Relações métricas no triângulo retângulo

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Nome: Colégio: Data:
2
m
n
1. TRIÂNGULO RETÂNGULO
TRIÂNGULO RETÂNGULO é aquele que possui um
ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é
retângulo em A, veja:













Onde:
a é a hipotenusa (maior lado);
b e c são os catetos (formam o ângulo reto);
h é a altura relativa à hipotenusa;
m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a
hipotenusa;
n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a
hipotenusa.

2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
No TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC são válidas as
seguintes RELAÇÕES MÉTRICAS (entre as medidas
mencionadas acima):
RELAÇÃO 01: TEOREMA DE PITÁGORAS – O
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
dos catetos.
22
abc=+
RELAÇÃO 02: O produto entre a hipotenusa e a
altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os
catetos.
a.h b.c=
RELAÇÃO 03: O quadrado de um cateto é igual ao
produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do
cateto sobre a hipotenusa.
2
ba.=
2
ca.n=
RELAÇÃO 04: O quadrado da altura relativa à
hipotenusa é igual ao produto entre as projeções
ortogonais dos catetos.
2
hm.=
RELAÇÃO 05: A hipotenusa é igual à soma das
projeções ortogonais dos catetos.
amn=+

3. EXEMPLOS RESOLVIDOS
01. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo
retângulo ABC a seguir:








Resolução:
Aplicamos o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO
01) para calcular a hipotenusa a.

22
22
2
2
abc
a34
a916
a25
a25
a5
=+
=+
=+
=
=
=
2
2


Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos as projeções
ortogonais m e n.

2
2
ba.m
35.m
5.m 9
9
m
5
m1,8
=
=
=
=
=

e
2
2
ca.
45.
5.n 16
16
n
5
n3,2
=
=
=
=
=
n
n


Outra maneira de calcular as projeções m e n é
utilizando a RELAÇÃO 05, veja:

amn
5m3,2
m53,2
m1,8
=+
=+
=− =
ou

amn 51,8n
n51,8 n3,2
=+ =+
=− =

Para calcular a altura h, aplicamos a RELAÇÃO 02.

a.h b.c
5.h 3.4
5.h 12
12
h
5
h2,4
=
= =
=
=


Outra maneira de calcular a altura h é utilizando a
RELAÇÃO 04.

2
2
2
hm.n
h 1,8.3,2
h5,76
h5,76
h2,4
=
=
=
=
=

Portanto
a5
=; m1,8= ; n3,2= e . h2,4=
B C
c
A
b
m n
a
h
a
B C
4
A
3
h
m n

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e a 02. No triâng re oulo tângul ABC a seguir, calcul
mediada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a
hipotenusa.






Resolução:
Para calcular a medida da projeção ortogonal
HC do
cateto AC sobre a hipotenusa, aplicamos a RELAÇÃO
04.

2
2
hm.n
12 5.HC
144
5.HC 144 HC HC 28,8
5
=
=
=⇒= ⇒=

A projeção or o catogonal dteto
AC mede 28,8.
guir,

03. No triângul ABC a seo retângulo
AM é a
mediana relativa à hipotenusa, e AH é a altura. C ule a
medida do segmento
alc
HM.






Resolução:
REMA DE PITÁGORA Aplicando o TEO S (RELAÇÃO
01), obtemos a medida da hipotenusa
BC.
222
abc=+

22
222
BC AB AC
BC 6 8
=+
=+
2
⇒
2
2
BC 36 64
BC 100
=+
=
⇒
BC 100
BC 10
=
=

Aplicando a RELAÇÃO 03, calculam ção os a proje
BH.
2
ba.m=
2
610.BH=
2
AB BC.BH=
⇒
10.BH 36=

⇒
36
BH=
10
BH 3,6=


Como
AM é mediana, BM é metade da hipotenusa
B, isto é,C BM

HM
53,6HM
+
=+ HM 1,4=

. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL)
num
5=. Da figura temos:
BM BH=
⇒
HM 5 3,6=−

4
01. (FUVEST-SP) No jogo de bocha, disputado
terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de
raio 8 o mais próximo possível de outra menor, de raio 4.
Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que
as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a
figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que
as bolas tocam o chão, é:
a) 8
b)
62
c) 82
d) 43
e) 63

) 13,0 m to
extre idade su na
es
EC)

02. N (UF
ontr
RUm
-se com a
a escada de
m
de
perio
co
r
mpri
ap
men
oiada
tação de
e
p
nca
arede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada
no piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância
de 5,0 m da parede. Se o topo da escada deslizar 1,0 m
para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a
parte inferior escorregará é:
a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,6 m
03. (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA)
C B
A
5
H
12
localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma
rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da
ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada,
que fique à mesma distância das duas estações. A
distância do restaurante a cada uma das estações deverá
ser de:
a) 575 m b) 600 m c) 625 m d) 700 m e) 750 m
04. (FAT Se os catetos de um triângulo retângulo T
medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura
de T relativa à hipotenusa é:
a)
12
5
m b)
5
13
m c)
12
13
m d)
25
13
m e)
60
13
m
05. RS) O mpi , r rese tado na figura, stá
suspe so por as rdas perp ndic res pres ao (UF la ão p n e
n du co e as
e
ula
teto. Sabendo que essas cordas medem
1
2
e
6
5
metros,
a distância do lampião ao teto é:
a) 1,69 m
b) 1,3 m
c) 0,6 m
d)
1
m
2
e)
6
13
ONDRINA) m triângulo retângulo ABC,
as medidas das projeçõe dos catetos
m 06. (U.E. L Em u
s
AB e BC sobre a
hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre AB e BC, nessa ordem, é
1
2
, então m:n gua
a)
é i l a:
5
b)
2
2
c)
2
1
2
d)
5
e)
4
1
4

 I , n ulo 07. (U.F. UBERL ND A) Num triângulo ABC o â g
l
Aé reto. A altura
A
h divide a hipotenusa a em dois
do
segmentos m e n (m>n). Sabendo que o cateto b é o
bro do cateto c, podemos afirmar que
m
n
:
a) 4 b) 3 c) 2 d)
7
2 e) 5

GABARITO
010203 04 05 06 07
C C E A C E E

C B
A
6
8
M H
A B