas o piloto se
salvou, conseguindo alcançar a praia de uma ilha. Nessa ilha morava
um aborigene que mentia as tercas, quartas e quintas-feiras e falava
a verdade nos outros dias da semana. Um dia o piloto encontrou o
aborigene, que Ihe disse:"Ontem foi um dos meus dias de mentir:

A partir da dedugáo correta da informagáo do aborigene, que dias da
semana poderiam ser?

3. Considere as seguintes proposigóes:

p: O Brasil situa-se na América do Norte.

9: Quatro é múltiplo de oito.
r: À adiçäo e a subtragäo säo operagóes inversas,

Com base nos valores lógicos das proposigóes p, q er atribua um valor
lógico as seguintes proposigöes:

a.
b) (gar

a mtr pr ren enn ine ©

28. 6.

9 Cpva
dl () rap
e (aver

Trés senhoras, Dona Branca, Dona Rosa e Dona Violeta, passeavam
pelo parque, quando Dona Rosa disse:

= Nao é curioso que estejamos usando vestidos de cores branca, rosa
e violeta, embora nenhuma de nós esteja usando um vestido de cor
igual ao seu próprio nome?

= Uma simples coincidéncia, respondeu a senhora com vestido violeta.
Qual a cor do vestido de cada senhora?

Se alguem diz:"Näo nego que jamais deixarei de fumar', continuará a
fumar ounnäo?

Na sua frente vocé tem trés caixas e apenas uma delas tem um pre-
sente dentro. A única pista para descobrir onde está o presente sáo as
instruçôes na frente das caixas. Porém, náo se esquega, apenas uma
das inscrigöes é verdadeira. Onde está o presente?

Caixa 1:0 presente está aqui.
Caixa 2:0 presente nao está aqui.
Caixa 3:0 presente nao está na Caixa 1.

Quatro amigos vo ao teatro e um deles resolveu entrar sem comprar

© ingresso. Aparece um guarda que quer saber qual deles entrou sem
pagar.

= Eunáofui, diz Ana.
= Foi o Bruno, diz Carlos.
- Foi a Deise, diz Bruno.

= O Carlos nao tem razáo, diz Deise.

Se só um deles mentiu, quem entrou sem pagar?

m mtr pr ent enna ne SDE

29. Proposes simples composts

8. No ponto de ónibus escutei uma conversa curiosa entre dois amigos.
Um deles dizia que dificilmente seria enganado, pois era muito esper-
to. O outro resolveu, entáo, testar a esperteza do "modesto”e fez a ele
as seguintes afırmagdes:

1) Voulhe dizer cinco verdades.
2) Afrase anterior é mentira.
3) Afrase anterior é mentira.
4) Afrase anterior é mentira.

5) Afrase anterior é mentira.

Eno final perguntou: quantas verdades eu disse?

9. Emesto comprará quatro passagens aéreas para dar uma de presente
para cada um de seus quatro sobrinhos. Para definir a época em que
-ruma frase, Se a frase fosse

iréo viajar, Ernesto pediu para cada um:
verdadeira, o sobrinho viajaria imediatamente; se fosse falsa, o sobri-
nho s6 viajaria no próximo més. O quadro apresenta as frases que cada
sobrinho falou:

Ana Vijare par os Estados Unidos.
Bruno Meuvooserádiumo.

Carlos Vajareino préximo més.

Diego MIN lOAtltico:PR EG melhortime do mundo]

A partir das frases ditas, Ernesto nao pode definir a época da viagem
de qual sobrinho?

10. Mostre que as proposigóes ~(p Aq) e (~pv ~q) sao logicamente equi-
valentes.

11.Numa cidade, um barbeiro corta o cabelo somente de todas as pes-
soas que nao cortam o pröprio cabelo. Esse barbeiro corta o proprio
cabelo?

m mtr pr ent enna ne SDE

30. Referéncias
ABELARDO, Pedro. Lógica para Principiantes. Petröpolis:Vozes, 1994.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciagäo à Lógica Matemática. Sao Paulo: Nobel,
2003. 203 p.

ARISTÓTELES, Tópicos. Sáo Paulo: Abri Cultural, 1973. (Coleçäo Os Pensadores).
Organon. Sao Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleçäo Os Pensadores)

BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A História da Lógica, Lisboa: Edisöes 70, 1982.
127p.

CASTRUCCI, Benedito. Introdugäo à Lógica Matemática, 6 ed. Säo Paulo: Nobel,
1986. 158 p.

DESCARTES, René. Discurso do Método, 4. ed. Sáo Paulo: Martins Fontes, 2003.
102p.

KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica, 12. ed. Petrópolis:
Vozes, 2000. 179 p.

KOPNIN, P.V. A Dialética como Lógica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janei-
ro, 1978. 353 p.

LAUSCHNER, Roque. Lógica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos,
1984. 207 p.

LIARD, L. Lógica. 6. ed. Sáo Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p.

LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. Sáo Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337
p.

MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto - lógica, conjuntos e fun-
<ües. Sáo Paulo: Scipione, 1988. 240 p.

Lógica? É Lógico! Sao Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Colegáo Vivendo a
Matemática).

MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia Il: a ordem dos conceitos, lógica
menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980.318 p.

m mtr pr ent > Vilas ne SDE

31. Proposes simples composts

NAHRA, Cinara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petropolis: Vozes,
1997. 174 p.

OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lógica Aritmética. Brasília: Unß, 2004. 241 p.
SALMON, Wesley C. Lógica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p.

SERATES, Jonofon. Ra

inio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 432 p.v.1

_____:Raciocinio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 467 p. v.2.

SMULLYAN, Raymond. Alice no País dos Enigmas. Rio de Janeiro: Jorge Zahar,
2000. 191 p.

SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lógica elementos da Lógica Formale Teoria
da Argumentacáo. Sáo Paulo: Atlas, 2003. 187 p.

TELLES JR, Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. Sao Paulo: Edusp, 1973. 367
P.

re mtr pr pat enna ne SE

32. Proposiges simples composts

Gabarito

2.

3

av
b) x
oF
dx
ev
x
9) x
nv
nv

Terga-feira ou sexta-feira

av

Dona Rosa ->vestido branco
Dona Violeta vestido rosa
Dona Branca vestido violeta
Continuará a fumar.

O presente está na caixa 2

m mtr pr at o Vibra es SDE RIS.

33. Poposcessimples composts
7. Deise

8. Duas verdades.

9. Carlos.

10. Tabela-verdade:

‘As colunas associadas ás proposigóes -{pA q) e (~pv~q) so idénticas.
Isso comprova a validade da equivaléncia lógica.

11.0 barbeiro corta o cabelo de todas as pessoas que náo cortam seu
proprio cabelo esomente delas. Assim, se ele corta seu pröprio cabelo,
entáo ele é uma pessoa que nao corta seu próprio cabelo. Por outro
lado, se ele nao corta seu próprio cabelo, entáo ele corta seu proprio
cabelo. Estamos diante de um paradoxo. Nao existe um barbeiro nes-
sas condigöes.

En mar pr ren > Vil e SDE ASS.