Recta real e intervalos

A continuación se exponen conceptos relacionados con la recta real, orden entre los números reales e intervalos

1. Recta real e intervalos Francisco Niño Rojas

2. R ecta real (orden entre los números reales) Lo números reales pueden ser representados por puntos sobre una recta, a esta recta se le llama recta de los números reales o recta numérica o recta real. A cada número real le corresponde exactamente un punto sobre la recta y a cada punto sobre la recta real, llamado coordenada, le corresponde un número real. Inicialmente se escoge un punto de partida , llamado el origen, y se le asigna el número real 0 (cero). Las posiciones ubicadas a la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas , como se muestra a continuación, el numero 0 no es ni positivo, ni negativo.  

3. I lustración El punto se ubica a la derecha del origen como lo muestra la figura. De manera similar se ubican los números , y . Análogamente la coordenada del punto situado 1.5 unidades hacia la izquierda le corresponde le corresponde el número .  

4. Orden entre los números reales Es importante resaltar la diferencia entre un número real negativo y el negativo de un número real. Por ejemplo, el negativo del número real es . Es así, que el negativo de un número real, puede ser positivo. En términos generales tenemos las siguientes relaciones. Si es un numero positivo, entonces es negativo Si es un numero negativo, entonces es positivo A continuación definimos las nociones de mayor que y menor que para números reales y . Los símbolos y son signos de desigualdad, y las expresiones y se conocen como desigualdades. El siguiente cuadro resume la notación, definición y terminología de las desigualdades.  

5. Orden entre los números reales El siguiente cuadro resume la notación, definición y terminología de las desigualdades. Lo anterior manifiesta que si > entonces está a la derecha de , asi mismo, si , entonces está a la izquierda de .   Notación Definición Terminología es positivo es mayor que es negativo es menor que Notación Definición Terminología

6. Orden entre los números reales Ilustración , porque es positivo. , porque es negativo. , porque es positivo. , porque es negativo. Frecuentemente se señala que si un número real es positivo, es porque , análogamente, si un número real es negativo, es porque .  

7. Orden entre los números reales El conjunto de los números reales, es un conjunto ordenado. Esto quiere decir, que dados dos números reales cualesquiera, se puede decir quien es mayor, menor o igual. La siguiente ley permite comparar u ordenar, dos números reales. Ley de Tricotomía Si y son números reales, entonces exactamente una de las expresiones siguientes son verdaderas: , , o bien  

8. E jemplo ilustrativo Indique el símbolo correcto en el recuadro. Se considera que el signo de un número real es positivo si la cifra es positiva, o negativo si es negativa. Dos números reales tienen el mismo signo si ambos son positivos o ambos son negativos. Los números tienen signos opuestos si uno es positivo y el otro negativo.   < Indique el símbolo correcto (< , >, =) en el recuadro. 2 72 0,05 120 3 1.4 Solución 2 < 72 0,05 = 120 3 > 1.4 < Indique el símbolo correcto (< , >, =) en el recuadro. 2 72 0,05 120 3 1.4 Solución 2 < 72 0,05 = 120 3 > 1.4 < Indique el símbolo correcto (< , >, =) en el recuadro. 2 72 0,05 120 3 1.4 Solución 2 < 72 0,05 = 120 3 > 1.4

9. L eyes de los signos A continuación se muestra algunas leyes de los signos. Si y tienen el mismo signo, entonces y son positivos. Si y tienen el mismo opuestos, entonces y son negativos. Si es positivo, entonces y ,o, y Si es negativo, entonces y ,o, y Si es positivo, entonces y ,o, y Si es negativo, entonces y ,o, y  

10. Ejemplo ilustrativo Determine el signo de si y . Solución Como es un número positivo y es un número negativo, y tienen signos opuestos. Por lo tanto, y son ambos negativos. La suma de dos números negativos es un número negativo. Es por eso que el signo de es negativo. Dicho de otra forma  

11. D esigualdades “no estrictas” Adicional a lo anterior, existe desigualdades “no estrictas” , esto quiere decir que se puede considerar la igualdad, estas son , es mayor o igual que , significa que o (pero no ambos) y , es menor o igual que , significa que o (pero no ambos). Una expresión de la forma , se denomina desigualdad continua y quiere decir que y . Se dice que esta entre y . Análogamente, la expresión significa que y .  

12. E jemplo Ilustración de ordenamiento de tres números reales Otros tipos de desigualdades continuas son: , significa y , significa y , significa y  

13. E jemplo Establezca el orden entre los números reales y Solución Ejercicio . Ubique los puntos anteriores sobre la recta real y verifique el orden.  

14. Conjuntos e intervalos Conjuntos e intervalos A continuación se estudia la noción de conjunto con sus operaciones básicas como son la unión e intersección. Además se revisan algunos conjuntos de números reales llamados intervalos. La clasificación y representación en la recta real de los intervalos y finalmente la unión e intersección de los mismos.

15. C onjuntos Un conjunto es una colección de objetos donde estos objetos son llamados elementos del conjunto. Si es un conjunto, la notación , significa que es un elemento de , y , quiere decir que no es un elemento de . Por Ejemplo, si representa el conjunto de números enteros, , pero . Algunos conjuntos se representan mediante llaves. Por ejemplo, el conjunto que tiene los primeros números primos se puede representar También se puede representar el conjunto en notación constructiva de conjuntos como  

16. Unión e intersección entre conjuntos Si y son conjuntos, entonces la unión, que se denota , es el conjunto que contiene todos los elementos que están en o (o en ambos). La intersección de y es el conjunto y contiene los elementos que están en y a la vez. El conjunto vacío, denotado por , es el conjunto que no contiene elementos.  

17. E jemplo Si ; y , encontrar ; ; . Solución : Todos los elementos en o Elementos comunes a y y no tienen elementos en común  

18. I ntervalos Algunos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presentan con frecuencia en algunos temas de las matemáticas y corresponden a segmentos de recta. Dentro de los tipos de intervalos se distinguen el intervalo abierto y el intervalo cerrado . El intervalo abierto de hasta , está formado por todos los números reales entre y y se denota . El intervalo cerrado entre y incluye los puntos extremos, y se denota . Usando la notación constructiva se pueden escribir Los intervalos pueden incluir solo un extremo o se pueden extender hasta el infinito. A continuación se muestra la lista de posibles intervalos.  

19. I ntervalos

20. E jemplo Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y a continuación grafique el intervalo

21. E jemplo Graficar los conjuntos a. b. La intersección consta de los números que están en los dos intervalos. Es decir, Como se muestra a continuación  

22. E jemplo La unión de un intervalo consta de los números que están en un intervalo o en el otro (o en ambos). Es decir, Como se ilustra a continuación