Relações metricas no triangulo 1 ano.pptx

revisao de relacoes metricas no triangulo retângulo

1. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO B C H A Cateto b Cateto a Hipotenusa c m n Altura h

2. Elementos de um triângulo retângulo O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A . (Â é reto) O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa , enquanto os outros dois são chamados catetos . b c A B C a a: é a hipotenusa. b e c : são os catetos

3. B H A A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH. A B H C h H C A

4. 1ª relação métrica m b h c h n h b m A H C h c n A H B

5. 2ª relação métrica b m h h b m A H C a b c b c A B C a

6. 3ª relação métrica c h n h c n A H B a b c b c A B C a

7. 4ª relação métrica c h n h c n A H B a b c b c A B C a

8. Teorema de Pitágoras (5ª relação métrica) a m n h b c 2ª relação: b² = m . a 3ª relação: c² = n . a Observe que a = m + n Somando, membro a membro, as duas igualdades, tem-se: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

9. Matemática Ensino MÉDIO - 1º Ano RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Estagiário: Pedro Cavalcante

10. Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n. a: é a hipotenusa. b e c : são os catetos h : é a altura do triângulo em relação à hipotenusa. m : é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa. n : é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa . a m n h b c

11. c 2 = am ah = bc a = m + n Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são: a 2 = b 2 + c 2 h 2 = mn b 2 = an c b a m n h

12. Resolução: Seja um quadrado de lado 5 cm. A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. Observe: Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: x 2 = 5 2 + 5 2  x 2 = 25 + 25  x 2 = 50  x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de qualquer quadrado: 12 1 – Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm? 5 cm 5 cm x d = l 2 Exemplos

13. Resolução: Seja um triângulo equilátero de lado 10cm. A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em destaque. Observe: Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: 10 2 = x 2 + 5 2 O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo: 100 = x 2 + 25  x 2 = 100 – 25  x = 75  x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de qualquer triângulo equilátero: 2 – Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm. 10cm 10cm 10cm .

14. 3 – Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: AB = c = 6cm e AC = b = 8cm. Determine a medida da projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a ela. h A B C b n m c H Resolução: A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a. Por Pitágoras, temos : a 2 = 8 2 + 6 2  a 2 = 64 + 36  a 2 = 100  a = 10 c 2 = a . m  6 2 = 10 . m  36 = 10 . m  m = 36/10  m = 3,6cm b 2 = a . n  8 2 = 10 . n  64 = 10 . n  n = 64/10  m = 6,4cm h 2 = m . n  h 2 = 3,6 . 6,4  h 2 = 23,04  h =  h = 4,8 h . a = b . c  h . 10 = 8 . 6  h . 10 = 48  h = 48/10  h = 4,8

15. 4 - Os lados de um triângulo retângulo medem 3, 4 e 5 cm. Calcule a altura sobre a hipotenusa de duas projeções dos catetos. A B C D 3 cm 4 cm 5 cm h