Rango y nulidad de una matriz

1. RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ Lic YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO

2. DEFINICION DE ESPACIO RENGLON Y ESPACIO COLUMNA Sea A una matriz de mxn . 1. El espacio renglón de A es el subespacio de g enerado por los vectores renglón de A. 2. El espacio columna de A es el subespacio de g enerado por los vectores columna de A.  

3. EJEMPLO 1

4. TEOREMA 1: Las matrices equivalentes por renglones tienen el mismo espacio renglón Si una matriz A mxn es equivalente por renglones a una matriz B mxn , entonces el espacio renglón de A es igual al espacio renglón de B. Lo anterior significa qu el espacio renglon de una matriz no se modifica por la aplicación de operaciones elementales en los renglones.

5. TEOREMA 2:Base para el espacio renglón de una matriz Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B que está en forma escalonada, entonces los vectores renglón de B diferentes de cero forman una base del espacio renglón de A. EJEMPLO 2

6. SOLUCIÓN EJEMPLO 2

7. EJEMPLO 3

8. EJEMPLO 4

9. TEOREMA 3:Los espacios de los renglones y las columnas tienen iguales dimensiones Si A es una matriz mxn ,entonces el espacio del renglón y el espacio de la columna de A tienen la misma dimensión

10. DEFINICION DEL RANGO DE UNA MATRIZ La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz A se llama rango de A y se denota por rango de (A).

11. TEOREMA 4:Soluciones de un sistema homogéneo Si A es una matriz de mxn entonces el conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones lineales Ax =0 es un subespacio de . OBSERVACION El espacio solución de Ax =0 también se denomina espacio nulo de la matriz A . Además,la dimensión del espacio solución se denomina NULIDAD de A.  

12. EJEMPLO

13. TEOREMA:DIMENSIÓN DEL ESPACIO SOLUCION Si A es una matriz de mxn con rango r, entonces la dimensión del espacio solución de Ax =0 es n-r. En conclusión: Rango + nulidad =n

14. EJEMPLO 7

15. TEOREMA:SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL NO HOMOGENEO SI Xp es una solución particular del sistema no homogéneo, entonces toda solución de este sistema puede escribirse en la forma X= Xp+Xh donde Xh es una solución del sistema homogéneo Ax =0 correspondiente.

16. ejemplos:

17. Teorema :Numero de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

18. ejemplo