Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7

LISTA DE EXERCICIOS, RESOLVIDA. APOSTILA ÓTIMA

1. 1"
"
!
COMPLEMENTO!DE !
RESISTÊNCIA!D OS!MATERIAIS !!
!
CARLOS!WALTER!VICENTINI !
!
LISTA!DE!EXERCÍCIOS !1!±!Tensões!!
NOTAS!DE!AULAS!MINISTRADAS!PARA!A!TURMA!DE!ENGENHARIA! !
CIVIL!(5º/6º!CICLO)!DA!UNIP!!!
!
Santos,!agosto!de!2013!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! !
!
!
!
!

2. 2"
"
!
1. Determinar!o!alongamento!e!a!tensão!normal!atuante!em!uma!barra!
prismática!(figura!abaixo)!com!850!mm!de!comprimento,!seção!transversal!
retangular!de!10!mm!x!20!mm !e!com!módulo!de!elasticidade!E!=!200!GPa.!F!
=!20!kN!
!
Solução!
1 1$ 1(0,010!x!0,020)!=!100000000!N/m²!=!100!Mpa !
Supondo!que!está!na!região!elástica!e,!portanto,!obedecendo!a!lei!de!Hooke,!
SRGHPRVHVFUHYHU1 (0/RJR0SD
3
!0SD0!
0 ñ
\4
!mm/mm!
0 ©OO0!SRUWDQWR©O 0O0!=!5*10
\4
!*!850!
©O PP!!Resposta!!
2. A!barra!de!aço!da!figura!abaixo!tem!seção!transversal!A!=!10!cm²!e!está!
solicitada!pelas!forças!axiais!representadas.!Determinar!o!alongamento!da!
barra!e!as!tensões!que!atuam!nos!diversos!trechos,!sabendo\se!que!E!=!
2100!tf/cm².!
!
Solução!
Trecho!AB:!!
¶)[ 1±!10000!=!0!portanto!N!=!10000!kgf!
!
1AB!=!N/A!=!10000!kgf!/!10!=!1000!kgf/cm²!!
&RPRRPDWHULDOpDoR1e!=!2500!kgf/cm²!e!podemos!dizer!que!a!tensão!que!atua!
no!trecho!AB!é!inferior!a!esse!valor,!logo!está!na!região!elástica!e!segue!a!lei!de!
+RRNH3RUWDQWR1 (0!
0!=!1000!kgf/cm²!/!2100000!kgf/cm²!=! 4,76*10
\4
!cm/cm!

3. 3"
"
0 ©OO0!SRUWDQWR©O 0O0!=!4,76*10
\4
!*!2000!mm!
©OAB!=!0,95!mm!!Resposta!
Trecho!BC:!!
¶)[ 1±!10000!+!3000!=!0!portanto!N!=!7000!kgf!
!
1BC!=!N/A!=!7000!kgf!/!10!=!700!kgf/cm²!
$QDORJDPHQWHSRGHPRVHVFUHYHU0!=!700!kgf/cm²!/!2100000!kgf/cm²!=!
3,33*10
\4
!cm/cm!
0 ©OO0!SRUWDQWR©O 0O0!=!3,33*10
\4
!*!3000!mm!
©OBC!=!1!mm!!Resposta!
Trecho!CD:!
¶)[ \!N!=!0!portanto!N!=!9000!kgf!
!
1CD!=!N/A!=!9000!kgf!/!10!=!900!kgf/cm²!
$QDORJDPHQWHSRGHPRVHVFUHYHU0!=!900!kgf/cm²!/!2100000!kgf/cm²!=!
4,29*10
\4
!cm/cm!
0 ©OO0!SRUWDQWR©O 0O0!=!4,29*10
\4
!*!4000!mm!
©OCD!=!1,72!mm!!Resposta!
!
3. A!treliça!Howe!da!figura!suporta!a!força!de!54!t.!Determinar!as!áreas!das!
seções!transversais!das!barras!DE!e!AC,!sabendo\se!que!a!tensão!admissível!
do!material,!a!tração,!é!de!1400!kgf/cm².!Sendo!de!2!m!o!comprimento!da!
barra!DE,!pergunta\se!qual!o!seu!alongamento,!admitindo!para!o!módulo!de!
elasticidade!do!material!o!valor!de!E!=!2,1!x!10
6
!kgf/cm².!
Após!a!determinação!das!áreas,!escolha!o!perfil!mais!adequado!da!tabela!dada!
no!final!da!lista!de!exercícios.!
!

4. 4"
"
!
!
!
!
!
!
!
!
!
4. Duas!barras!iguais,!de!aço,!são!articuladas!nas!extremidades!e!suportam!
uma!carga!de!45!tf,!tal!como!indicado!na!figura.!Adotando\se!a!tensão!
admissível!de!2100!kgf/cm²,!pede\se!determinar!a!área!da!seção!transversal!
dessas!barras!e!o!deslocamento!vertical!do!nó!B.!São!dados:!E!=!2,1!x!10
6
!
kgf/cm²!e!o!comprimento!da!barra!l!=!3!m.!
!
!
Solução:!
!
!
!
!

5. 5"
"
¶)\ !TAB!cos45°!+!TBC!cos45°!\!45!tf!=!0!
TAB!cos45°!+!TBC!cos45°!=!45!tf!!! 0,707(TAB!+!TBC)!=!45!
TAB!+!TBC!=!63,64!tf!
?Fx!=!0:!TBC!cos45°!\!TAB!cos45°!=!0k!! portanto!TBC!=!TAB!!
Logo,!! TBC!=!TAB!=!63,64/2!=!31,82!tf!
1adm!=!2100!kgf/cm²!=!N/Ak!! portanto!A!=!N/21000!=!31820/2100 !
A!=!15,15!cm²!Resposta!
!
2GHVORFDPHQWRYHUWLFDOp%%¶,!portanto:!
FRVƒ ©OAB%%¶ ©OBC%%¶!
%%¶ ©OAB ©OBC/0,707!
©OAB/l0! 0AB! 1AB/E!=!N/AE!!!!!!!!0AB!=!31820!kgf/(15,15cm²!*!2,1E6!kgf/cm²)!
0AB!=!0,001! ! ©OAB! 0AB!*!l0!=!0,001*3000!mm !
©OAB!=!3!mm!
3RUWDQWR%%¶ PP!! %%¶ PP!Resposta!! !
!
!
!
5. Considere!o!pino!de!12!mm!de!diâmetro!da!ligação!da!figura.!Sendo!a!força!
P!=!9000!N,!determine!o!valor!da!tensão!média!de!cisalhamento!que!atua!na!
seção!transversal!a\a!do!pino!considerando!que!sua!distribuição!seja!
uniforme.!Determine!também!as!tensões!de!esmagamento!que!ocorrem!nas!
FKDSDVGHHVSHVVXUDV³c´H³d´!
!
!
Solução:!
Cisalhamento!duplo:!
!
?Fx!=!0:!V!+!V!±!P!=!0!! 2V!=!P!! V!=!P/2!
2 9$ 3$!! 2 1:²/4)!
2 03D!Resposta!
!
Esmagamento!na!chapa!central!\!d!=!20!mm:!
1es!=!P/Aproj!=!9000!N!/!(0,012*0,020)!! 1es!=!37,5!Mpa!Resposta!

6. 6"
"
Esmagamento!nas!chapas!superior!e!inferior!\!c!=!15!mm:!
1es!=!P/2Aproj!=!9000!N!/2!(0,012*0,015)! ! 1es!=!25,0!Mpa!Resposta
! !
!
!
6. De!acordo!com!a!figura,!a!força!P!tende!a!fazer!com!que!a!peça!superior!
deslize!em!relação!à!inferior!segundo!o!plano!a\a.!Sendo!P!=!4000!kgf,!qual!
a!tensão!de!cisalhamento!nesse!plano?!
!
!
Solução:!
A!força!de!cisalhamento!que!atua!no!plano!a\a!é!provocada!pela!componente!
horizontal!de!P.!Logo!temos:!
Px!=!P!cos45°!=!4000*0,707!! Px!=!2828!kgf!
A!área!em!que!atua!a!força!Px!vale:!A!=!20*30!=!600!cm²!
Logo!a!tensão!de!cisalhamento!será:!
2!=!Px/A!=!2828/600! 2 NJIFPð! Resposta!
!
!
!
7. Considere!o!corpo!de!prova!da!figura,!de!seção!transversal!retangular!de!2,5!
cm!por!5,0!cm,!utilizado!para!determinar!a!resistência!à!tração!da!madeira.!
Sendo!para!a!peroba!a!tensão!de!ruptura!ao!cisalhamento!de!130!kgf/cm²,!
pede\VHGHWHUPLQDURFRPSULPHQWRPtQLPR³a´LQGLFDGRQDILJXUDSDUDTXH
a!ruptura!se!dê!por!tração!e!não!por!cisalhamento.!A!carga!de!ruptura!à!
tração!é!P!=!1040!kgf.!!
!
!
Solução:!
Se!a!carga!de!ruptura!a!tração!é!P!=!1040!kgf,!isso!significa!que!com!essa!
carga!eu!não!posso!ter!ruptura!por!cisalhamento.!Então,!como!eu!terei!
FLVDOKDPHQWRGXSORQDUHJLmRFRPGLPHQVmR³D´SRGHPRVHVFUHYHU!
P/2A!”2rup!então,!!!D”NJIFPð!
6HQGRDVVLPD•!! a!•!0,8!cm! ! Resposta!
!

7. 7"
"
!
8. Uma!viga!de!madeira,!com!seção!retangular!com!b=10cm!e!h=18cm!tem!6m!
de!vão!e!a!tensão!admissível!é!9Mpa.!!Calcular!a!máxima!carga!P!que!pode!
ser!aplicada!no!meio!do!vão.!
!
!
Solução:!
W!=!bh²/6!=!0,10*0,18²/6!=!0,00054!m³ !
O!momento!máximo!ocorre!no!ponto!de!aplicação!da!carga!(centro!do!vão)!e!
vale:!! Mmax!=!PL/4!=!P*6/4!=!1,5P!
&RPR1 0:WHUHPRV!! 9E6!N/m²!=!1,5P!Nm!/!0,00054!m³ !
P!=!9E6*0,00054/1,5!! P!=!3240!N! Resposta!
!
9. Calcular!o!valor!da!tensão!máxima!devido!à!flexão!na!viga!prismática!de!
concreto!armado!da!figura.!Represente!a!distribuição!das!tensões!na!seção!
transversal!da!viga.!
São!dados:!?c=2,5tf/m³k!?alv=2,0tf/m³k!e=0,8m.!
!
!
Solução:!
Cálculo!da!carga!distribuída!devido!ao!peso!próprio!do!concreto:!
qcon! Äc!*!1!*!1!=!2,5!tf/m!
Cálculo!da!carga!distribuída!devido!ao!peso!próprio!da!parede!de!alvenaria:!
qalv! Äalv!*!8!*!0,8!=!12,8!tf/m!
q!=!qcon!+!qalv!=!15,3!tf/m!
O!momento!máximo!vale: !! Mmax!=!ql²/8!=!15,3*12²/8!=!275,4!tfm!
O!módulo!de!resistência!à!flexão,!W,!será:!
W!=!bh²/6!=!1*1²/6!=!0,17!m³ !
A!tensão!normal!máxima!devido!à!flexão!será:!

8. 8"
"
1max!=!Mmax/W!=!275,4/0,17!! ! !
1max!=!1620!tf/m²!ou!1max!=!162!kgf/cm²!! Resposta!
!
!
!
!
10. A!viga!de!concreto!armado!da!figura!suporta!duas!colunas!iguais!de!
concreto,!com!30cm!de!diâmetro!e!tensão!de!compressão!de!120kgf/cm²!na!
base,!sendo!a!sua!seção!transversal!retangular!com!60cm!de!base!e!90cm!
de!altura,!com!peso!específico!?c=2,5tf/m³.!Determine!o!valor!da!tensão!
máxima!de!compressão!na!viga!e!represente!a!distribuição!das!tensões!na!
seção.!
!
!
Solução:!
Cálculo!da!carga!distribuída!devido!ao!peso!próprio!do!concreto:!
qcon! Äc!*!0,6!*!0,9!=!1,35!tf/m!!
Cálculo!da!carga!concentrada!P!devido!à!coluna!de!concreto:!
Acol!=!:d²/4!=!:*0,3²/4!=!0,071!m²!
P!=!1*A!=!120*0,071*100²!=!85200!kgf!=!85,2!tf!
Mmax!=!ql²/8!+!VA*2!=!1,35*10²/8!+!85,2*2!=!187,275!tfm!
O!módulo!de!resistência!à!flexão,!W,!será:!
W!=!bh²/6!=!0,6*0,9²/6!=!0,081!m³!
A!tensão!normal!máxima!devido!à!flexão!será:!
1max!=!Mmax/W!=!187,3/0,081! ! ! !
1max!=!2312!tf/m²!ou!1max!=!231,2!kgf/cm²! ! Resposta!
!
!
!
!

9. 9"
"
!
11. Determine!para!a!viga!representada!na!figura!abaixo,!os!diagramas!de!força!
cortante,!momento!fletor.!
Após!a!obtenção!dos!diagramas,!faça!com!que!w 0!=!2!kN/m,!L!=!3m,!calcule!a!
tensão!de!flexão!máxima!absoluta!e!represente!a!distribuição!de!tensão!na!
seção!transversal!da!viga.!
Considere!uma!viga!em!perfil!I!203,2!x!27,3!dada!na!tabela!de!perfis!que!se!
encontra!no!final!da!lista!de!exercícios.!
!
!!!!!!!!! !
Solução:!
Reações!de!apoio.!A!carga!distribuída!é!substituída!por!sua!resultante!e!as!reações!
são!determinadas!com!as!equações!de!equilíbrio!como!segue !
!!!!!!!!!!! !
¶)y!=!0k!!!!RA!±!w0!L/2!=!0!!ou!!RA!=!w0!L/2!!
!!¶0A!=!0k!!MA!±!(w0!L/2)!(2L/3)!=!0!!ou!!MA!=!w0!L²/3!!
!
Funções!de!cisalhamento!e!momento!fletor .!Um!diagrama!de!corpo!livre!de!um!
segmento!com!comprimento!x!é!desenhado!na!figura!(c).!A!intensidade!da!carga!é!
determinada!por!semelhança!de!triângulos,!ou!seja,!w/x!=!w 0/L!e,!portanto,!w!=!
w0x/L.!

10. 10"
"
!!!!!!!!!! !!
¶)y!=!0k!!!!w0!L/2!±!(½)(w0!x/L)x!±!V!=!0!!ou!!V!=!w0/2L!(L²!\!x²)!!!! (1)!
!!¶0x!=!0k!!(w0!L²/3)!\!w0!L/2!(x)!+!(½)(w0!x/L)x!(x!\!2x/3)!+!M!=!0!!ou!!!M!=!
w0/6L!(\2L³!+!3L²x!±!x³)!! ! (2)!
!

11. 11"
"
!!!!! !
! ! !
Diagramas!de!força!cortante!e!momento!fletor .!Os!gráficos!das!equações!(1)!e!
(2)!estão!mostrados!na!figura!(d).!
!
Fazendo\se!w0!=!2!kN/m!e!L!=!3m,!obtemos!os!valores!de!V!e!M!que!são !
V!=!w0!L/2!=!(2!kN/m)!(3!m)/2!=!3!kN!!
M!=!\!(w0!L²)/3!=!(2!kN/m)!(3!m)²!/!3!=!\6!kNm!
Nota:!O!valor!negativo!do!momento!significa!que!as!fibras!inferiores!são!comprimidas!
e!as!superiores!tracionadas.!
Consultando!a!tabela!da!página!5,!I!203,2!x!27,3,!obtemos!os!valores!de!Ix!=!2400!
cm
4
k!h!=!20,32!cmk!Wx!=!236!cm³.!
portanto,!Ix!=!2400!(1/100
4
)!m
4
k!h!=!20,32!(1/100)!m!k!Wx!=!236!(1/100³)!m³.!
Logo,!Ix!=!2,4!10
\5
!m
4
k!h!=!2,032!10
\1
!mk!Wx!=!2,36!10
\4
!m³.!

12. 12"
"
c!=!h/2!=!(2,032!10
\1
)/2!=!1,016!10
\1
!m!
como!1máx!=!M!c/I,!temos!que!1máx!=!(\6!kNm)!(1,016!10
\1
!m)/!2,4!10
\5
!m
4
,!então!
1máx!=!\2,54!10
4
!N/m²!=!\2,54!10
4
!Pa!=!\25,4!kPa!!!! ! Resposta!
!
Nota:!
Podemos!usar!também!a!seguinte!equação:!! 1máx!=!M!/!W!e!então!teremos:!1máx!=!
(\6!kNm)/(2,36!10
\4
!m³)!=!25423,7!N/m²!ou!aproximadamente!25,4!kPa. !
!!!
!
!
12. Determine!para!a!viga!com!um!balanço!representada!na!figura !abaixo,!os!
diagramas!de!força!cortante,!momento!fletor.!
Após!a!obtenção!dos!diagramas,!faça!com!que!p!=!15!kN/m,!L!=!4!m,!a!=!3!m!
e!b!=!1!m.!Calcule!a!tensão!de!flexão!máxima!absoluta!e!represente!a!
distribuição!de!tensão!na!seção!transversal!da!viga.!
Escolha!o!perfil!mais!econômico,!portanto!mais!adequado,!consultando!a!tabela!
a!seguir!e!considerando!que!o!material!da!viga!apresenta!uma!tensão!
admissível!!1Adm!=!150!MPa!.!
!
!
!!!! !

13. 13"
"
Solução!
Reações!de!apoio.!A!carga!distribuída!é!substituída!por!sua!resultante!e!as!reações!
são!determinadas!com!as!equações!de!equilíbrio!como!segue !
!!!!!!!!!!! !
¶)y!=!0k!!!!RA!+!RB!±!p!L!=!0!!ou!!RA!=!p!L!\!RB!!
!!¶0A!=!0k!!RB!a!\!p!L!L/2!=!0!!ou!!RB!=!p!L²/2!a!!
então!RA!=!p!L!±!p!L²/2!a!=!p!L!(1!±!L/2a)!
Funções!de!cisalhamento!e!momento!fletor .!Um!diagrama!de!corpo!livre!de!um!
segmento!no!trecho!AB!com!comprimento!x!é!desenhado!na!figura!(c). !
!!!!!!!!!!!!!!! !
¶)y!=!0k!!!!RA!±!p!x!\!V=!0!!ou!!V!=!p!L!(1!±!L/2a)!±!p!x!!
1HVWHWUHFKR”[”DHQWmR!
para!x!=!0!temos!V!=!p!L!(1!±!L/2a)!
para!x!=!a!temos!V!=!p!L!(1!±!L/2a)!±!p!a!!!!

14. 14"
"
Onde!V(x)!=!0!o!momento!será!máximo,!logo!para!sabermos!onde!!V(x)!corta!o!eixo!
dos!x,!igualamos!V(x)!a!zero.!
V!=!p!L!(1!±!L/2a)!±!p!x!=!0!então!x!=![p!L!(1!±!L/2a)]/p!
x!=!L!(1!±!L/2a)!
!
¶0x!=!0k!!!M!±!RA!x!+!p!x!(x/2)!=!0!!!ou!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
! M!=!p!L!(1!±!L/2a)!x!\!p!x²/2!
1HVWHWUHFKR”[”DHQWmR!
para!x!=!0!temos!M!=!0!
para!x!=!a!temos!M!=!p!L!(a!±!L/2)!\!p!a²/2!
!
Um!diagrama!de!corpo!livre!de!um!segmento!no!trecho!BC!com!comprimento!x!é!
desenhado!na!figura!(d)!e!aplicadas!as!equações!de!equilíbrio!para!determinação!das!
equações!dos!esforços!internos!M!e!V.!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !
¶)y!=!0k!!!!!!RA!±!p!x!+!RB!±!V!=!0!!ou!!!
V!=!p!L!±!p!L²/2a!±!p!x!+!p!L²/2!a!!!!ou!!V!=!pL!±!p!x!=!p(L!±!x)!
1HVWHWUHFKRD”[”/!então!
para!x!=!a!temos!V!=!p(L!±!a)!
para!x!=!L!temos!V!=!0!
!!

15. 15"
"
¶0x!=!0k!!!M!±!RA!x!+!p!x!(x/2)!±!RB!(x!±!a)!=!0!!!ou!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
! M!=!(p!L!±!p!L²/2a)!x!\!p!x²/2!+!p!L²/2!a!(x!±!a)!
! M!=!pLx!±!pL²x/2a!\!px²/2!+!pL²x/2a!\!pL²/2!
! M!=!\px²/2!+!pLx!\!pL²/2!
! M!=!\px²/2!+!pLx!\!pL²/2!
!
1HVWHWUHFKRD”[”/!então!
para!x!=!a!temos!M!=!\pa²/2!+!pLa!\!pL²/2!
para!x!=!L!temos!M!=!0!
!!
!
!!!!!!!!!!! !
!
Diagramas!de!força!cortante!e!momento!fletor .!Os!gráficos!das!equações!(1)!e!
(2)!estão!mostrados!na!figura!(e).!
!

16. 16"
"
Fazendo\se!p!=!15!kN/m,!L!=!4!m,!a!=!3!m!e!b!=!1!m,!como!pedido!no!enunciado!do!
exercício,!temos,!no!trecho!AB,!pois!é!lá!que!encontramos!Mmáx!substituindo!x!por!L(1!
±!L/2a)!=!4!m![1!±!(4!m)/(2!3!m)!=!1,33!m.!
!
A!equação!do!momento!para!o!trecho!AB!é!dada!p ela!expressão:!
M!=!p!L!(1!±!L/2a)!x!\!p!x²/2.!Substituindo!os!valores!teremos:!!!
!
M!=!(15!kN/m)(4!m)[1!±!(4!m)/(2!3!m)]!(1,33!m)!±!(15!kN/m)!(1,33!m)²!/2!=!13,3!
kNm.!
!
!
&RPR1 0:H1SRGHDVVXPLUQRPi[LPRRYDORUGH1Adm!podemos!dizer!que!
1”1Adm!RQGH1pDWHQVmRFDOFXODGD!
Então,!se!igualarmos!as!expressões!acima!obtemos:!
!
1 0: 1Adm!GHRQGHWLUDPRVTXH: 01Adm!
!
Logo,!W!=!(13,3!kNm)/(150!MPa)!=!8,9!10
\5
!m
3
!=!89!cm³!
!
Para!a!escolha!do!perfil!mais!econômico,!portanto!mais!adequado,!consultando!
a!tabela!da!página!5,!encontramos!uma!viga!I!127!x!18,2!cujo!valor!de!Wx!=!
89,8!cm
3
!Resposta!
!
Então!a!tensão!máxima!de!flexão!vale:!!
1máx!=!M/W!=!(13,3!kNm)/(89,8!cm³)!! !
1máx!=!(13,3!kNm)/(8,98!10
\5
!!m³)!!
1máx!=!148,1!MPa!! Resposta!
!
13. !A!peça!de!mármore,!que!podemos!considerar!como!um!material!linear!elástico !
frágil,!tem!peso!específico!de!24!kN/m³!e!espessura!de!20!mm.!Calcule!a!tensão!
de!flexão!máxima!da!peça!se!ela!estiver!apoiada!(a)!em!seu!lado!e!(b)!em!suas!
ERUGDV6HDWHQVmRGHUXSWXUDIRU1Rup!=!1,5!MPa,!explique!as!consequências!de!
apoiar!a!peça!em!cada!uma!das!posições.!
!
!
Solução:!!!!!!!!!Esquema!estático!adotado:!

17. 17"
"
!
!!!!!!!!!!!! !
Como!já!vimos!anteriormente,!o!valor!de!momento!máximo!para!esse!esquema!
estático!é:!
!
M!=!w!L²/8!
Portanto!temos!que!determinar!o!valor!de!w!que!é:!
Z Ämármore!Vpeça!/!L=!(24!kN/m³)!(1,5!m!x!0,5!m!x!0,02!m)/1,5!m!!
w!=!240!N/m!!e!!L!=!1,5!m!
então,!
M!=!240!N/m!(1,5!m)²/8!=!67,5!Nm !
Cálculo!do!momento!de!inércia!da!peça:!
1. Para!a!posição!(a)!temos:!
!
!!Ix!=!b!h³/12!=!0,02!m!(0,5!m)³/12!=!!!!2,08!10
\4
!m
4!
!
!!!!!! !!
!
Wx!=!Ix/c!=!Ix!2/h!=!8,33!10
\4
!m³!
então!1máx!=!M/W!=!67,5!Nm!/!8,33!10
\4
!m³!=!0,081!MPa!”1Rup!
!
!
!
2. Para!a!posição!(b)!temos:!
Ix!=!b!h³/12!=!0,5!m!(0,02!m)³/12!=!!3,33!10
\7
!m
4
!

18. 18"
"
!
!
Wx!=!Ix/c!=!Ix!2/h!=!3,33!10
\5
!m³!
então!1máx!=!M/W!=!67,5!Nm!/!3,33!10
\5
!m³!=!2,025!MPa!!1Rup!
!
Portanto!na!posição!(a)!a!peça!resiste!mas !na!posição!(b)!a!peça!se!
rompe.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Resposta!
!
14. !Uma!viga!composta!é!feita!de!madeira!e!reforçada!com!uma!tira!de!aço!
localizada!em!sua!parte!inferior.!Ela!tem!a!área!de!seção!transversal!
mostrada!na!figura.!Se!for!submetida!a!um!momento!fletor!M!=!2!kNm,!
determine!a!tensão!normal!nos!pontos!B!e!C.!Considere!Eaço!=!200!GPa.!Emad!
=!12!GPa.!
!
Solução!
Solução!
Propriedades!da!seção .!Embora!a!escolha!seja!arbitrária,!aqui,!transformaremos!a!
seção!em!outra!feita!inteiramente!de!aço.!Visto!que!o!aço!tem!rigidez!maior!que!a!da!
madeira! (Eaço!>! Emad),! a! largura! da!madeira! deve! ser! reduzida! a! uma! largura!
equivalente!para!o!aço.!Por!conseqüência!n!deve!ser!menor!do!que!um.!Para!tanto,!n!
=!Emad/!Eaço,!então!
baço!=!nbmad!=!=!9!mm !
A!seção!transformada!é!mostrada!na!figura!86b.!

19. 19"
"
!
A!localização!do!centróide!(eixo!neutro),!calculada!em!relação!a!um!eixo!de!referência!
localizado!na!parte!inferior!da!seção,!é!
y!=![(0,01!m)(0,02!m)(0,15!m)!+!(0,095!m)(0,009!m)(0,15!m)]/ !
/[0,02!m(0,15!m)!+!0,009!m!(0,15!m)]!=!0,03638!m !
Portanto,!o!momento!de!inércia!em!relação!ao!eixo!neutro!é!
INA=[(1/12)(0,15!m)(0,02!m)³!+!(0,15!m)(0,02!m)(0,03638!m! ±!0,01!m)²]!
+[(1/12)(0,009!m)(0,15!m)³!+!(0,009!m)(0,15!m)(0,095!m! ±!0,03638!m)²]!
INA!=!9,358(10
\6
)!m
4
!
Tensão!normal$SOLFDQGRDIyUPXODGDIOH[mRDWHQVmRQRUPDOHP%¶H&p!
1%¶!=!Mc/I!=!2!kNm!(0,170!m!±!0,03638!m)/9,358(10
\6
)!m
4
!=!28,6!MPa!
1C!=!2!kNm!(0,03638!m)/9,358(10
\6
)!m
4
!=!7,78!MPa!!Resposta!
A!distribuição!da!tensão!normal!na!seção!transformada!(toda!de!aço)!é !mostrada!na!
figura!86c.!
A! tensão! normal! na! madeira,! localizada! em! B! na! figura! 86a,! é! determinada! pela!
equação:!!
1B! Q1%¶!=!(12!GPa/200!GPa)(28,56!MPa)!=! 1,71!MPa!!! Resposta!

20. 20"
"
Usando!esses!conceitos,!mostre!que!a!tensão!no!aço!e!na!madeira!no!ponto!onde!ela s!
HVWmRHPFRQWDWRp1aço! 03DH1mad!=!0,21!MPa,!respectivamente.!
A!distribuição!de!tensão!normal!na!viga!verdadeira!é!mostrada!na!fig.!86d.!
!
15. !A!viga!de!concreto!armado!é!feita!com!duas!hastes!de!reforço!de!aço.!Se!a!
WHQVmRGHWUDomRDGPLVVtYHOSDUDRDoRIRU1aço)adm!=!280!MPa!e!a!tensão!de!
compressão!admissível!para!o!concreto!IRU1conc)adm!=!21!MPa,!determine!o!
momento! máximo! M! que! pode! ser! aplicado! à! seção.! Considere! que! o!
concreto! não! pode! suportar! uma! tensão! de! tração.! Eaço!=200! GPa,! Econc!=!
26,5!GPa.!
!
Solução!
!
Dados:!bf!=!550!mmk!df!=!100!mmk!bw!=!150!mmk!dw!=!450!mm!
! ! dr!=!25!mm! hr!=!50!mm! Econc!=!26,5!GPa!
!!!!!Eaço!=!200!GPak!!!!1aço)adm! 03D1conc)adm!=!21!MPa!
!
Propriedades!da!seção!
!

21. 21"
"
n!=!Eaço/Econc!=!200!GPa/26,5!GPa!=!7,54717!
!
$¶aço! QšGrð š[ð PPð!
!
'HWHUPLQDomRGHK¶!
\$¶aço(dw!\!hr!±!K¶Ef!df(0,5!df!K¶Ew!K¶K¶ !
\7409,42(450!±!50!±!K¶[[K¶K¶K¶ !
K¶ðK¶±!2850,24!=!0!
de!onde!WLUDPRVTXHK¶ !ou!!h´=!\835,54!
Portanto!o!valor!mais!aceitável!é:!K¶ PP!
!
Determinação!do!momento!de!inércia!da!seção: !
I!=!Iaço!+!If!+!Iw!
Iaço! $¶aço(dw!\!hr!±!K¶ð \!50!±!3,41)²!=!1165380460!mm
4
!
If!=!1/12(bfdf
3
)!+!bfdf(0,5df!K¶ð [ñ[[ð!
If!=!202727878,8!mm
4
!!
Iw!=!1/12(bwK¶ñEwK¶K¶ð [ñ[[ð!
Iw!=!1982,6!mm
4
!
I!=!1165380460!mm
4
!+!202727878,8!mm
4
!+!1982,6!mm
4
!
I!=!1368110321!mm
4
!!
!
A!tensão!máxima!no!concreto!será!dada!por:!1máx!=!1conc)adm!=!Mconc!cconc!/I!
onde!cconc!=!df!K¶ PP!
Então!o!momento!máximo!permitido!no!concreto!será: !
Mconc!=!(1conc)admI/cconc!=!21!MPa!(1368110321!mm
4
)/103,41!mm!=!277,83!kNm !
A!tensão!máxima!no!aço!será!dada!por:!! 1máx!=!1aço)adm!=n!Maço!caço!/I!
onde!caço!=!dw!\!hr!±!K¶ ±!50!\!3,41!=!396,59!mm!
O!momento!máximo!permitido!no!aço!será: !

22. 22"
"
Maço!=!1aço)admI/n!caço!=!280!MPa!(1368110321!mm
4
)/(7,54717)396,59!mm!=!!
127,98!kNm!
Portanto!o!momento!máximo!permitido!será:! !
Mmáx!=!127,98!kNm !! Resposta!
!
16. Visto! que! o! concreto! só! pode! suportar! pouca! ou! nenhuma! tração,! esse!
problema!pode!ser!evitado!se!o!concreto!for!protendido!com!cabos!ou!hastes.!
Considere! a! viga! simplesmente! apoiada! mostrada! na! figura,! que! tem! seção!
transversal! retangular! de! 450! mm! por! 300! mm.! Se! o! peso! específico! do!
concreto!for!24!kN/m³,!determine!a!tração!exigida!na!haste!AB,!que!se!estende!
por!toda!a!viga,!de!modo!que!nenhuma!tensão!de!tração!seja!desenvolvida!na!
seção!central!a\a!da!viga.!Despreze!o!tamanho!da!haste!e!qualquer!deflexão!da!
viga.!
!
Solução!
Dados:!b!=!300!mmk!d!=!450!mmk!G¶ PP!
! ! L!=!2,4!mk!! ?!=!24!kN/m³!
!
a!=!d!±!G¶ PP!
Z ÄEG N1PFDUJDGLVWULEXtGD!
!
!
!
Cálculo!das!reações:!por!simetria,!RA!=!RB!=!R!
¶)y!=!0k!! 2R!±!wL!=!0k!R!=!wL/2!=!3,888!kN!

23. 23"
"
Esforços!internos!(normal!e!momento!fletor):!
!
!
¶)x!=!0k!! T!±!N!=!0k!! N!=!T!
!
¶0O!=!0k!! M!+!T(0,5d!±!a)!±!R(0,5L)!+!(0,5wL)(0,25L)!=!0!
! ! ! M!=!R(0,25L)!±!T(0,5d!±!a)!
!
Propriedades!da!seção:!
A!=!bd!=!135000!mm² !
I!=!1/12(b!d³)!=!2278125000!mm
4
!
!
Tensão!normal:!1a!=!N/A!+!Mc/I!
Por!imposição!do!problema:!! 1a!=!0k!0!=!\T/A!+!Mca/I!
onde!ca!=!0,5d!
! ! ! 0!=!\T/A!+![R(0,25L)!±!T(0,5d!±!a)]ca/I!
!
! ! ! T!=!R(0,25L)/![(0,5d!±!a)!+!I/(A!ca)]!
!
!! ! T!=!9331!kN!! Resposta!
!
17. !Para!reforçar!uma!viga!de!aço,!uma!tábua!de!carvalho!foi !colocada!entre!
seus!flanges,!como!mostra!a!figura.!Se!a!tensão!normal!admissível!para!o!aço!
IRU 1adm)aço! 03D H SDUD D PDGHLUD 1adm)mad!=! 21! MPa,! determine! o!
momento! fletor! máximo! que! a! viga! pode! suportar! com! e! sem! o! reforço! da!
madeira.!Eaço!=!200!GPa,!Emad!=!12!GPa.!O!momento!de!inércia!da!viga!de!aço!
é!Iz!=!7,93!10
6
!mm
4
,!e!sua!área!de!seção!transversal!é!A!=!5493,75!mm².!
!
Solução!

24. 24"
"
Sem!a!tábua.!Neste!caso,!o!eixo!neutro!coincide!com!o!eixo!z.!A!aplicação!direta!da!
fórmula!da!flexão!para!a!viga!de!aço!dá!como!resultado!
1adm)aço!=!Mc/Iz!!
168!N/mm²!=!M!(105!mm)/7,93!10
6
!mm
4
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!M!=!12,688!kNm !!!!!!!!!!!Resposta!
Com! a!tábua.!Visto!que!agora!temos!uma!viga!composta,!devemos!transformar!a!
seção! em! um! único! material.! Será! mais! fácil! transformar! a! madeira! em! uma!
quantidade! equivalente! de! aço.! Para! tal,! n! =! Emad/Eaço.! Assim,! a! largura! de! uma!
quantidade!equivalente!de!aço!é!
baço!=!nbmad!=!(12!GPa/200GPa)300!mm!=!18!mm !
A!seção!transformada!é!mostrada!na!figura.!!
!
O!eixo!neutro!encontra\se!em!
y!=!?yA/?A!=!(0)(5493,75!mm²)!+!(55!mm)(100!mm)(18!mm)/ !
/[5493,75!mm²!+!100(18)!mm²]!=!13,57!mm !
E!o!momento!de!inércia!em!relação!ao!eixo!neutro!é!
I!=![7,93!10
6
!mm
4
!+!(5493,75!mm²)(13,57!mm)²]!+! !
+![(1/12)(18!mm)(100!mm)³!+!(18!mm)(100!mm)(55!mm! ±!13,57!mm)²]!!
I!=!13,53(10
6
)!mm
4
!
A! tensão! normal! máxima! ocorrerá! na!parte!inferior! da! viga! (figura! 87b).! Aqui,! c!=!
105! mm! +! 13,57! mm! =! 118,57! mm.! O! momento! máximo! baseado! na! tensão!
admissível!para!o!aço!é!
1adm)aço!=!Mc/I!
168!(10
6
)!N/m²!=!168!N/mm²!=!M(118,57!mm)/13,53(10
6
)!mm
4
!
M!=!19,17!kNm!
A!tensão!normal!máxima!na!madeira!ocorre!na!parte!superior!da!viga!(figura!87b).!
$TXL F¶ PP±!13,5PP PP 9LVWR TXH 1mad! Q1aço,! o! momento!
máximo!baseado!na!tensão!admissível!para!a!madeira!é !

25. 25"
"
1adm)mad! Q0¶F¶,!
1PPð >*3D*3D0¶PP@
6
)mm
4
!
0¶ N1P!
Por! comparação,! o! momento! máximo! é! limitado! pela! tensão! admissível! no! aço.!
Portanto,!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!M!=!19,17!kNm !!!!!!!Resposta!
Observação:!Usando!a!tábua!como!reforço,!conseguimos! 51%!de!capacidade!
adicional!para!o!momento!da!viga.!

26. 26"
"
!