Radio de curvatura

radio de curvatura

1. Radio de curvatura
En el lenguaje ordinario, decimos
que un trozo de carretera Δstiene más curvatura que otro cuando el cambio de
dirección Δθ es mayor a igualdad de camino recorrido en ambos. Compárese
la figura de la izquierda con la de la derecha
El radio ρ de curvatura medio e instantáneo se definen, respectivamente,
<ρ>=ΔsΔθ ρ=limΔs→0ΔsΔθ =dsdθ
El radio de curvatura ρ y el centro C de curvatura
se determinan del siguiente modo: Se traza la tangente a un punto de la
trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se toma un punto muy
próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto.
Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la
distancia de C a uno u otro punto de la trayectoria, infinitamente próximos
entre sí, se denomina radio de curvatura ρ.
Si el ángulo comprendido entre las dos tangentes es dθ, este es el ángulo que
forman las dos normales. La longitud del arco entre los dos puntos
considerados es ds=ρ·dθ .
Dada la función y=f(x), vamos a determinar la fórmula que nos permite
calcular el radio de curvatura ρ de la curva en la posición de abscisa x.

2. Como vemos en la figura, en el triángulo
rectángulo de base dx, altura dy e hipotenusa ds, establecemos las siguientes
relaciones
tanθ=dydx ds=dx2+dy2−−−−−−−−√=1+(dydx)2−−−−−−−−√dx



La fórmula del radio de curvatura es
ρ=dsdθ=1+(dydx)2−−−−−−−−√dxdarctandydx=1+(dydx)2−−−−−−−−√dxd2ydx2dx1+(dydx)2=(1+(dydx)2)3/
2d2ydx2
El radio de curvatura es una cantidad positiva