Relacion entre derivada e integral

Teorema fundamental del Cálculo Integral, segunda parte

1. La relación entre la Derivada y la Integral La Integral como “ antiderivada ” Francisco Martínez Puebla, MX

2. Qué es la derivada Podemos definir la derivada como la pendiente de la recta TANGENTE a la gráfica de f(x) en un punto de su dominio (f debe ser continua). Pero antes de trabajar con la tangente, comenzaremos con una recta SECANTE, cuya pendiente se calcula con la expresión: …tomemos como ejemplo la gráfica de f(x)=0.5x 2 :

3. f(x)=0.5x 2 Elegimos como primer punto: x 1 =1, y 1 =f(x 1 )=0.5 y como segundo punto: x 2 =3 , y 2 =f(x 2 )=4.5 Estos dos puntos se unen con una recta SECANTE, cuya pendiente es: Veamos lo que sucede si acercamos los puntos… m=2

4. f(x)=0.5x 2 El primer punto sigue siendo: x 1 =1, y 1 =f(x 1 )=0.5 Y ahora el segundo punto es: x 2 =2, y 2 =f(x 2 )=2 Acerquemos los puntos aún más… Nuevamente se unen con una SECANTE, cuya pendiente es: m=1.5

5. f(x)=0.5x 2 Para ver mejor los puntos x 1 =1, y 1 =f(x 1 )=0.5 x 2 =1.5 , y 2 =f(x 2 )=1.125 necesitamos acercarnos un poco a la gráfica… Nuevamente se unen con una SECANTE, cuya pendiente es: Los puntos se acercan cada vez más… m=1.25

6. f(x)=0.5x 2 Cuando la distancia horizontal entre los puntos es de 0.1: x 1 =1, y 1 =f(x 1 )=0.5 el segundo punto es: x 2 =1.1 , y 2 =f(x 2 )=0.605 Calculamos igual la pendiente de la SECANTE: Conforme acerquemos los puntos más y más, se observa que la pendiente entre ellos se acerca a cierto valor… m=1.05

7. f(x)=0.5x 2 Si los puntos se acercan mucho entre sí, decimos que la distancia entre ellos es mínima; es decir, “tiende a cero”…. Para calcular la pendiente de la recta que pasa por estos puntos utilizamos el concepto de límite: …y ésta es la pendiente de la recta TANGENTE en (1, 0.5) m=1

8. f(x)=0.5x 2 m=1 En general, la derivada de una función se define: (si el límite existe) La derivada de f(x)=0.5x 2 es: Nota: aunque este es el procedimiento completo, en la práctica se usan reglas de derivación

9. Origen de la integral Mientras la derivada surge de la necesidad de estimar el cambio “instantáneo”, la integral surge de la necesidad de calcular áreas. Calcular geométricamente el área bajo la gráfica de una función (continua y no negativa) se dificulta por las curvas:

10. Origen de la integral Para hallar el área de una región complicada podemos dividirla en regiones más pequeñas. Dividimos el intervalo [ a,b ] en n-intervalos, y calculamos n-áreas individuales. Al sumarlas encontraremos el área total:

11. Origen de la integral Como cada porción tiene su propia curva, en vez de calcular sus áreas, las delimitamos entre un valor mínimo y un valor máximo: < <

12. Origen de la integral Y esta delimitación se conserva en los totales: < < Es decir, aunque no sabemos cuál es el valor del área, podemos delimitarla entre dos valores:

13. Origen de la integral Una aproximación interesante es la suma de Riemann , donde se elige un punto arbitrario de cada intervalo, y también cumple: < <

14. Origen de la integral Si lo aplicamos a cada intervalo: < < Es decir, esta suma de Riemann se acerca aún más al valor del área:

15. Origen de la integral Finalmente, la SUMA de todas las áreas A i * se acercará lo suficiente al área real bajo la gráfica si dividimos el intervalo [ a,b ] en una cantidad infinita de sub-intervalos: A esta área la llamamos “integral definida”, y la forma de S alargada hace referencia a la suma de todas las áreas de a a b , también llamados limite inferior y superior de integración

16. Propiedad aditiva de la integral Podemos dividir la región total en 2 que se calculen individualmente :

17. La integral como antiderivada Si f está definida en el intervalo [ a,b ], es posible calcular el área desde a hasta un valor x en [ a,b ] . E l área bajo la gráfica es una función -que llamaremos F(x)- que depende del lugar donde ubiquemos a x : F(x) Si cambia la posición de x, tambié n cambiará F(x)

18. La integral como antiderivada Para demostrar que F’(x)=f(x) , o que F(x) es una antiderivada de f(x) , calculamos el área limitada por x a la izquierda y por x+h a la derecha. Aplicamos la propiedad aditiv a de la integral para definir el área desde x hasta x+h :

19. La integral como antiderivada A pesar de su forma, también se encontrará entre un área mínima y un área máxima : < < A

20. La integral como antiderivada …sustituimos la integral por su equivalente en F : … y dividimos entre h : Igual que en la derivada… ¿qué sucede si h se vuelve cada vez más pequeña? Area del rectángulo “chico” Area del rectángulo “grande” No es coincidencia que se parezca a la fórmula de la derivada

21. La integral como antiderivada Conforme reducimos h (la base de la figura) el máximo (M) y el mínimo (m) se acercan cada vez más a f(x):

22. La integral como antiderivada Cuando h se vuelve infinitamente pequeño el máximo (M) y el mínimo (m) se acercan cada vez más al valor de f(x): …y entonces:

23. La integral como antiderivada Analicemos esta última expresión: Se puede observar que la derivada de F(x) es f(x) . Recordemos que F(x) es la integral de f(x ) : F(x) o sea , la integral de f(x ) es, además, su antiderivada .