relaciones binarias

relacion binaria

1. CONT ENIDO:
Universidad Fermín Toro
Extensión Cabudare – Lara
Ingeniería Eléctrica

0 3 / 0 7 / 2 0 1 5
V o l u m e n 1 , n º 1

Estudiantes:
Kendrys Méndez
C.I: 19.454.323
RELACIONES
BINARIAS
RELACIONES BINA-
RIAS
DOMINIO Y RANGO
DE LAS RELACIO-
2
REPRESENTACION
GRAFICA DE LAS RE-
LACIONES
3
MATRICES BINA-
RIAS
4
RELACION INVERSA

COMPOSICION DE
RELACIONES
5

2. DOMINIO Y RANGO
RELACION BINARIA
Llamamos relación
binaria a la relación R
existente entre dos ele-
mentos a y b, de dos
conjuntos A y B res-
pectivamente. Indican-
do que el elemento a
está relacionado con
b.
Esta relación se puede
denotar de diversas
formas:
1.Como pares ordenados
(a,b)
2.Indicando que aRb.
3.Como una mezcla de
los dos anteriores R(a,b).
Ejemplo:
Sea el conjunto A= {el
conjunto de los números
naturales}, una relación
binaria del conjunto de A
sobre sí mismo puede ser,
R= ser múltiplo de.
De tal forma que, por ejem-
plo 4 está relacionado con 2
(es decir, 4 es un múltiplo
de 2), por tanto escribimos
4R2 o (4,2).

Ejemplo:
Sea A = {1; 2; 3} , B = {2; 4}
AxB = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 2); (3,
4)}
R1 = {(x, y) Î AxB / x ³ y} = {(2, 2); (3, 2)}
El dominio y rango de la relaciones definidas
en el ejemplo anterior es:
Dom R1 = { 2; 3}
Im R1 = {2}
pertenecen a la rela-
ción. Se indica con:
Dom R ó DR.

Imagen o Rango de
una Relación

Definición: Se llama
Imagen o rango de
una relación, al con-
junto de las segundas
componentes de los
pares ordenados que
pertenecen a la rela-
ción. Se indica con: Im
R ó IR.
Dominio de una Re-
lación

Definición: Se llama
Dominio de una rela-
ción, al conjunto for-
mado por las primeras
componentes de los
pares ordenados que

3. REPRESENTACION GRAFICA DE RELACIONES
P Á G I N A 3
Los pares ordenados se
pueden representar gráfi-
camente por medio de dia-
gramas sagitales o por
medio de puntos en el pla-
no cartesiano.

Mediante un diagrama
cartesiano:

En este caso se consideran
como abscisas las primeras
componentes y como orde-
nadas las segundas
componentes. Mediante
paralelas a los ejes traza-
dos por los puntos de divi-
sión se forma una cuadrí-
cula cuyos elementos son
los vértices de un producto
cartesiano; de estos se se-
ñalan los que pertenecen a
la relación R.
Ejemplo:
Mediante un diagrama
Sagitales:

En ella se utilizan dia-
gramas de Venn para re-
presentar los conjuntos
de partida y de llegada y
se unen los pares ordena-
dos mediante flechas.

Ejemplo:
Consideremos los con-
juntos A = {1,2,3,4} y
B = {1,2,4,6,7,8,9}

Establezcamos entre A y B
la relación R: "es la mi-
tad de”.

Representamos esta rela-
ción siguiendo las indica-
ciones anteriores de dia-
grama sagital.

4. MATRIZ BINARIA
P Á G I N A 4
Una matriz binaria, es una disposición
rectangular de dígitos binarios (0, 1),
formada por m filas y n columnas; y al
igual que las matrices algebraicas se di-
ce que tienen un orden m x n. Si el
número de filas es igual al de columnas,
se dice que la matriz es cuadrada. Se
denota por letras mayúsculas .

Operaciones con Matrices Binarias
a. Matriz Unión
Sean A = [aij] y B = [bij] matrices bina-
rias m x n, se llama matriz unión de A y
B; y se denota por
A Ú B, a la matriz cuyo elemento (i, j)
es aij Ú bij.
Para poder efectuar la matriz unión, am-
bas matrices deben tener el mismo or-
den.
b. Matriz Intersección
Sean A = [aiJ] y B = [biJ] matrices bina-
rias m x n, se llama matriz intersección
de A y B; y se denota por A Ù B, a
la matriz cuyo elemento (i, j) es aiJ Ù
biJ.
Para poder efectuar la matriz intersección,
ambas matrices deben tener el mismo orden.
c. Producto Binario de Matrices
Sean A = [aiJ] y B = [biJ] matrices binarias de
orden m x k, y k x n respectivamente. El
productor binario de A y B, denotado por A
Ä B, es la matriz m x n cuyo elemento (i, j)
es ciJ, donde:
ciJ = (ai1 Ù b1J) Ú (ai2 Ùb2J) Ú .....
Para poder efectuar el producto binario de
matrices, el número de columnas de la matriz
A debe ser igual al número de filas de la ma-
triz B. Se realiza de forma análoga al produc-
to ordinario de matrices, pero se sustituye la
suma por Ú y el producto por Ù.
Ejemplo Se consideran los conjuntos
y , y se define
la relación

(es decir, si y sólo si ). Entonces,
la matriz asociada a es

5. RELACION INVERSA
Las relaciones inversas son el
equivalente matemático de un sub-
e y baja. En una relación inversa,
cuando un número sube, el otro
baja. O un número es multiplicado
mientras que el otro es dividido.
Relaciones inversas de conjun-
tos
Definición: Dada una relación R
se define “ relación inversa de R”
al conjunto de pares ordenados in-
vertidos (en el orden de sus com-
ponentes) respecto de R. Se indica
con: :
(a,b) Î R ó (b,a) Î R-1

Ejemplo:
Si U = { x, y, z} V = { 4, 5, 6, 7 }
y R Ì X x Y es dado por:
R= { (x, 6) , (x, 4) , (y, 4) , (z, 7) }
R
-1
= { (6, x) , ( 4, x) , (4, y) , (7, z) }
COMPOSICION DE RELACIONES
Sea una relación de A en B y una relación de B en C. La compo-
sición de y es una relación consistente de los pares ordenados (a,
c), donde a A y c C y para los cuales existe un b B tal que (a, b)
y (b, c) , es decir a b y b c.
Ejemplo:
a) Sea A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4} y C={0, 1, 2} y sean
={(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)}
={(1 ,0),(2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
Entonces ={(1, 0), (3, 0), (1, 1), (3, 1), (2, 1), (2, 2)}