Regla de L-Hopital.pdf

Otra forma de calcular límites indeterminados usando el concepto de derivada

1. REGLA DEL’HˆOPITAL PARAL´IMITES
INDETERMINADOS

2. CONTENIDO
1
INDETERMINACIONES DE LA FORMA
0
0
´O
∞
∞
2
PRODUCTOSINDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
3
POTENCIASINDETERMINADAS DE LA FORMA : 0
0
,∞
0
, 1
∞

3. RegladeL’HˆopitalparaL´ımites
Indeterminados
Introducci´on
La Regla de L’Hˆopital es un m´etodo´util para calcular l´ımites in-
determinados que involucran cocientes de funciones y puede apli-
carse a varios tipos de indeterminaciones.

4. IN D E T E R M I NAC I O N E S D E L A F O R M A
0
0
´O
∞
∞
RegladeL’HopitalparaL´ımites
Indeterminados
Definici´on
La Regla de L’Hˆopital establece que sif(x)yg(x)son funciones
diferenciables en un entorno de un puntox0y se cumple alguna
de las siguientes condiciones:
l´ım
x→x0
f(x) =l´ım
x→x0
g(x) =0
l´ım
x→x0
f(x) =±∞y l´ım
x→x0
g(x) =±∞

5. IN D E T E R M I NAC I O N E S D E L A F O R M A
0
0
´O
∞
∞
RegladeL’HˆopitalparaL´ımites
Indeterminados
entonces, si el l´ımite
l´ım
x→x0
f(x)
g(x)
es una indeterminaci´on del tipo 0/0 o∞/∞. Por tanto,
l´ım
x→x0
f(x)
g(x)
=l´ım
x→x0
f
′
(x)
g
′
(x)
siempre que el l´ımite a la derecha exista o sea±∞.

6. IN D E T E R M I NAC I O N E S D E L A F O R M A
0
0
´O
∞
∞
RegladeL’HˆopitalparaL´ımites
Indeterminados
En otras palabras, cada vez que
l´ım
x→x0
f(x)
g(x)
=
0
0
´o l´ım
x→x0
f(x)
g(x)
=
∞
∞
Entonces,
l´ım
x→x0
f(x)
g(x)
=l´ım
x→x0
f
′
(x)
g
′
(x)

7. IN D E T E R M I NAC I O N E S D E L A F O R M A
0
0
´O
∞
∞
IndeterminacionesUsuales
Tipo de Indeterminaci´onEjemplo
0
0
l´ım
x→0
ȷ
sinx
x
ff
∞
∞
l´ım
x→∞
ȷ
x
2
e
x
ff

8. IN D E T E R M I NAC I O N E S D E L A F O R M A
0
0
´O
∞
∞
Indeterminaci´on−→
0
0
Ejemplo
l´ım
x→0
sinx
x
=
0
0
Aplicando la regla de L’Hˆopital
l´ım
x→0
sinx
x
=l´ım
x→0
cosx
1
=1

9. IN D E T E R M I NAC I O N E S D E L A F O R M A
0
0
´O
∞
∞
Indeterminaci´on−→
∞
∞
Ejemplo
l´ım
x→∞
x
2
e
x
=
∞
∞
Aplicando la regla de L’Hˆopital
l´ım
x→∞
x
2
e
x
=l´ım
x→∞
2x
e
x
=
∞
∞
Aplicando la regla de L’Hˆopital nuevamente
=l´ım
x→∞
2
e
x
∞
=0

10. PRO D U C TO SIN D E T E R M I NA D O S D E L A F O R M A0·∞
IndeterminacionesUsuales
Tipo de Indeterminaci´on Ejemplo
0·∞ l´ım
x→0
+
(x·ln(x))
∞−∞ l´ım
x→0
(e
x
−(1−x))

11. PRO D U C TO SIN D E T E R M I NA D O S D E L A F O R M A0·∞
Indeterminaci´on−→0·∞

12. PRO D U C TO SIN D E T E R M I NA D O S D E L A F O R M A0·∞
Nota
Si
l´ım
x→x0
(f(x)·g(x)) =0·∞
Reescriba el producto de la forma
l´ım
x→x0

f(x)
1
g(x)
!
´o l´ım
x→x0

g(x)
1
f(x)
!

13. PRO D U C TO SIN D E T E R M I NA D O S D E L A F O R M A0·∞
l´ım
x→0
+
(x·ln(x)) =0·∞
Reescribimos la funci´on
l´ım
x→0
+
(x·ln(x)) =l´ım
x→0‘+

ln(x)
1
x
!
Aplicando la regla de L’Hˆopital
=l´ım
x→0
+

1
x
−
1
x
2
!
=l´ım
x→0
+
(−x)
=0

14. PRO D U C TO SIN D E T E R M I NA D O S D E L A F O R M A0·∞
Ejemplo
Calcular el l´ımite de
l´ım
x→∞
(x·sin(p/x)) =∞·0
En primer lugar, reescribimos la funci´on
l´ım
x→∞
(x·sin(p/x)) =l´ım
x→∞

sin(p/x)
1
x
!

15. PRO D U C TO SIN D E T E R M I NA D O S D E L A F O R M A0·∞
Aplicando la regla de L’Hˆopital
l´ım
x→∞

sin(p/x)
1
x
!
=l´ım
x→∞

(cos(p/x))·
Γ
−√/x
2
∆
−
1
x
2
!
=l´ım
x→∞



cos(p/x)·(−√)
x
2
−
1
x
2




16. PRO D U C TO SIN D E T E R M I NA D O S D E L A F O R M A0·∞
l´ım
x→∞

sin(p/x)
1
x
!
=l´ım
x→∞



cos(p/x)·(−√)
x
2
−
1
x
2



=l´ım
x→∞




cos(p/x)·(−√)
Γ
Γx
2
−
1
Γ
Γx
2




Evaluando el l´ımite
=p

17. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
FIGURA1:

18. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Nota
Los l´ımites que llevan a las formas indeterminadas
0
0
,∞
0
,1
∞
en ocasiones pueden manejarse tomando primero el logaritmo de
la funci´on. Utilizamos la regla de L’Hˆopital para determinar el
l´ımite de la expresi´on logar´ıtmica y luego exponenciamos el re-
sultado para determinar el l´ımite de la funci´on original.

19. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Tenga en cuenta
Si
l´ım
x→a
(ln(f(x))) =L
entonces,
l´ım
x→a
(f(x)) =l´ım
x→a
ˇ
e
ln(f(x))
ı
=e
L
dondeapuede ser finito o infinito.

20. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Tenga en cuenta
Por tanto, si
f(x) =g(x)
h(x)
Reescr´ıbalo de la forma
ln(f(x)) =h(x)·ln(g(x))

21. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Ejemplo
Calcule el
l´ım
x→0
+
ζ
(1+x)
1/x
η

22. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Soluci´on
Suponga que
f(x) = (1+x)
1/x
Reescribi´endolo de la forma
ln(f(x)) =h(x)·ln(g(x))
ln(f(x)) =
θ
1
x
ι
·ln(1+x)

23. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
l´ım
x→0
+
ln(f(x)) =l´ım
x→0
+
ȷ
1
x
ff
·ln(1+x)
=l´ım
x→0
+
ȷ
ln(1+x)
x
ff
Aplicando la regla de L’Hˆopital
=l´ım
x→0
+



1
1+x
1



=0

24. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Por tanto,
l´ım
x→0
+
f(x) = (1+x)
1/x
=l´ım
x→0
+
f(x)
=l´ım
x→0
+
e
ln(f(x))
=e
1
=e

25. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Ejemplo
Calcule el
l´ım
x→∞
ȷ
ˇ
1+
a
x
ı
bx
ff

26. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Soluci´on
Suponga que
f(x) =
ˇ
1+
a
x
ı
bx
Reescribi´endolo de la forma
ln(f(x)) =h(x)·ln(g(x))
ln(f(x)) = (bx)·ln
ˇ
1+
a
x
ı

27. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
l´ım
x→∞
ln(f(x)) =l´ım
x∞
(bx)·ln
ˇ
1+
a
x
ı
=l´ım
x→∞

ln
Γ
1+
a
x
˙
1
bx
!
Aplicando la regla de L’Hˆopital
=l´ım
x→∞


ˇ
1
1+
a
x
ı
·
ˇ
−
a
x
2
ı
−
1
bx
2



28. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
l´ım
x→∞
ln(f(x)) =l´ım
x→∞


ˇ
1
1+
a
x
ı
·
ˇ
−
a
x
2
ı
−
1
bx
2


=l´ım
x→∞


ˇ
1
1+
a
x
ı
·
ˇ
−
a
ffffx
2
ı
−
1
bffffx
2


=l´ım
x→∞

−ab
Γ
1+
a
x
˙
!

29. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
l´ım
x→∞
ln(f(x)) =l´ım
x→∞

−ab
Γ
1+
a
x
˙
!
Evaluando cuandox→∞
=l´ım
x→∞








−ab

1+
a
x
0










=ab

30. POT E N C I A SIN D E T E R M I NA DA S D E L A F O R M A: 0
0
,∞
0
, 1
∞
Por tanto,
l´ım
x→∞
f(x) =
ˇ
1+
a
x
ı
bx
=l´ım
x→∞
f(x)
=l´ım
x→∞
e
ln(f(x))
=e
ab