Relaciones de Maxwell en termodinámica

Resumen sobre la obtención matemática de las relaciones de Maxwell empleando las leyes de la termodinámica

1. Cómo obtener las relaciones de Maxwell
Cuando se habla de ecuaciones diferenciales exactas, para una ecuación:

Existe la siguiente relación:

Por ejemplo, para obtener la ecuación fundamental de la termodinámica (que relaciona la primera
con la segunda ley) se parte de que, la primera ley, menciona que:

La segunda ley define cada parámetro como:

Sustituyendo los parámetros en la primera ley, obtenemos que:

Si se reescribe la ecuación conforme a dU, dividimos cada parámetro entre sus respectivas
diferenciales y haciendo constante la variable contraria a la diferencial, (es decir, si se trata de dS
hacemos constante V y si se trata de dV hacemos constante S) la ecuación queda expresada de la
siguiente forma:

Por ello, de acuerdo a la ecuación anterior:

De acuerdo a la ecuación mostrada arriba (df = g dx + h dy) y a la condición para una diferencial
exacta, tenemos que:


Por ello, para la ecuación:

2. Queda que df = dU, g=T, dx=dS, h=-p, dy=dV, x=S y y=V así que sustituyendo en la condición de una
diferencial exacta queda que:

Por lo que se obtiene la primera relación de Maxwell para la energía interna (∆U). Existen otras
tres relaciones, que se obtienen para las otras funciones termodinámicas (∆H, ∆G y ∆A). En el caso
de ∆H, se debe de partir de

Por ello, diferenciando la ecuación:


Y sustituyendo dU, de acuerdo a la primera ley de la termodinámica expresada en la ecuación
fundamental, queda expresada como:


A partir de aquí se haría un procedimiento similar a lo realizado con la primera relación. Para la
función de Gibbs y de Helmholtz, se aplican sus respectivas definiciones y se sustituye ya sea dU o
dH.