Relatività ristretta

1. La Relatività Ristretta
di Einstein
di Alessio Seganti
a.s. 2008-2009

2. Postulati della dinamica
Newtoniana
•Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i
sistemi di riferimento
(principio di relatività);
•Il principio di inerzia
•F=ma

3. Spazio e Tempo
•Il principio di inerzia stabilisce
l’equivalenza fra tutti i sistemi
inerziali.
•Ma quali sono i sistemi inerziali ?
–Quelli che si muovono di moto rettilineo
uniforme rispetto ad un altro sistema
inerziale
•Di fatto suppone l’esistenza di uno
“spazio assoluto”.

4. Conseguenza dei postulati
newtoniani
•Due osservatori in
due sistemi di
riferimento diversi e in
moto rettilineo
uniforme uno rispetto
all’altro misurano
velocità diverse.
•Le velocità di due
osservatori in moto
l’uno verso l’altro si
sommano.
v
1 v
2

5. La somma delle velocità
•Cioè se due
osservatori si
muovono l’uno verso
l’altro con velocità v
ciascuno di essi vede
l’altro avvicinarsi con
velocità 2v
v
v
2v

6. La novità
•Lo studio dell’ottica e
dell’elettromagnetismo ha portato alla
scoperta delle onde elettromagnetiche.
•E’ previsto teoricamente che le onde si
muovano con velocità costante uguale in
ogni sistema di riferimento.
c=299 792 458 m/s

7. c = 299 792 458 m/s
•Sperimentalmente non è mai stata
misurata una velocità maggiore di quella
delle onde elettromagnetiche (detta anche
velocità della luce nel vuoto).
•Sembrerebbe una velocità “limite”
•In contrasto quindi con il secondo
principio della dinamica !

8. …le possibili soluzioni
•… esiste un sistema di riferimento
assoluto (etere) dove la luce ha velocità
c?
•… bisogna riscrivere le leggi della
meccanica ?

9. Accadde…
•La resistenza al cambiamento portò grandi
scienziati (Lorentz, Poincaré…) a
formulare fantasiose e complesse ipotesi
basate sull’etere;
•Gli esperimenti (specie quello di
Michelson e Morley) diedero torto ai
sostenitori dell’etere, infatti…

10. •Dimostra sperimentalmente che la velocità
della luce è
LA STESSA IN OGNI
SISTEMA DI RIFERIMENTO
•Non esistono sistemi di riferimento
privilegiati !

11. L’arrivo di EINSTEIN
•Un secolo fa (1905) Albert Einstein,
impiegato dell’Ufficio brevetti di Zurigo
propose una teoria completamente
innovativa, cioè propose una modifica
delle leggi della meccanica.

12. Cambiano i “pilastri”
MECCANICA
CLASSICA
•Principio di relatività;
•Principio di inerzia;
•F=ma.
MECCANICA
RELATIVISTICA
•Principio di relatività;
•Esiste una Velocità
Limite, identica
in ogni
sistema di
riferimento.

13. Misura di un intervallo di tempo
•Misuriamo il tempo che impiega un raggio di luce
a raggiungere uno specchio e a tornare indietro;
•Ripetiamo la misura in 2 sistemi: uno solidale con
lo specchio e uno in moto con velocità v.
v

14. … nel primo sistema:
c
d
t=D

15. … nel secondo sistema (in moto):
v
'tcD
tcD
'tvD
Per il teorema di Pitagora:
( ) () ( )
222222
'tvtc'tc D+D=D
Solo se
c è costante !!

16. … un po’ di passaggi algebrici …
() () ()
() () () ()
t
c
v
t
t
c
v
t
c
vc
t
vc
c
t
tvtctc
D
-
=D
D
-
=D
-
=D
-
=D
D+D=D
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
222222
1
1
'
1
11
'
''

17. Dilatazione dei tempi
•L’ultima espressione:
t
c
v
1
1
't
2
2
D
-
=D
g
Sempre
maggiore di 1
ha come significato
fisico che il tempo
scorre diversamente
nei due sistemi di
riferimento.

18. Dilatazione dei tempi /2
•In particolare la durata del fenomeno è
MINIMA nel sistema solidale al fenomeno,
mentre è DILATATA in ogni altro sistema
in moto rispetto al primo.
0
2
2
1
1
' t
c
v
t D
-
=D

19. Conferme sperimentali
•Decadimento delle particelle m
-
(muoni)
–Se sono a riposo (ferme) decadono in un
tempo t;
–Se sono in moto le si vede decadere dopo un
tempo
t
c
v
t
2
2
1
1
'
-
=

20. Misura delle Lunghezze
•Sistema di riferimento in movimento
uΔt1L
•All’andata il raggio di luce percorre uno
spazio:
11 tuLtc D+=D

21. uΔt2
L
•Al ritorno il raggio di luce percorre uno spazio:
da cui si ricavano i tempi di percorrenza:
22 tuLtc D-=D
uc
L
t
+
=D
2
uc
L
t
-
=D
1

22. •Sommando i due tempi di percorrenza si
ottiene:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
=
=
+
+
-
=D+D=D
2
222
21
1
22
c
u
c
L
uc
Lc
uc
L
uc
L
ttt

23. •Nel sistema solidale con sorgente e
specchio invece il tempo impiegato è
sempre:
c
L
t
0
0
2
=D
•Per quanto visto riguardo alla dilatazione
dei tempi:
2
2
0
1
c
v
t
t
-
D
=D

24. •Considerando che:
2
2
0
2
2
1
2
1
2
c
u
c
L
c
u
c
L
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
•Possiamo scrivere l’uguaglianza:
c
L
t
0
0
2
=D
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=D
2
2
1
2
c
u
c
L
t
2
2
0
1
c
u
t
t
-
D
=D

25. Contrazione delle Lunghezze
•Da cui, semplificando, si ricava:
2
2
0
1
c
u
LL -=
La lunghezza MASSIMA (o PROPRIA) di un
oggetto si misura nel sistema ad esso solidale,
mentre è CONTRATTA in ogni altro
sistema di riferimento.

26. “Saltano” le trasformazioni di
Galileo
v
y
y’
xx’
x’=x-vt
y’=y
z’=z
t’=t
VIOLANO
IL SECONDO
ASSIOMA
(NON
CONSERVANO
LA VELOCITA’
DELLA LUCE)

27. Servono nuove regole di
trasformazione !
•Le nuove trasformazioni devono:
–Conservare la velocità della luce;
–Essere compatibili con quelle di
Galileo per velocità basse rispetto a
c.
(Non dimentichiamo che per 400 anni la
fisica newtoniana non ha avuto smentite
sperimentali !!)

28. Le trasformazioni di Lorentz
v
y
y’
xx’
2
2
2
2
2
c
v
1
c
vx
t
't
z'z
y'y
c
v
1
vtx
'x
-
-
=
=
=
-
-
=

29. I simboli b e g
Chiamando:
c
v
e
c
v
1
1
2
2
=b
-
=g
( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
b-g=
=
=
-g=
c
x
t't
z'z
y'y
vtx'x
Le trasformazioni si scrivono:

30. I simboli b e g
•La DILATAZIONE DEI TEMPI si può
scrivere:
•La CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE
si può scrivere:
g
0L
L=
g
0tt=

31. Le trasformazioni di Lorentz inverse
•Accanto alle
trasformazioni già
viste occorre inserire
quelle che
consentono la
trasformazione
inversa:
2
2
2
2
2
1
'
'
'
'
1
'
c
v
c
vx
t
t
zz
yy
c
v
vtx
x
-
+
=
=
=
-
+
=

32. … in definitiva …
•non esiste più un concetto assoluto
di “spazio” o di “lunghezza”;
•non esiste più un concetto assoluto
di “tempo” e di
“contemporaneità”.

33. Distanza fra due punti
•In uno spazio euclideo la distanza fra
due punti è:
•E’ la stessa in tutti i sistemi di
riferimento;
•E’ invariante rispetto alle trasformazioni
di Galileo.
222
zyxd D+D+D=

34. Distanza euclidea
=+÷
ø
ö
ç
è
æ
+
2
2
22
zyx
22
yx+
z
x
y
222
zyx ++

35. Distanza Invariante
•Si dimostra che la quantità:
( )
22222
zyxtc D-D-D-D=Ds
è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz
Viene chiamata distanza relativistica nello spazio-tempo.
E’ una distanza non-euclidea.
Lo spazio-tempo ha una geometria iperbolica,
non euclidea (spazio-tempo di Minchowsky)

36. La composizione delle velocità
•Dimostriamo che l’uso delle trasformazioni di
Lorentz fa sì che le velocità in due sistemi in
moto fra loro NON si sommano
•… e che la velocità della luce è la stessa in tutti i
sistemi di riferimento !
v
y
y’
xx’
u

37. La composizione delle velocità
( ) ( )
=
÷
ø
ö
ç
è
æb
-g-÷
ø
ö
ç
è
æb
-g
-g--g
=
-
-
=
-
-
=
D
D
=
1122
1122
12
12
12
12
x
c
tx
c
t
vtxvtx
't't
'x'x
'u
tt
xx
t
x
u
u, u’ = velocità del corpo nei
2 sistemi
v = velocità relativa del
secondo sistema
v
y
y’
xx’
u

38. La composizione delle velocità
u, u’ = velocità del corpo nei
2 sistemi
v = velocità relativa del
secondo sistema
v
y
y’
xx’
u
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
1212
1212
1122
1212
xx
c
tt
ttvxx
x
c
tx
c
t
ttvxx
'u
-
b
--
---
=
÷
ø
ö
ç
è
æ b
+-
b
-g
---g
=

39. La composizione delle velocità
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) u
c
1
vu
ttu
c
tt
ttvttu
xx
c
tt
ttvxx
'u
ttuxx
tt
xx
t
x
u
1212
1212
1212
1212
1212
12
12
b
-
-
=
-
b
--
---
=
-
b
--
---
=
-=-Þ
-
-
=
D
D
=
u
c
1
vu
'u
b
-
-
=
In definitiva:
Se u=c  u’=c !!
c
c
v
1
c
v
1
c
c
v
1
vc
c
c
v
1
vc
'u
2
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
=
-
-
=
-
-
=

40. … e le leggi della dinamica ?
amF
rr
=
Il secondo principio nella sua forma
è in chiaro contrasto con la nuova teoria,
dal momento che non prevede una
velocità limite.
Consideriamo invece la formulazione
t
p
F
D
D
=
r
r

41. Nuova quantità di moto
•Vale, ma occorre modificare il concetto di
quantità di moto.
•La nuova definizione deve:
–Tendere a infinito per vc
–Tendere alla definizione classica per v<<c

42. Quantità di moto relativistica
•La nuova definizione è data da:
2
2
1
c
v
mv
p
-
=

43. Massa relativistica
•La formula precedente si può “leggere” in
due modi:
–La quantità di moto varia in funzione di g
–La massa è funzione di g
Cioè:
vmv
c
v
m
p
r
=
-
=
2
2
1

44. Massa relativistica / 2
2
2
0
1
c
v
m
m
r
-
=
Dove m
0 viene chiamata
“massa a riposo”

45. Energia e quantità di moto
•I fotoni trasportano
–ENERGIA
–QUANTITA’ di MOTO
•La relazione fra queste due grandezze è
costante:
c
E
p=

46. Energia e massa /1
c
E
p
2
= c
E
p
2
=
c
E
p
2
=
m m
Consideriamo il fenomeno di due fotoni di energia
complessiva E, ciascuno con energia E/2, che colpiscono
una massa visto da due sistemi di riferimento in moto fra loro.
c
E
p
2
=
v
v

47. Energia e massa /2
•Nel primo sistema
–Le quantità di moto dei fotoni sono identiche
ed opposte;
–Non c’è variazione della quantità di moto della
massa.
•Nel secondo sistema
–Le quantità di moto sono identici in modulo
ma non hanno versi opposti;
–La massa assorbe quantità di moto nella
direzione “x”.

48. Energia e massa /3
•Nel dettaglio vale la similitudine:
p
px c
v
2
2
::
c
Ev
c
pv
p
vcpp
x
x
==
=

49. Energia e massa /4
•Quindi, per la conservazione della quantità
di moto:
( )
2
2
212
2212
'
''
2
2''
mcE
c
Ev
vmm
c
Ev
pp
c
Ev
c
Ev
pp
D=
=-
=-
==-

50. Energia e massa
•Abbiamo dunque dimostrato che la
conservazione della quantità di moto porta ad
una equivalenza fra massa ed energia:
2
mcE=

51. Energia relativistica
•Dalla equivalenza fra massa ed energia e dalla
nuova definizione della quantità di moto
relativistica si ricava la nuova formula
dell’energia relativistica:
2
2
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
c
v
mc
E

52. Energia relativistica /2
•Abbiamo già visto che è possibile sviluppare
le funzioni in serie di potenze.
•Vediamo lo sviluppo in serie della funzione:
n
n
n
bbb
b
1
42
2
2
12
8
3
2
1
1
1
1
-
-
++++=
-

nel limite di β0

53. Energia relativistica /3
•Sostituiamo lo sviluppo in serie della
funzione nella definizione di energia:
+÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
-
=
2
22
2
2
2
1
1 c
v
mcmc
mc
E
b
•Il primo termine (mc2) è chiamato
energia di massa. E’ presente anche
se il corpo è fermo.

54. Energia cinetica
•Il secondo termine è:
•Coincide con l’energia cinetica in meccanica
classica;
•La meccanica classica approssima questa
espressione per l’energia nel limite di β0.
2
2
2
2
1
2
1
mv
c
v
mcK =÷
ø
ö
ç
è
æ
=

55. Energia cinetica relativistica
•La quantità:
•È chiamato energia cinetica relativistica;
•Nel limite delle basse velocità è approssimabile
con l’energia cinetica della meccanica classica
2
2
2
1
mc
c
v
mc
K -
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=

56. Energia e quantità di moto
Consideriamo le quantità:
2
2
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
c
v
mc
E
2
c
v
1
cmv
cp
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
()
2
222
2
42
22
c
v
1
vmc
c
v
1
cm
cpE
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=-

57. Energia e quantità di moto /2
()
( ) ( )
42
2
22
2222
2
2222
22
cm
c
vc
vccm
c
v
1
vccm
pcE =
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=-
42222
cmcpE =-

58. Energia a quantità di moto /3
Si dimostra che la grandezza:
è costante in ogni sistema di riferimento
222
2
cmp
c
E
=-÷
ø
ö
ç
è
æ

59. Esempio: l’acceleratore
•Negli acceleratori di particelle vengono
fatte collidere due particelle (e.g. elettrone e
positrone) per creare altre particelle.
•La massa delle particelle create segue la
legge:
e
+
e
-
42222
cmcpE =-

60. Il collisionatore
•Nel caso del collisionatore, le particelle hanno
momenti identici ed opposti, quindi p=0:
2
2
c
E
m=

61. …Fine
Sottile è il Signore…
ma non malizioso.
Albert Einstein