áReas laterales totales y volumenes de

Teoría y taller de geometría para grado 9°, 10°, 11° y Egresados
Profe: Jorge Flórez Vega

1. ÁREAS LATERALES TOTALES Y VOLUMENES DE
PIRAMIDE

ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE.
La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que
une la base con el vértice.
La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de
cualquiera de sus caras laterales.
Aristas laterales. Son las que concurren en el vértice.
Aristas básicas. Son las aristas de la base.
Fórmula para calcular la Apotema de la pirámide ??????
�=ℎ
2
+�??????
2
2





ÁREA LATERAL:
??????
�=??????��??????����� �� �� ����


??????
�=
??????
??????.????????????
2

ÁREA TOTAL.
??????
�=Á��� �� �� ����
??????
�=??????
�+??????
�
VOLUMEN: ??????=
??????
????????????ℎ
3

2. Ejemplos.
1. Hallar el área lateral, total y volumen de una pirámide cuadrangular de lado 10cm, de apotema
principal 13cm y de altura 12cm.
Área lateral: ??????
�=
??????
????????????????????????
2
=
4??????10��??????13��
2
=
520��
2
2
=260��
2

Área de la base: ??????=�
2
=(10��)
2
=100��
2

Área total = ??????
�=??????
�+??????
� = 260��
2
+ 100��
2
=360��
2

Volumen: ??????=
??????
????????????ℎ
3
=
100��
2
??????12��
3
=
1200��
3
3
=400��
3

2. Hallar el área lateral, total y volumen de una pirámide hexagonal de 16cm de arista básica y
28 cm de arista lateral.



Apotema : 28
2
=??????
�
2
+8
2

784=??????
�
2
+64 784−64=??????
�
2

720 =??????
�
2
√720=??????
� 26.83=??????
�
. Área lateral: ??????
�=
??????
????????????????????????
2
=
6??????16��??????26,83��
2
=
2575.68��
2
2
=
1287,84��
2

Apotema de la base: 16
2
=�
�
2
+8
2

256=�
�
2
+64 256−64=�
�
2

192=�
�
2
√192=�
� 13,86=�
�
Área de la base:
??????
�=
????????????�
??????
2
=
6??????16��??????13,86��
2
=
1330,56��
2
2
=
665,28��
2

Área total = ??????
�=??????
�+??????
� = 1287,84��
2
+
6??????16��??????13,86��
2
=1287,84��
2
+
665,28��
2
=1953,12��
2


Altura de la pirámide: (26,83)
2
=
(13,86)
2
+ℎ
2
719,84−192,09=ℎ
2

527,75=ℎ
2
√527,75=ℎ 22,97=ℎ
Volumen: ??????=
??????
????????????ℎ
3
=
665,28��
2
??????22,97��
3
=
15281,48��
3
3
=5093,83��
3

3. CILINDRO
Es el cuerpo engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados




ELEMENTOS
EJE: Es el lado fijo alrededor del cual gira el
rectángulo
GENERATRIZ: Es el lado opuesto al eje, y es el
lado que engendra el cilindro.
BASES: Son los círculos que engendran los
lados perpendiculares al eje.
ALTURA: Es la distancia entre las dos bases,
esta distancia es igual a la generatriz.
r = radio g = Generatriz h = Altura
Área lateral: ??????
�=2??????�??????ℎ
Área de las bases (2 círculos): ??????
�=2??????�
2
Área total = ??????
�=??????
�+??????
�=2??????�??????ℎ+2??????�
2
Volumen: ??????=??????
�??????ℎ=??????�
2
??????ℎ
EJEMPLOS:
1. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de radio 10cm y de altura
el doble del radio.
R= 10cm, h = 2R = 2x10cm = 20cm.
??????
�= 2??????�??????ℎ = 2x??????x10cmx20cm = 400??????��
2
??????
�=2??????�
2
=2????????????(10��)
2
=2????????????100��
2
=200??????��
2
Área total : ??????
�=??????
�+??????
�=400??????��
2
+200??????��
2
=600??????��
2
Volumen: ??????=??????
�??????ℎ=??????�
2
??????ℎ=??????(10��)
2
??????20��=????????????100��
2
??????20��=2000??????��
3


2. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de diámetro 5√2cm y de
altura 10√2��.
D = 2r , �=
??????
2
=
5√2
2
��
??????
2
=�
??????
�= 2??????�??????ℎ=2??????
5√2
2
��??????10√2��=
2????????????5??????10??????√2
2
��
2
2
=
100????????????2��
2
2
=100??????��
2

??????
�=2??????�
2
=2????????????(
5√2
2
��)
2
=2????????????
(5
2√2
2
)
2
2
��
2
=2??????
25??????2
4
��
2
=
100??????
4
��
2
=25??????��
2

Área total : ??????
�=??????
�+??????
�=100??????��
2
+25??????��
2
=125??????��
2

4. Volumen: ??????=??????
�??????ℎ=??????�
2
??????ℎ=??????(
5√2
2
��)
2
??????10√2��=??????
(5
2
√2
2
)
2
2
��
2
??????10√2��=
??????
25??????2
4
��
2
??????10√2��=
100??????
4
��
2
??????10√2��=250√2??????��
3


3. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de radio 2bcm y de altura
11bcm. ??????
�= 2??????�??????ℎ=2?????? ??????2���??????11���=44�
2
??????��
2

??????
�=2??????�
2
=2????????????(2���)
2
=2????????????4�
2
��
2
=8�
2
??????��
2

Área total : ??????
�=??????
�+??????
�=44�
2
??????��
2
+8�
2
??????��
2
=52�
2
??????��
2
Volumen: ??????=??????
�??????ℎ=??????�
2
??????ℎ=????????????(2���)
2
??????11���=4�
2
??????��
2
??????11���=44�
3
??????��
3


CONO

Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de
uno de sus catetos.





ELEMENTOS
Eje: Es el cateto fijo
alrededor del cual gira el
triángulo.
Base: Es el círculo que
forma el otro cateto.
Generatriz: Es la hipotenusa
del triángulo rectángulo.
Altura: Es la distancia del
vértice a la base.


r = radio g = Generatriz h = Altura
Teorema de Pitágoras, para hallar generatriz
??????
2
=ℎ
2
+�
2

Área lateral: ??????
�=????????????�????????????
Área de las bases (círculos): ??????
�=??????�
2
Área total = ??????
�=??????
�+??????
�=????????????�????????????+??????�
2
Volumen: ??????=
??????
????????????ℎ
3
=
??????�
2
??????ℎ
3

5. Ejemplos

1. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá
utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
Datos r = 15cm, g = 25cm
Área lateral: ??????
�=3,14??????15��??????25��= 1177,5��
2

Total de Cartón= 10x1177,5��
2
=11775��
2


2. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de
la base es de 5 cm.
Datos r = 5cm, g = 13cm h = ?
Área lateral: ??????
�=3,14??????5��??????13��= 204,1��
2

Área de las bases (círculos): ??????
�=??????�
2
=3.14??????(5��)
2
=3,14??????25��
2
=78,5��
2
Área total = ??????
�=??????
�+??????
�=204,1��
2
+78,5��
2
=282,6��
2
Falta h = Teorema de Pitágoras. ??????
2
=ℎ
2
+�
2
→13
2
=ℎ
2
+5
2
→169=ℎ
2
+25→
169−25=ℎ
2
→144=ℎ
2
→√144=ℎ→ℎ=12��
Volumen: ??????=
??????
????????????ℎ
3
=
3.14??????(5��)
2
??????12��
3
=
3,14??????25��
2
??????12��
3
=
942��
3
3
=314��
3

ESFERA
Superficie esférica: Es la
superficie engendrada por una
circunferencia que gira sobre su
diámetro.
Esfera: Es la región del espacio
que se encuentra en el interior de
una superficie esférica.




ELEMENTOS

Centro: Punto interior que
equidista de cualquier
punto de la esfera.

Radio: Distancia del centro
a un punto de la esfera.

Cuerda: Segmento que une
dos puntos de la superficie.

Diámetro: Cuerda que pasa
por el centro.

Polos: Son los puntos del
eje de giro que quedan
sobre la superficie esférica.


Área total: ??????
�=4??????�
2


Volumen: ??????=
4
3
??????�
3

6. CIRCUNFERENCIAS EN UNA ESFERA

Paralelos: circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con
planos perpendiculares al eje de revolución.
Ecuador: Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el
plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la
esfera.
Meridiano: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con
planos que contienen el eje de revolución.

Ejemplos.

1. Hallar el área y el volumen de una esfera de radio 20cm.
Área total: ??????
�=4??????�
2
=4??????3.14??????(20��)
2
=4??????3.14??????400��
2
=5024��
2


Volumen: ??????=
4
3
??????�
3
=
4
3
??????3.14??????(20��)
3
=
4
3
??????3.14??????400��
3
=
5024
3
��
3

=1674,6��
3

2. Calcular el volumen de una semiesfera de 10cm de radio.

Volumen: ??????=
4
3
??????�
3
=
4
3
??????3.14??????(10��)
3
=
4
3
??????3.14??????100��
3
=
1256
3
��
3

=418.6��
3

Volumen de la semiesfera =
??????
2
=
418.6
2
��
3
=209,3��
3

7. 3. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro
de 2 m de altura.

4. Calcular el área del
círculo resultante de cortar
una esfera de 35 cm de
radio mediante un plano
cuya distancia al centro de
la esfera es de 21 cm.







Área total: ??????
�=4??????�
2
=
4??????3.14??????(1�)
2
=4??????3.14??????1�
2
=
12,56�
2


Volumen: ??????=
4
3
??????�
3

=
4
3
??????3.14??????(1�)
3
=
4
3
??????3.14??????1��
3
=
12,56
3
��
3

=4,18��
3


DATOS
Radio de la esfera 35cm
Distancia del plano al
centro de la esfera 21cm
Radio del círculo no se
conoce.
Por Pitágoras
35
2
=21
2
+�
2

1225=441+�
2

1225−441=�
2

784=�
2

√784=�
28 =r
??????
=??????�
2
=3.14??????(28��)
2
=3,14??????784��
2
=2461,76��
2

8. TALLER
1. En la figura hallar. Área lateral, total y
volumen del cilindro y de la esfera.
Que cantidad de volumen queda en el
cilindro sin ocupar por la esfera.

2. Si R=5cm, x= 4cm
Hallar: Área latera, total, volumen de la
esfera y del cono






3. En la figura hallar. Área lateral, total y
volumen del cubo y del cono.
Que cantidad de volumen queda en el
cubo sin ocupar por el cono.


4. En la figura. Hallar Área lateral, total y
volumen.

9. 5. En la figura. Hallar d= , D= , el área
latera, el área total, el volumen y el área
del triángulo formado por las diagonales.

6. En la figura: Hallar área de la esfera,
volumen, área de circulo de radio R, área
del circulo de radio r, si R= 13cm, d=5cm

7. En la figura: hallar el volumen de
papel.

8. En la figura; Hallar el área total y el
volumen total.




9. En la figura: Hallar área lateral, total,
volumen de la esfera y del cilindro.
Que cantidad de volumen queda en el
cilindro sin ocupar por la esfera.

10. 10. En cada una de las siguientes figuras:
Hallar el área lateral, total y volumen

11.



12.

13.

14.
.