ÁREA DEL TRIÁNGULO Y PARALELOGRAMO

1. VectoresVectores
NotaciónA
Módulo A> 0
A
Direcciónjθ,
x
y
z
θ
j
A
j
x
y

2. Propiedades Propiedades
de Vectoresde Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a
si mismo
A

B

C

CBA

==

3. Suma de Suma de
VectoresVectores
B
A
R
B
A
C
C
Ley del polígono

4. El vector resultante es
aquel que vector que va
desde el origen del primer
vector hasta el extremo del
ultimo

5. A

B

C

D

Entonces si se tiene los
siguientes vectores
El vector resultante
de la suma de todos
ellos será:

6. A

B

C

D

DCBAR

+++=
R


7. Propiedades Propiedades
de Vectoresde Vectores
A
Opuesto
-A
Nulo 0 =A + ( )-A
Vector unitario

A
A


=μ
u

®
=mAA


8. Propiedades Propiedades
de la suma de de la suma de
VectoresVectores
Ley
Conmutativa
ABBAR +=+=
Ley Asociativa
C)BA)CBAR

++=++= ((
Diferencia
B-AR

=
)B(-AR

+=
A
B
A
-B
R

9. Ley conmutativa
¿Como se explica esta regla?
Los vectores A y B pueden ser
desplazados paralelamente para
encontrar el vector suma
B
R
= A
+ B
A
B R
= B
+ A
(Método paralelogramo)
B R
= A
+ B

10. Multiplicación de un vector por un
escalar
Dado dos vectores ByA

Se dicen que son paralelos siBA

a=
BAsi

­­>0a
BAsi

­¯<0a
BAsi

==1a

11. A

B

AB

2
1
=
A

B

AB

4
1
-=

12. Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores
A B
C
A B
CR = 2

13. Vectores unitarios en el plano
iˆ
jˆ
x
y
iˆ
Vector unitario en la dirección del eje x
+
jˆ
Vector unitario en la dirección del eje y
+

14. Vectores unitarios en el espacio
x
y
z
iˆ
jˆ
kˆ

19. Representación Representación
de un vectorde un vector
x
y
z
θ
j
A
A
x
A
y
A
z
θsenAA
x
jcos=
θsenAsenA
y
j=
θcosAA
z=
222
zyx AAAAA ++==

kAjAiAA
zyx

++=

20. Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia.
Permanece invariante en cualquier
sistema coordenado

21. Determínese la resultante de los
siguientes vectores
+
A

4u 3u
B

BAR

+=
7u

22. +
A

B

8u 4u=
BAR

+=
4u

23. Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección podemos
determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en
la misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud ?

24. 4u
3
uA

B

La magnitud en este caso no puede determinarse
directamente , por lo que debemos tratar de
buscar otra forma de determinarla
BAR

+=

25. A

B

y
A

xA

x
B

y
B

4u
3u
5
u
6u
8
u
1
0
u

26. y
A

xA

x
B

y
B

4u
3u
6u
8
u
yxAAA

+=
yxBBB

+=
A

B


27. yy
BA

+
xxBA

+
10u
5u
yyxx
BABAR

+++=
Por Pitágoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante
uR 55510
22
=+=

28. y
A

x
A

xB

yB

xC

y
C

xD

y
D


29. yyyyy DCBAR

+++=
xxxxx
DCBAR

+++=
x
R

yR

15 u
5 u
yxRRR

+=
105R=

30. x
y
z
(x
1
,y
1
,z
1
)
(x
2
,y
2
,z
2
)
A

Dados los puntos
indicados el vector que
los une esta
representado por

31. x
y
z
(x
1
,y
1
,z
1
)
(x
2
,y
2
,z
2
)
A

k)z(zj)y(yi)x(xA
121212
ˆˆˆ -+-+-=


32. Producto Producto
escalar de dos escalar de dos
vectoresvectores
θABBA cos=×

cosθAA
B
=
Proyección de A sobre B

cosθBB
A
=
Proyección de B sobre A

33. Determinese la suma de los siguientes vectores:
Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ++=

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ-+=

kji4C ˆ2ˆ7ˆ--=


34. Ejemplo 9
Dados los vectores:
kˆ3jˆ5iˆ4B
kˆ5jˆ3iˆ3A
-+=
-+=


Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b) el ángulo que forman entre sí.

35. A = b · h
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores
coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
.

36. Ejemplo
Dados los vectores
Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores
4-(-3)i-(12-(-2))j+(9-2)k

37. Área del triángulo
El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.
La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ejemplo
Hallar el área del siguiente triángulo:
Área de un triángulo equilátero
Ejemplo
Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm
de lado.

38. Área de un triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido
por 2.
Ejemplo
Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3
y 4 cm.
Semiperímetro
El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido
por 2.
Se nombra con la letra p.

39. Fórmula de Herón
La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres
lados.
Ejemplo
Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4
y 5 cm.
Circunferencia circunscrita a un
triángulo
R = radio de la circunferencia
circunscrita

40. Circunferencia inscrita en un triángulo
r = radio de la circunferencia inscrita
p = semiperímetro
Conociendo dos lados y el ángulo que forman.

41. Área de un triángulo por
determinantes
Para resolver el determinante de orden tres utilizamos la REGLA DE SARRUS
El determinante está en valor absoluto
Ejemplo
Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).
A(a
1
,a
2
), B(b
1
,b
2
), C(c
1
, c
2
)
=(8+0+15)
+ + +- - -
23-2=21
21/2 u
2
-(-8+10+0)=

42. Área de un triángulo por
vectores
Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

48. EJERCICIO PROPUESTOS

49. GRACIAS