Relaciones y funciones

Relaciones y funciones

1. MATEMÁTICA Y FÍSICA ODONTILOGÍA RELACIONES Y FUNCIONES Melecio Paragua Morales [email protected] [email protected]

2. RELACIONES: CORRESPONDENCIA Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra vida diaria se tiene experiencias con correspondencias o RELACIONES. En una tienda comercial, cada artículo  está relacionado  con su precio; o sea, a cada artículo  le corresponde  un precio . A cada nombre en el directorio telefónico le corresponde uno o varios números. A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones. Relación entre precio y cantidad consumida o producida de un bien. Relación entre la utilidad de la empresa y la cantidad producida.

3. Relación: Dominio y Rango Es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

4. Gráfica de relaciones

5. Gráfica de relaciones

6. PAR ORDENDO Y EJERCICIOS Su nomenclatura es: (a, b). “a” se le denomina primera componente, y a “b” se le denomina segunda componente . Dos pares ordenados son iguales, únicamente si sus componentes son iguales: (x+5; 7) = (9; y-1) (3x; 1) = (12; 4+y) (5x -1; -8) = (9; 2y-2) (3 - x; 8) = (-7; 2+ y) (-3; 2y) = (x - 3; -12) (-13; 2 – 3y) = (1-2x; 7) (6-y; 4) = (-1; 3-x) (2x-1; 3) = (3; 4y+1) (1-4y; -1) = (9; 9-5x)  

7. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano de A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b), tales que simbólicamente se representa de la siguiente manera: Ejemplo: Halla AxB si: A = {3; 5; 7} y B = {2; 4; 6} Solución: A x B = {(3; 2), (3; 4), (3; 6), (5; 2), (5; 4), (5; 6), (7; 2), (7; 4), (7; 6)} Ejemplo: Halla ExF si: E = {x ε Z ̸ -3 < x ≤ 1} y F = {x ε N ̸ 2 ≤ x < 4} Solución: Se identifica los elementos de: E = {-2; -1; 0; 1} y F = {2; 3} Luego: E x F = {(-2; 2), (-2; 3), (-1; 2), (-1; 3), (0; 2), (0; 3), (1; 2), (1; 3)}  

8. PRODUCTO CARTESIANO: EJERCICIOS Dados los siguientes conjuntos, halla los productos cartesianos que se indican: E = {-3; 4} y F = {5; 7; 9} E x F y F x E G = {4; -5; 8} y H = {-7; -1; 0} G x H y H x G A = {2 ≤ x < 5; x ε N} y B = {-3 < x ≤ 2; x ε Z } A x B C = {-4 < x ≤ 2; x ε Z} y D = {4 ≤ x < 9; x ε N } C x D E = {-4 ≤ x < 1; x ε Z} y F = {-2 < x ≤ 4; x ε Z } E x F G = {3x-2 ̸ -3 ≤ x ≤ 1; x ε Z} y H = {4x+1 ̸ -3 < x < 1; x ε Z } G x H K = {x 2 -2 ̸ -4 < x ≤ 0; x ε Z} y L = {x/(x+4) ̸ -2 < x < 3; x ε Z } K x L M = {(x+2)/3 ̸ -5 < x < 0; x ε Z} y P = {2x-3 ̸ -2 x ≤ 4; x ε Z } M x P A = {x 2 +4 ̸ -2 ≤ x < 2; x ε Z} A 2 E = {x 2 -5 ̸ -3 < x ≤ 0; x ε Z} E 2 D = {-2x-8 ̸ -7 ≤ x < -4; x ε Z} D 2

9. RELACIONES BINARIAS Se tiene A = {Carlos, Sergio; Ernesto, María} y B = {fútbol, vóley, básquet, atletismo, natación}, si se relaciona ambos conjuntos, cada flecha que relaciona dirá: “…. Practica …..” Del conjunto A = {c, s, e, m} salen flechas hacia el conjunto B = {f, v, b, a, n}. Es la razón para que A sea el conjunto de partida, y B sea el conjunto de llegada. La relación R se puede representar como un conjunto de pares ordenados: R = {(c, b), (s, f), (s, a), (m, v), (m, a)} La relación R es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Toda relación binaria denota una conexión, un enlace, una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos iguales o diferentes.

10. DOMINIO Y RANGO El Dominio de una relación es el conjunto cuyos únicos elementos son todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. El Rango de una relación es el conjunto cuyos únicos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Toda relación binaria consta de tres componentes: a) Un conjunto de partida. b) Un conjunto de llegada. c) Una regla de correspondencia.

11. Ejemplo Dado los conjuntos A = {3; 7; 9} y B = {2; 6; 8}, se define la relación . Haga un estudio completo de la relación   Solución El conjunto de partida de R1 es A = {3; 7; 9}. El conjunto de llegada de R1 es B = {2; 6; 8}. La regla de correspondencia es: “…… es menor que ……” Dominio = {3; 7}. Rango = {6; 8}. R1 = {(3; 6), (3; 8), (7; 8)} Simbolización de:  

12. Ejemplo Representa la relación siguiente como un conjunto de pares ordenados: y , . Halla el Dominio y el Rango   Solución Conjunto de partida K = {10; 12; 14; 16; 18} Conjunto de llegada S = {3; 5; 7; 9} La regla de correspondencia es: R2 = { Luego R2 = {(10; 5), (14; 7), (18; 9)} Dominio de R2 = {10; 14; 18} Rango de R2 = {5; 7; 9}  

13. Halla el dominio y rango en las siguientes relaciones, definidas en RxR :  

14. Un caso particular Por ejemplo, dada la relación: R = {( 1 ,5); ( 2 ,4); ( 3 ,7)} Se estable un conjunto de partida y un conjunto de llegada en el que, a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un valor del rango. Conjunto de Partida Conjunto de Llegada 1 2 3 4 5 7

15. Función Una función es una regla o correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada para los cuales se aplica la regla se llama el dominio de la función . Al conjunto de números de salida se llama rango. Una variable que representa a los números de entradas para una función se denomina variable independiente . Una variable que representa a los números de salida se denomina variable dependiente , ya que su valor depende del valor de la variable independiente . Decimos que la variable dependiente es función de la variable independiente.

16. Notación funcional Si decidimos llamar f a una función y, x es una de las entradas en el dominio de f , entonces f ( x ), que se lee “ f de x ”, representará el número de salida en el rango de f que corresponde a la entrada x . Así: Nombre de la función: que es una entrada y la salida también es una función. Determina el dominio de:  

17. Altas en un Hospital Una compañía de seguros examinó el registro de un grupo de individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que la proporción total de quienes habían sido dados de alta al final de t días de hospitalización está dada por: Halla e interpreta Halla e interpreta ¿Cuántos días después se habrá dado de alta al 99% del grupo?  

18. Ejemplo de funciones Halla el dominio y rango de la función Solución Se calcula el dominio:  

19. Dominio y rango de funciones Halla el rango de la función   El gráfico muestra: Dominio = R y Rango = [3; )