Resolução comentada matemática 002

1. AULA 04 – PROBABILIDADES


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Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla

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RESOLUÇÃO COMENTADA
1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a) Sair o número 3.
Solução. Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(E) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a
probabilidade procurada será igual a P(A) =
1
6

b) Sair um número par.
Solução. Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade
procurada será P(A) =
31
62
=
c) Sair um múltiplo de 3.
Solução. O evento A = {3, 6} com 2 elementos. Logo a probabilidade será P(A) =
21
63
=
2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:
a) Sair a soma 8
Solução. Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares
ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente
que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou
6. O mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). Portanto, o
evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade será igual a
P(A) =
5
36

b) Sair a soma 12.
Solução. Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a
probabilidade procurada será igual a P(A) =
1
36

3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-
se uma bola com reposição , calcule as probabilidades seguintes:
a) Sair bola azul.
Solução.
63
( ) 0,30 30%
20 10
PA= = = =
b) Sair bola vermelha.
Solução.
10 1
( ) 0,50 50%
20 2
PA= = = =
c) Sair bola amarela.
Solução.
41
( ) 0,20 20%
20 5
PA= = = =
4) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000
pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes
de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa
escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?

Solução. Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou
seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(E) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(E) = n(J) + N(P) – N(J U P) + 800
n(E) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(E) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.
OBS. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma
pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os
jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).


5) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as
probabilidades de:
a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola
vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
Solução. Lembrando a fórmula:
( ) ( ). ( / )PV B PV PB V∩= , temos:
5
()
7
PV= (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha
na primeira, ficaram 6 bolas na urna. Calculamos, então
21
(/)
63
PB V= =
Substituindo na fórmula temos:
51 5
( ) ( ). ( / ) .
7 3 21
PV B PV PB V∩= = =
b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola
vermelha e depois uma bola branca.
Solução. Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam
independentes. Neste caso, a probabilidade será calculada como:
5 2 10
( ) ( ). ( ) .
7 7 49
PV B PV PB∩= = =
6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma
dama?
Solução. O espaço amostral possui 52 elementos (um baralho tem cinqüenta e
duas cartas). O evento desejado (uma dama) possui 4 elementos (ouros, copas,
paus, espadas). Logo, a probabilidade procurada é:
41
()
52 13
PD= =

7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra
caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira
caixa para a segunda, e retira- se uma bola da segunda caixa. Qual a
probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?

Solução. Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais
sejam:

* Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta.
1ª possibilidade: a bola transferida é verde.
Probabilidade de que a bola transferida seja verde:
42
()
63
PV= = (4 bolas
verdes em 6).
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que
a bola transferida é de cor VERDE, será igual a:
4
( / ')
5
PV V= (a segunda caixa
possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta,
portanto, 4 bolas verdes em 5).
Pela regra da probabilidade condicional, vem:
24 8
( ') ( ). ( / ') .
3 5 15
PV V PV PV V∩= = =
2ª possibilidade: a bola transferida é preta.
Probabilidade de que a bola transferida seja preta:
21
()
63
PP= = (2 bolas
pretas e 4 verdes).
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola
transferida é de cor PRETA, será igual a:
3
(/)
5
PV P= (2ª caixa = 1 bola preta +
3 bolas verdes + 1 bola preta).
Daí, vem:
13 1
( ) ( ). ( / ) .
35 5
PV P PP PV P∩= = =
Finalmente vem:
8 1 8 3 11
[( ') ( )] ( ') ( )
15 5 15 15 15
P V V V P PV V PV P∩ ∪∩ = ∩ + ∩= += + =

2. AULA 04 – PROBABILIDADES


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Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla

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8) Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui
duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é
transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da
segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja
da cor vermelha é:

a)
18
75

b)
19
45

c)
19
48

d)
18
´
45

e)
19
75

9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-
se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3
parafusos sejam defeituosos.
Solução. Podemos selecionar 3 parafusos dentre 50 de
3
5050!
19600
3!47!
C= =

formas. Dentre as 5 defeituosas, podemos retirar de
3
55!
1
3!2!
C= =
formas.
Logo,
10
( ) 0,05%
19600
PD= ≅
10) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3
bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e
a terceira vermelha?
Solução. Como não há reposição, a cada retirada diminui o número de bolas na
urna. Os eventos são independentes. Veja a tabela.
1ª retirada 2ª retirada 3ª retirada
preta preta vermelha
10 9 8
total 18 17 16

Logo
10 9 8 720 5
( ) ( ). ( ). ( ) . . 14,7%
18 17 16 4896 34
PP P V PP PP PV∩∩ = = = = ≅

11) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas
duas bolas, uma após a outra, sem reposição ; a primeira bola retirada é de cor
preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha?
Solução. Repare que esse problema difere do anterior, pois não supõe uma
composição de resultados. Se a pergunta fosse: “Qual a probabilidade de a
primeira ser preta e segunda ser vermelha?” , a solução seria:
4 5 20 5
( ) ( ). ( ) .
9 8 72 18
PP V PP PV∩= = = = No entanto, o evento “primeira preta” não
é calculado. Ocorreu com certeza. Logo não interfere em nada no segundo.
Logo
5
()
8
PV=
12) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro
todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num
determinado lance, o juiz retira ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um
jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra
face, mostrada ao jogador ser amarela.

Solução. A probabilidade de sortear o cartão AV (duas cores) é
1
()
3
P AV= Uma
vez sorteado esse cartão, queremos que o juiz veja a face vermelha
1
()
2
PV=
Logo a probabilidade de ocorrerem essas duas situações é:
11 1
( ) ( ). ( / ) .
32 6
P AV V P AV P V AV∩= = =

13. (FUVEST-SP) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca.
Tira-se uma bola ao acaso, registra- se a cor e coloca-se a bola de volta a urna.
Repete- se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem
registradas três cores distintas?
Solução:
1 verde, 1 azul, 1 branca
n(E) = 3.3.3 = 27
A: Saírem 3 cores diferentes.
n(A) = 3.2.1 = 6
62
P(A) =
27 9
=
14. (FEI-SP) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos
pontos obtidos seja 4 ou 5?
n(E) = 36
A: A soma dos resultados é 4.
A={(1;3),(2;2),(3;1)}
n(A) = 3
3
P(A) =
36

B: A soma dos resultados é 5.
B={(1;4),(2;3),(4;1),(3;2)}
n(B) = 4
4
P(B) =
36

347
P(AUB) =
36 36 36
+=
15. (VUNESP-SP) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas
uma após a outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-
se que a primeira é um ás?
n(E) = 12
3
Como a 1ª é um às, então resta 3 cartas de ases P =
11

16. (EEM-SP) Lançando-se simultaneamente dois dados, cujas faces são
numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de:
a) serem obtidos números cujo produto seja ímpar?
()()()()()()()()(){ }
n(E) = 36
A: o produto seja ímpar.
A= 1;1 1;3 1;5 3;1 3;3 3;5 5;1 5;3 5;5
91
n(A) = 9 P =
36 4
=

b) serem obtidos números cujo produto seja par?
()()()()()()()(){ }
n(E) = 36
A: o produto seja par.
A= 1;2 1;4 1;6 2;1 2;2 2;3 ... 5;2 ... 6;6
27 3
n(B) = 27 P =
36 4
=

17. (CESCEA-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o
experimento retirada de uma bola. Considere os eventos:
A: “a bola retirada possui um número múltiplo de 2.”
B: “a bola retirada possui um número múltiplo de 5.”
Determine a probabilidade do evento A ∪ B.
{ }
n(E) = 20
A: A bola retirada possui um número múltiplo de 2.
A= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 28, 20
10
n(A) = 10 P(A) =
20
B: A bola retirada possui um número múltiplo de 5.
B = {5, 10, 15, 20}
n(B) = 4
P(B)
4
=
20
2
A B = {10, 20} n(A B) = 2 P(A B) =
20
10 4 2 12 3
P(A B) =
20 20 20 20 5
+−==
 



Solução.
a) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(V) e sorteou
vermelha na segunda caixa: P(V/V’) =
33 9
.
8 6 48
=
b) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(B) e sorteou
vermelha na segunda caixa: P(V/B) =
5 2 10
.
8 6 48
=
Finalize somando os resultados:
9 10 19
48 48 48
+= Letra C.

3. AULA 04 – PROBABILIDADES


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Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla

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18. (CESGRANRIO) Dois dados perfeitos são lançados ao acaso. Determine a
probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 6.
()()()()(){ }
n(E) = 36
A: A soma seja 6.
A= 1;5 2;4 3;3 4;2 5;1
5
n(A) = 5 P(A) =
36

19. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três
lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de
apenas uma das escolhidas estar queimada?
12,3
n(E) = C = 220
A: Um das lâmpadas estar queimada.
n(A)= C4,1.C8,2 = 4.28 = 112
112 28
P(A) =
220 55
=

20. (VUNESP-SP) Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se
2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma
dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100.
() ()( )( ){ }
100,2n(E) = C = 4950
n(A)= 1;99 2;98 48;52 ... 49;51
n(A)=49
49
P(A) =
4950

21. (MACK-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores
positivos de 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou primo.
E={1,2,3,5,6,10,15,30}
n(E) = 8
A: O número é par.
A={2,6,10,30}
4
n(A)= 4 P(A) =
8
B: O número é primo.
B={2,3,5}
3
n(B) = 3 P(B) =
8
1
A B = {2} n(A B) = 1 P(A B) =
8
4313
P(A B)=
8884
+−=
 


22. (OSEC-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma
única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas e 3 vermelhas e 5 azuis, é?
n(E) = 12
A: Sair bola branca.
n(A) = 4
41
P(A) =
12 3
=

23. (FGV-SP) Uma urna contém 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bola
é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo de 7?
n1
a = a +(n-1).r
994 = 7 +(n-1).7
n = 142
142 71
()
1000 500
PA= =

24. (PUC-PR) De um grupo de 15 rapazes, cinco devem ser relacionados ao acaso
para formar um time de basquete. Entre os 15 estão Carlos e Augusto. Qual a
probabilidade de que ambos sejam selecionados?
25. (UFBA) Uma fábrica produz 40 peças, das quais seis com defeito. Qual a
probabilidade, escolhendo-se ao acaso uma das peças de que ela seja perfeita?
A: Peças perfeitas.
A: Peças defeituosas.
P(A) + P(A) = 1
P(A) = 1 - P(A)
6 17
P(A) = 1 - P(A) =
40 20
⇒

26. (FUVEST-SP) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando-
se 3 bilhetes, qual a probabilidade de nenhum deles ser premiado?
15,5
13,3
n(E) = C = 3003
n(A) = C = 286
286 2
P(A) = simplificando por 143 P(A) =
3003 21
⇒

27. (FUVEST-SP) Escolhidos ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores
positivos de 60, determine a probabilidade de que ele seja primo.
E = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
n(E) 12
A: O número escolhido é primo.
A = {2,3,5}
31
n(A) = 3 P(A) =
12 4
=

28. (FUVEST-SP) Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e
uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul
ou amarela é?
.
n ( E )= 1 5
A: sai bola azul.
3
n(A) = 3 P(A) =
3 2 5115
P(A B) =
15 15 15 3
B: sair bola amarela.
2
n(B) = 2 P(B) =
15






+==






