Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sea el triángulo rectángulo A B C, en donde A y B son ángulos agudos y el
ángulo C es recto, y además los lados “a” y “b” Se llaman catetos y el lado “c” se
llama hipotenusa.
En función del ángulo A, el lado “a” se llama cateto opuesto y el lado “b
cateto adyacente.
El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que
existe entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

c
a

x a opuesto Cat.
Sen x ==
ahipotyenus

El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre
el cateto adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.
c
b

x a adyacente Cat.
x ==
hipotenusa
Cos

La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente
entre el cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.
b
a

.
x opuestoa Cat.
x ==
xaadyacenteCat
Tag

B
c a


x
b

2. La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente
entre el cateto ayacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x.
a
b

xa .
x a adyacente Cat.
x ==
opuestoCat
Ctg


La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa
( c ) y el cateto adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.
b
c

xa adyacente .
hipotenusa
x ==
Cat
Sec

La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón
entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x.

a
c

xa opuesto .
hipotenusa
x ==
Cat
Csc


VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 30º -
45º - 60º
Para calcular los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de
30º y 60º, usaremos un triángulo equilátero, cuyo lado miden 2 unidades longitud y
al cual le trazaremos la altura que calcularemos a través del TEOREMA DE
PITÁGORAS
h =

B
2
C
c =

2
A
b
2
+ h
2
= c
2
h
2
= c
2
- b
2
22
b - c h =Þ

3 1 - 4 1 - 2 h
222
===
30º
60º

3. Para el ángulo de 30º, el cateto apuesto (b) mide una (1) unidad de
longitud, el cateto adyacente (h) mide 3 unidades de longitud y la hipotenusa (c)
mide 2 unidades de longitud.
Los valores de las funciones trigonométricas de 30º se obtendrán al aplicar
las definiciones de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
2
1

hipotenusa
30º a opuesto Cat.
30º ==Sen


2
3

30º a adyacente Cat.
30º ==
hipotenusa
Cos


3
3

3
1

30º .
30º a opuesto Cat.
30º ===
aadyacenteCat
Tag (Racionalizando)

3
1
3

30º a .
30º a adyacente Cat.
30º ===
opuestoCat
Ctg

3
3 . 2

3
2

adyacente .
hipotenusa
30º ===
Cat
Sec (racionalizando)

2
1
2

opuesto .
hipotenusa
30º ===
Cat
Csc

El triángulo anterior será usado para calcular los valores para 60º, sólo que
los catetos cambian, es decir, opuesto será el adyacente y viceversa.
2
3

60º a opuesto Cat.
60º ==
hipotenusa
Sen

2
1

60º a adyacente Cat.
60º ==
hipotenusa
Cos
60º a .
60º a opuesto Cat.
60º
adyacenteCat
Tag= = 3
1
3
=

4. 60º a .
60º a adyacente Cat.
60º
opuestoCat
Ctg= =
3
3

3
1
= (racionalizando)

2
1
2

60º a .
hipotenusa
60º ===
adyacenteCat
Sec


3
3 . 2

3
2

60º a .
hipotenusa
60º ===
opuestoCat
Csc (racionalizando)
Debes observar que los valores de las razones trigonométricas para los
ángulos de 30º y 60º se intercambian por ser complementarios, es decir la suma
de sus medidas es igual a 90º .
Los valores de las razones trigonométricas se obtendrán usando un
cuadrado cuyos lados miden unas unidades de longitud y a la cual se le Trazará
una diagonal cuya longitud será calculada mediante el TEOREMA DE
PITÁGORAS.

B D
2
2

2
1

45º a opuesto Cat.
45º ===
hipotenusa
Sen (racionalizando)

2
2

2
1

45º a adyacente Cat.
45º ===
hipotenusa
Cos (racionalizando)
c=2
A
a = 1
b = 1 C

5. 1
1
1

45º a adyacente Cat.
45º a opuesto Cat.
45º ===Tag

1
1
1

45º a .
45º a adyacente Cat.
45º ===
opuestoCat
Ctg

2
1
2

45º a adyacente .
hipotenusa
45º ===
Cat
Sec

2
1
2

45º a .
hipotenusa
45º ===
opuestoCat
Csc

El ángulo de 45º es complementario con él mismo, ya que: 45º + 45º es
igual a 90º.
EN RESUMEN
Ángulos
Razones
30º 45º 60º
Seno
2
1
2
2
2
3
Coseno
2
3
2
2 2
1
Tangente
3
3
1 3
Cotangente 3 1

6. 3
3
Secante
3
3 2
2 2
Cosecante 2 2
3
3 2

7. 3
3
Secante
3
3 2
2 2
Cosecante 2 2
3
3 2

8. 3
3
Secante
3
3 2
2 2
Cosecante 2 2
3
3 2

9. 3
3
Secante
3
3 2
2 2
Cosecante 2 2
3
3 2