Razões trigonométricas

Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

2. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
1


01. (Ime 2020) Um triângulo equilátero é projetado ortogonalmente em um plano, gerando um triângulo isósceles,
cujo ângulo desigual mede 30 .° O cosseno do ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de projeção é

a) 23 3−
b) 4 23−
c) 23−
d) 13−
e)
3
1
2
−

02. (Epcar) 2020) À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT
(Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de 3 m, estacionado paralelamente ao
solo a 30 m de altura. O VANT está a uma distância y metros de um holofote que foi instalado no helicóptero. O feixe
de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana e produz uma sombra circular de centro O e
raio R. O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo de 60° com o feixe de luz, conforme se vê na figura
seguinte.



Nesse momento, uma pessoa que se encontra num ponto A da circunferência da sombra corre para o ponto O, pé
da perpendicular traçada do holofote à região plana. A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A até O é
um número entre
a)
18 e 19
b) 19 e 20
c) 20 e 21
d) 22 e 23

03. (Ita 2019) Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado
BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM. A tangente do ângulo MÂN é igual a

a)
1
.
35

b)
2
.
35

c)
4
.
35

d)
8
.
35

e)
16
.
35

3. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
2



04. (Espcex 2018) Seis círculos de raio 1cm são inseridos no paralelogramo MNPQ, de área
2
X cm , de acordo com a
figura abaixo.



Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do paralelogramo, a área X, em
2
cm , é

a) 11 6 3.+
b)
30 14 3
.
3
+

c) 10 5 3.+
d) 11 6 3.−
e)
36 20 3
.
3
+


05. (Ita 2018) Em um triângulo de vértices A, B e C são dados
ˆˆ
B ,C
23
ππ
= = e o lado BC 1 cm.= Se o lado AB é o
diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em
2
cm , é

a)
33
.
8 16
π
−
b)
53
.
42
π
−
c)
5 33
.
84
π
−
d)
53
.
16 8
π
−
e)
5 33
.
8 16
π
−

4. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
3



06. (Efomm 2016) Determine o perímetro do triângulo ABD, em cm, representado na figura abaixo:



a) 53 5+
b) 5( 2 2 )( 3 1)++
c) 20 4 5+
d) 45
e) 50

07. (Epcar) 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em
P, conforme figura abaixo.



Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC 6 3 km,=
então CP é, em km, igual a

a) 63+
b) ( )63 3−
c) 93 2−
d) ( )9 21−

08. (Ita 2015) Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo a, 2a e a. Dentre esses triângulos,
o de maior hipotenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a

a)
3
arctg .
4

b)
3
arctg .
3

c)
1
arctg .
2

d)
3
arctg .
5

e)
4
arctg .
5

5. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
4



09. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles cuja área mede a razão entre as medidas da altura e da
base é igual a Das afirmações abaixo:

I. As medianas relativas aos lados e medem
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana relativa ao lado então

é (são) verdadeira(s)

a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas III
d) Apenas I e III
e) Apenas II e III

10. (Ime 2014) Sejam uma circunferência
C com centro O e raio R, e uma reta r tangente a C no ponto T. Traça-
se o diâmetro AB oblíquo a r. A projeção de AB sobre r é o segmento PQ. Sabendo que a razão entre OQ e o raio
R é
7
,
2
o ângulo, em radianos, entre AB e PQ é

a)
4
π

b)
6
π

c)
5
18
π

d)
3
π

e)
7
18
π


11. (Espcex 2014) Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado
um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes
procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou
no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir
ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de
3
π
rad para o ângulo
ˆ
ACB.

Qual foi a largura do rio que ele encontrou?

a) 9 3 metros
b) 3 3 metros
c)
93
metros
2

d) 3 metros
e) 4,5 metros




ABC,
2
48cm , AP
BC
2
.
3
ABAC 97 cm;
α BC BM, AC,
3
cos ,
97
α=

6. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
5



12. (Esc. Naval 2014) Um observador, de altura desprezível, situado a 25 m de um prédio, observa-o sob um certo
ângulo de elevação. Afastando- se mais 50 m em linha reta, nota que o ângulo de visualização passa a ser a metade
do anterior. Podemos afirmar que a altura, em metros, do prédio é

a) 15 2
b) 15 3
c) 15 5
d) 25 3
e) 25 5

13. (Espcex 2013) Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da
antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o
horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura.



Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado por

a)
()sen h
R
1 sen
α
α
=
−

b)
hsen
R
1 sen
α
α
=
−

c)
hsen
R
sen – 1
α
α
=
d)
1 sen
R
hsen
α
α
−
=
e)
1 sen
R
hsen
α
α
+
=

7. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
6



14. (Epcar 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão.
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.



O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma
distância BR de medida 62 metros. Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e
desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros,
é um número entre

a) 3 e 4
b) 4 e 5
c) 5 e 6
d) 6 e 7

15. (Epcar 2011) Em relação à figura abaixo, tem-se CÂD 30º, AC 2 cm e BC 4 cm= = = .



Se AC CB e AD DB⊥⊥ , então, BD, em cm, é igual a

a)
63
3
−

b) 63 3−
c) 23 1−
d)
43
2
−







GABARITO

1 - A 2 - C 3 - C 4 - E 5 - D
6 - B 7 - B 8 - C 9 - A 10 - B
11 - A 12 - D 13 - B 14 - B 15 - C