Regresión Simple - Supuestos de Gauss Markow

Resumen de supuestos que debe cumplir un modelo clásico de regresión simple a la hora de evaluar el nivel de ajuste de dicho modelo a los datos.

1. Regresión simple –Supuestos de Gauss-Markov
Mariel Balmaceda –FCE UBA

2. Gauss-MarkovGauss-Markov

UnavezestimadonuestromodeloporMCOsedeben
verificarlossupuestosdeG-M.Yaquesiseverifican
estascondicionesésteproporcionaráunbuenajustey
predicciones.

Decumplirse,podemosdecirquenuestroestimadorβ
i
MCOeselmejorestimadorinsesgado.

3. SupuestosSupuestos
1.
Elmodeloeslinealyeselcorrecto.
2.
Lasvariablesexplicativasnosonestocásticas,son
determinísticas.
3.
4.
5.
6.
~
7.
LacovarianzaentreuyXescero
8.
Elnúmerodeobservacionesdebesermayoralnúmerode
parámetrosaestimar
9.
Var(X)debeserunnúmerofinitopositivo
10.
Nohaymulticolinealidadperfecta
( ) 0
t
E u
2 2
,
t
u u
t  
( , ) 0, 0
t t j
COV u u j

  
t
u
2
(0, )
u
N

4. 1-El modelo es lineal y es el correcto1-El modelo es lineal y es el correcto

Dadalaegresiónlinealpoblacional:

Donde:
-Y
i
eslavariablequequeremosestimaroexplicada
-X
i
eslavariableexplicativa,regresorodeterministica,
esdecirlatenemoscomodato
-eselparámetroaestimar,nosonconocidosyse
denominancoeficientesderegresión.
-u
i
esunavariableestocásticayrepresentaelerrorenel
modeloaestimar
1 2i i i
Y X u   
i


5. -Estepuntohacereferenciaalalinealidadquehayenlos
parámetrosβ,esdecirqueestánelevadosalaprimera
potencia.
-
Enestesentidoelmodeloelmodelopuedenoserlineal
enlasvariables,porejemploesestaforma:

Queseaelcorrectosignificaquelasvariables
explicativasqueintroducimosennuestromodeloson
relevantesparaexplicarY,yporlotantonoexistiráuna
variableXquenoexpliqueaY(noexistenvariables
omitidasoredundantes).Estoimplicaqueseconoceel
sesgodeespecificación.
2
1 2i i
Y X  

6. 2-Las variables explicativas no son
estocásticas, son determinísticas
2-Las variables explicativas no son
estocásticas, son determinísticas

Elanálisisderegresiónesunanálisiscondicionadosalos
valoresdadosporlosvariablesexplicativasoregresores(X).

Gujarati(1997)describeestesupuestocomo“losvalores
quetomaelregresorXsonconsideradosfijosenel
muestreorepetido.Mástecnicamente,sesuponeno
estocástica”

7. 3-La esperanza de la perturbación es
igual a cero, E(u
t
|X
t
) = 0
3-La esperanza de la perturbación es
igual a cero, E(u
t
|X
t
) = 0

Estoesquelamediadelerroru
i
esnuladadolosvaloresde
X.

Sesuponequelasu
i
estándistribuidassimétricamente.

Deestaformalasvariablesquenoestánincluidasenel
modeloyquesereflejanenu
i
noafectansistemáticamente
elvalordelamediadeY
1 2
( | ) 0 ( | )
i i i i i
Eu X EY X X     

8. 4-Homoscedasticidado igual
varianza
4-Homoscedasticidado igual
varianza

Estoes:igualdispersión

DadounvalordeXlavarianzade u
i
eslamisma
siempre
2 2 2
var( | ) [ ( )| ] ( | )
t t t t t t t
u X Eu Eu X Eu X    

9. 5 –No autocorrelación entre las
perturbaciones
5 –No autocorrelación entre las
perturbaciones

Significaquelasperturbacionesodesviaciones(los
u
i
)nosiguenunpatrónsistemático.Estoes:
cov(, | , ) [ ()| ][ ()| ]
i j i j i i i j j j
uu XX Eu Eu X u Eu X  
cov( , | , ) ( | )( | ) 0
i j i j i i j j
uu X X Eu X u X 

10. 6 –Los residuos se distribuyen
normalmente
6 –Los residuos se distribuyen
normalmente

Estenoesrealmenteunsupuesto.Sinoquevienea
representardemaneramáscompactalossupuestos3,4y5.

Gujarati(1997):“Unapropiedaddeladistribuciónnormales
quecualquierfunciónlinealdevariablesnormalmente
distribuidasestarátambiénnormalmentedistribuida”.
EntonceslosestimadoreshalladosporMCOytambién
estánnormalmentedistribuidos.

Todoelloimplica,además,queu
i
yu
j
ademásdenoestar
correlacionadasestánidenticamentedistribuidas
1
ˆ

2
ˆ


11. Hasta aquíHasta aquí

Podemosdecirquesisecumplenlossupuestosde1a5
losestimadoressonlosMELI(Mejorestimadorlineal
insesgado)

Sisecumplenlossupuestosde1a6losestimadoresson
MEI(Mejorestimadorinsesgado)

12. 7-La covarianza entre uy X es cero7-La covarianza entre uy X es cero

SuponemosqueXyuinfluyenenformaseparadasobreY.
Siestáncorrelacionadasnoseríaposibleversusefectos
individualessobrelavariableaexplicar
Porsupuesto3sabemosque yalserXno
estocásticatenemosque:
cov( , ) [ ( )][ ( )]
i i i i i i
u X Eu Eu X EX  
( ) 0
i
Eu
cov( , ) ( ) 0
i i i i
u X EuX 

13. 8-El número de observaciones
n >β
i
8-El número de observaciones
n >β
i

Elnúmerodeobservacionesdebesermayoralnúmero
deparámetrosaestimar

Estaafirmaciónnoestantrivialcomoparece,deotra
formanoseríaposibleestimarlosparámetros
desconocidos

14. 9 -Var (X) debe ser un número finito
positivo
9 -Var (X) debe ser un número finito
positivo

¿Qué ocurriría si todos los valores de X fueran iguales?
Tendríamos que:

¿Qué significa eso? Pues ahora el denominador de la
ecuación con la que estimamos los parámetros:
Como vemos, resultará nulo. Con lo cual será imposible
su estimación

Esto nos muestra que las variables X e Y deben variar
[ ]
i i
X EX X 
2
( )( )
ˆ
( )
i i
i
i
X X Y Y
X X

 





15. 10-No hay multicolinealidadperfecta10-No hay multicolinealidadperfecta

Encasodelosmodelosderegresiónmúltiple,estoimplicaque
noexistenrelacionesperfectamentelinealesentrelasvariables
explicativas.

Lamulticolinealidadoriginalmentesignificólaexistenciade
unarelaciónperfectaentrealgunasotodaslasvariables
explicativas

EstasoloserefierealasrelacioneslinealesquehayentrelasX,
noeliminalasrelacionesnolineales

¿Porquénosimportalamulticolinealidad?Bueno,existen
diversasconsecuenciasprácticas.Enprincipiopodemosdecir
queelhechodequeexistahacequelainterpretacióndel
parámetroquesesuponecaptalasvariacionespromediodeY
cuandocambiaunadelasX
i
dejandolasdemásX
j
constanteya
nocumpliráesepropósitopuesnohayformadequeX
j
se
mantengaconstantecuandocambiaX
i
Conestovemosqueno
hayformadesepararlasinfluenciasdeX
i,j
delamuestra

16. Problemas con los modelos de
regresión clásicos
Problemas con los modelos de
regresión clásicos

Seasumelaestacionariedaddelasseries

Latendenciadelasseriessoninterpretadascomo
deterministicas

Cualquierdiscrepanciaesatribuidaaerroresde
especificacióndelaperturbacióndelmodelo

Lostestdeinferencia(tdeStudent,FdeSnedecor,etc.)
sebasanenelsupuestodeestacionariedad

Existeladenominada RegresiónEspuria,aquella
relaciónentrevariablesgeneradaporefectosenlas
tendenciasestocásticasynoporunvínculode
causalidad

17. Bibliografía

Gujarati D. (1997), Econometría Básica, McGraw-Hill,
tercer edición.

UrbisaiaH.yBrufmanJ.(2000),AnálisisdeSeriesde
Tiempo,EdicionesCooperativas,segundaedición.