rectas paralelas y ortogonales (2)

calculo

1. RECTAS Y PLANOS EN R
3
Conserva celosamente
tu derecho a
reexionar, porque
incluso el hecho de
pensar erróneamente es
mejor que no pensar en
absoluto. Hipatia a
Alejandría
HIPATIA DE
ALEJANDRÍA
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al nalizar la unidad, el estudiante reconoce la posición entre dos rectas en el espacio de-
terminando si son paralelas u ortogonales, halla el ángulo entre rectas y Resuelve problemas de
aplicación entre rectas
5.5. Rectas Paralelas
Dadas la rectasL1:P=P1+t
!
v1;
L2:P=P2+t
!
v2, ambas son paralelas si sus
vectores directores lo son, es decir:
L1==L2()
!
v1=
!
v2
L1==L2()
!
v1
!
v2=
!
0
Ejemplo 61.Hallar la ecuación simétrica de
la recta que pasa por el puntoA(2;1;4)y es
paralela a la rectaL1:x= 3t; y=2 + 4t; z=
5t.
Solución.:
5.6. Rectas Ortogonales
Dadas la rectasL1:P=P1+t
!
v1;
L2:P=P2+t
!
v2, ambas son ortogonales si
sus vectores directores lo son, es decir:
L1?L2()
!
v1?
!
v2
L1?L2()
!
v1
!
v2=
!
0
Ejemplo 62.Hallar la ecuación de la recta que
pasa por el puntoA(3;0;1)y es perpendi-
cular en su punto de intersección con la recta
L1:P= (2;3;2) +t(2;1;0)
Solución.:
82

2. RECTAS Y PLANOS EN R
3
5.7. Ángulo entre dos Rectas
Si dos rectas L1:P=P1+t
!
v;
L2:P=P2+t
!
wen el espacio no son parale-
las, existe la posibilidad que secrucen(presen-
tes en distintos planos) o que seintersecten
(presentes en un mismo plano). En cualquie-
ra de los casos, existe un ángulo entre dichas
rectas y esta denido por:
cos () =
!
v
!
w
k
!
vkk
!
wk
De donde se obtiene:
= arc cos

!
v
!
w
k
!
vkk
!
wk

Ejemplo 63.:Determine el ángulo entre las
siguientes rectas
L1:P= (3;2;2) +t(1;2;1)yL2:
x1
2
=
4+y
2
=
z+2
4
Solución.:
5.8. Posiciones Relativas entre
dos Rectas
SiL1yL2son paralelas

!
v1
!
v2=
!
0

,
ambas rectas ni se cruzan, ni se intersectan.
Sin embargo; siL1yL2NOson paralelas

!
v1
!
v26=
!
0

, ambas rectas se cruzan o se
intersectan.
5.8.1. Rectas que se Cruzan
Dadas la rectasL1:P=P1+t
!
v1;
L2:P=P2+t
!
v2, ambas secruzansi el
triple producto escalar de los vectores
!
m=
!
P1P2;
!
v1y
!
v2es distinto de cero, es decir:
[
!
m
!
v1
!
v2]6= 0
5.8.2. Rectas que se Intersectan
Dadas la rectasL1:P=P1+t
!
v1;
L2:P=P2+t
!
v2, ambas seintersectansi
el triple producto escalar de los vectores
!
m=
!
P1P2;
!
v1y
!
v2es igual a cero, es decir:
[
!
m
!
v1
!
v2] = 0
Ejemplo 64.SeanL1:
x1
2
=
4+y
2
=
z+2
4
yL2:P= (3;2;2) +t(1;2;1)rectas en el
espacio, determine si se intersectan o se cruzan.
en caso se intersecten, hallar el punto de inter-
sección.
Solución.:
.
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3. RECTAS Y PLANOS EN R
3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
Semana 9 Sesión 02
EJERCICIOS
1. mynpara que las si-
guientes rectas sean paralelasL1:
x5
4
=
y3 =z;L2:
x
m
=
y1
3
=
z+3
n
Solución.:
Respuesta:
2. L1:
x1
2
=
y+2
3
=
5z
4
L2:x=2;
y1
1
=
z+2
2
. hallar
la ecuación de la rectaLque pasa por el
puntoT(1;20), es perpendicular
aL1en el espacio y corta aL2
Solución.:
Respuesta:
3. L1:P= (0;1;2) +
t(1;1;1);L2:
x4
3
=
y6
4
=
z8
5
;L3:x=
t; y=t; z= 0;¾Cuáles se interseptan y
cuales se cruzan?. En caso de intersección,
halle el punto de intersección
Solución.:
Respuesta:
4.
A(4;6;1)respecto a la recta
L:P= (1;2;2) +r(2;1;3)
Solución.:
Respuesta:
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4. RECTAS Y PLANOS EN R
3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
la recta que pasa por el punto
Q(4;3;4)y es perpendicular en
su punto de intersección con la recta
L1:P= (2;3;2) +t(2;1;0)
Solución.:
Respuesta:
2. L1yL2son pa-
ralelas, oblicuas o se cortan. Si se interse-
can, determine el punto de intersección.
L1:
x2
2
=
3y
2
=
z
7
;L2:x=
y1
1
=
z2
3
Solución.:
Respuesta:
3. L
que es ortogonal a la rectaL1:x= 2;
y3
2
=
z+1
2
, y a la rectaL2que pasa
por los puntosA(2;1;3) ;B(1;1;2), así
también determine los puntos de intersec-
ciónQ1deLconL1yQ2deLconL2
respectivamente.
Solución.:
Respuesta:
4. L1que pasa
porA(3;2;1)yB(1;2;1)yL2que
pasa porC(2;2;1)yD(5;2;1). De-
termine si son paralelas u ortogonales
Solución.:
Respuesta:
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5. RECTAS Y PLANOS EN R
3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. A(5;1;1)e intersepta en
un ángulo recto a la rectaL1:
2x+4
4
=
y3
1
=
z+2
5
2. L1: (x;y;z) = (0;5;3) +t(1;1;1)yL2:
x3
2
=
y
2
=
z+2
2
. Determine
si son paralelas u ortogonales
3. Q(3;3;4)y es perpendicular a cada
una de las rectasL1:
2x+4
4
=
y3
1
=
z+2
5
L2:
x3
1
=
2y7
2
=
3z
3
4. L1:P= (1;1;1)+t(1;2;3);L2:P= (1;3;4)+r(3;6;9);L3:
x2
2
=
y1
4
=
z
6
¾Cuáles son paralelas?¾cuales son coincidentes (iguales)?¾Cuáles de intersectan?
5. Q(6;3;2)y la rectaL1:P= (1;1;4) +r(0;1;1). Determine las rectas
que pasan porQy cortan aL1formando un ángulo de60°
6. Lque pasa por el puntoA(1;0;2)e intersepta en un ángulo
recto a la rectaL1:P= (1;2;3) +t(2;1;1),t2R
7.
L1:
x1
2
=
y
3
=z+ 3L2:
x2
1
=
y5
2
=
z5
5
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