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Resolução de Problemas envolvendo Equações do 2º grau

1. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Binômio de Newton
IsaacNewtonnasceunapequenacidadeinglesade
Lincolnshireem4dejaneirode1643emorreuem31de
marçode1727.Elefoiummeninorebelde,masvocê
tambémseriasesuamãeoabandonasseemumcolégio
internoqueensinavagramáticanamaiorpartedotempo...
EssanãoeraadisciplinapreferidadojovemNewton,que,
comovamosver,desenvolveuváriasteoriasque
revolucionaramamatemática,físicaeastronomia.
EmCambridge,IsaacNewtonfoioprimeirodaclasse.Formou-seem1665etevequeretornar
asuaaldeianatalquandoauniversidadefechoudevidoaosurtodepestebubônica.Comoa
epidemiaoimpediadesairdecasa,ojovemsededicouarevertudooquetinhaaprendidona
faculdade.Apartirdaí,elenãoparoudepesquisarerealizarexperimentos.Nessaépoca,
Newtondavaosprimeirospassosrumoàsdescobertasmaisimportantes,comoa
decomposiçãodaluz,oprincípiodagravitaçãouniversal,desenvolvimentosmatemáticos
diversoseaschamadastrêsleisdeNewton.
MATEMÁTICA
Ensino Fundamental, 9º ano
Resolução de problemas envolvendo
equações do 2º grau

2. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Umproblemaédo2ºgrause,paraasuaresolução,for
formadaumaequaçãodo2ºgrau.
Naresoluçãodeumproblemaajuda:
Fazerumesquemaoudesenhodemodoa
compreendermelhoroenunciado;
Identificarosdadoseaincógnita;
Formaraequação;
Resolveraequação;
Interpretarassoluçõesdaequaçãonocontextodo
problema.
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3. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.1)OtriplodoquadradodonúmerodefilhosdePedroéigual
a63menos12vezesonúmerodefilhos.QuantosfilhosPedro
tem?
SendoxonúmerodefilhosdePedro,temosque:
3x
2
equivaleaotriplodoquadradodonúmerodefilhos;
63-12xequivalea63menos12vezesonúmerodefilhos.
Montandoasentençamatemáticaobtemos:
3x
2
=63-12x,quepodeserexpressacomo3x
2
+12x-63=0.
Temosagoraumasentençamatemáticareduzidaàformaax
2
+bx+c=
0,queédenominadaequaçãodo2°grau.

4. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
PrimeiramentecalculemosovalordeΔ:
3x²+12x–63=0a=3b=12c=–63
Δ=b²–4.a.c
Δ=12²–4.3.(–63)
Δ=144+756
Δ=900
ComoΔémaiorquezero,sabemosqueaequaçãopossuiduasraízes
reaisdistintas.Vamoscalculá-las:
3x²+12x–63=0a=3b=12c=–63
x=(–bΔ)/2.a
x
1=(–12+900)/6
x
1=(–12+30)/6
x
1=18/6
x
1=3

5. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
3x² + 12x –63 = 0 a = 3 b = 12 c = –63
x
2= (–12 –900)/6
x
2= (–12 –30)/6
x
2= –42/6
x
2= –7
Araízesencontradassão3e–7,mascomoonúmerodefilhosdeuma
pessoanãopodesernegativo,descartamosentãoaraiz–7.
Portanto:Pedrotem3filhos.
http://www.heath ersanimations.com /children/a1057.gif
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hersanimations.c
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58.gif
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heathersanim
ations.com/c
hildren/a105
9.gif

6. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.2)Umatelaretangularcomáreade9600cm
2
temdelarguraumavezemeiaasuaaltura.
Quaissãoasdimensõesdestatela?
Sechamarmosdexaalturadatela,temosque:
1,5xseráasualargura.
Sabemosqueaáreadeumafigurageométricaretangularé
calculadamultiplicando-seamedidadasualargura,pelamedida
dasuaaltura.
Escrevendooenunciadonaformadeumasentençamatemática
obtemos:
x.1,5x=9600
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7. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Asentençamatemáticax.1,5x=9600,tambémpodeserexpressacomo:
1,5x
2
–9600=0
Notequetemosumaequaçãodo2°grauincompleta,queteráduas
raízesreaisopostas,situaçãoqueocorresemprequeocoeficientebé
igualazero.Vamosaoscálculos:
1,5x
2
–9600 = 0
1,5x
2
= 9600
x
2
= 9600/1,5
x
2
= 6400
x = 6400
x = 80

8. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Asraízesreaisencontradassão–80e80.
Noentanto,comoumatelanãopodeterdimensõesnegativas,
devemosdesconsiderararaiz–80.
Como1,5xrepresentaalarguradatela,temosentãoqueelaseráde
1,5.80=120.Portanto:
Estatelatemasdimensõesde80cmdealtura,por120cmde
largura.

9. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.3)Comprei4lanchesaumcertovalorunitário.De
outrotipodelanche,comomesmopreçounitário,a
quantidadecompradafoiigualaovalorunitáriode
cadalanche.Pagueicomduasnotasdecemreaise
recebiR$8,00detroco.Qualopreçounitáriodecada
produto?
Oenunciadonosdizque:
Osdoistiposdelanchetêmomesmovalorunitário.Vamos
denominá-loentãodex;
Deumdosprodutoseucomprei4unidadesedooutroeu
compreixunidades.
RecebiR$8,00detrocoaopagarR$200,00pelamercadoria.
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10. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Temosasinformaçõesnecessáriasparamontarmosaseguinte
equação:
4.x+x.x+8=200
Ouentão:
4x+x²+8=200x²+4x–192=0
Comoxrepresentaovalorunitáriodecadalanche,vamossolucionara
equaçãoparadescobrimosquevaloréeste:
x² + 4x –192 = 0 a = 1 b = 4 c = –192
Δ = b² –4.a.c
Δ = 4² –4.1.(–192)
Δ = 16 + 768
Δ = 784

11. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x²+4x–192=0a=1b=4c=–192
x=(–bΔ)/2.a
x
1=(–4+784)/2
x
1=(–4+28)/2
x
1=24/2
x
1=12
x
2=(–4–784)/2
x
2=(–4–28)/2
x
2=–32/2
x
2=–16
Asraízesreaisdaequaçãosão–16e12.Comoopreçonãopodeser
negativo,araizigual–16deveserdescartada.
Assim,opreçounitáriodecadaprodutoédeR$12,00.

12. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.4)OprodutodaidadedePedropelaidadedePaulo
éiguala374.Pedroé5anosmaisvelhoquePaulo.
Quantosanostemcadaumdeles?
SechamarmosdexaidadedePedro,teremos:
x–5seráaidadedePaulo.
Oprodutodasidadeséiguala374,logox.(x–5)=374.
Estasentençamatemáticatambémpodeserexpressacomo:
x.(x–5)=374x²–5x=374x²–5x–374=0
http://www.eurooscar.com/gifs1/escola1.htm

13. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
PrimeiramenteparaobtermosaidadedePedro,vamossolucionara
equação:
x²–5x–374=0a=1b=–5c=–374
Δ=b²–4.a.c
Δ=(–5)²–4.1.(–374)
Δ=25+1496
Δ=1521
x=(–bΔ)/2.a
x
1=(5+1521)/2
x
1=(5+39)/2
x
1=44/2
x
1=22

14. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x=(–bΔ)/2.a
x
2=(5–1521)/2
x
2=(5–39)/2
x
2=–34/2
x
2=–17
Asraízesreaisencontradassão–17e22,porsernegativa,araiz–17
deveserdescartada.
LogoaidadedePedroéde22anos.
ComoPedroé5anosmaisvelhoquePaulo,Paulotementão17
anos.

15. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Definindoaincógnitacomox,temos:
3x
2
equivaleaotriplodoquadradodonúmero;
15xequivalea15vezesestenúmero.
http://bestanimations.com/Books/bo
y-reading-book-animation-3.gif
Podemosescreverestasentençadaseguinteforma:
3x
2
=15x
Ouaindacomo:
3x
2
–15x=0
Ex.5)Hádoisnúmeroscujotriplodoquadradoé
aigual15vezesestesnúmeros.Quaisnúmeros
sãoestes?

16. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Notequetemosumaequaçãodo2°grauincompleta,comoapenaso
coeficientecéigualazero,sabemosqueestaequaçãopossuiduas
raízesreais.Umaéigualazeroeaoutraédadapeloopostodo
coeficientebdivididopelocoeficientea.Resumindopodemosdizer
que:
3x² –15x = 0
x(3x –15) = 0
x = 0
3x –15 = 0
3x = 15
x = 15/3
x = 5
Assim sendo, os dois números são 0 e 5.

17. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.6)Quaissãoasraízesdaequaçãox²–14x+
48=0?
Podemosresolverestaequaçãosimplesmenterespondendoesta
pergunta:
Quaissãoosdoisnúmerosquesomadostotalizam14eque
multiplicadosresultamem48?
Semqualqueresforçochegamosa6e8,pois6+8=14e6.8=48.
Parasimplesconferência,vamossolucioná-latambématravésda
fórmuladeBháskara:
http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/livros/liv017.gif

18. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x²–14x+48=0a=1b=–14c=48
Δ=b²–4.a.c
Δ=(–14)²–4.1.48
Δ=196–192
Δ=4
x=(–bΔ)/2.a
x
1=(14+4)/2
x
1=(14+2)/2
x
1=16/2x
1=8
x
2=(14–4)/2
x
2=(14–2)/2
x
2=12/2x
2=6

19. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.7)Resolvaaequaçãobiquadradax
4
–20x²–
576=0.
Substituindonaequaçãox
4
pory
2
etambémx
2
pory
temos:
y
4
–20y²–576=0
Resolvendo-atemos:
y
4
–20y²–576=0a=1b=–20c=–576
Δ=b²–4.a.c
Δ=(–20)²–4.1.(–576)
Δ=400+2304
Δ=2704
http://www.eurooscar.com/gifs1/escola1.htm

20. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
y
4
–20y²–576=0a=1b=–20c=–576
y=(–bΔ)/2.a
y
1=(20+2704)/2
y
1=(20+52)/2
y
1=72/2
y
1=36
y
2=(20–2704)/2
y
2=(20–52)/2
y
2=–32/2
y
2=–16

21. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Substituindoosvaloresdeynaexpressãox
2
=yobtemosasraízesda
equaçãobiquadrada:
Paray
1=36,temos:
x²=y
x²=36
x=36
x=6
Paray
2=–16,comonãoexisteraizquadradarealdeumnúmero
negativo,ovalorde-16nãoseráconsiderado.
Destaforma,asraízesdaequaçãobiquadradax
4
–20x
2
–576=0são
somente:–6e6.

22. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.8)Paiefilhotêmhoje45e15anos,respectivamente.
Háquantosanosaidadedopaieraigualaoquadradoda
idadedofilho?
Emproblemascomoessequeenvolvemtempodecorridoosinalde
menos(–),nãosignifica“retirar”umaquantidadeesim,voltarno
tempo.
Representaçãoalgébricadasidadesdopaiedofilho,háxanos:
idadedopaiháxanos:45–x
idadedofilhoháxanos:15–x
Equalizandoasinformações“idadedopaieraigualaoquadradoda
idadedofilho”:45–x=(15–x)².
http://www.heathersanimations.com/school/sc28.gif

23. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Desenvolvendo a equação 45 –x = (15 –x)², obtemos:
45 –x = 225 –30x + x
2
x
2
–29x + 180 = 0 a = 1 b = –29 c = 180
Δ = b² –4.a.c
Δ = (–29) ² –4.1.180
Δ = 841 –720
Δ = 121
x=(–bΔ)/2.a
x
1=(29+121)/2
x
1=(29+11)/2
x
1=40/2
x
1=20

24. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x
2
–29x+180=0a=1b=–29c=180
x
2=(29–121)/2
x
2=(29–11)/2
x
2=18/2
x
2=9
Analisandoosresultadosencontrados(20e9),ovalor20nãopodeser
usadonoproblema,pois,nessecaso,ofilhoteriaidadenegativa!
idadedopaiháxanos:45–x
idadedofilhoháxanos:15–x
Portando,parax=9temosparaidades:36e6anos.

25. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.9)Umretângulopossuiamedidadeseuladomaiorigualao
quádruplodoladomenor,eáreamedindo256m².Determinea
medidadeseuslados.
Paracalcularmosaáreadeumaregiãoretangulardevemos
multiplicarocomprimentopelalargura.
4x.x=256
4x²=256x²=256/4x²=64x=64x=8
Oladodemaiorcomprimento(4x)mede32metroseodemenor
comprimento(x),8metros.
256 m² x
4x

26. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.10)Numcongressohavia50pessoasentremulherese
homens.Descubraquantasmulheresequantoshomens
estavampresentes,sabendoqueoprodutodas
quantidadesdosdoisgruposéigual621equea
quantidadedemulheresémaiordoqueaquantidadede
homens.
Sendoh:númerodehomensemonúmerodemulheresno
congresso,temosque:
h+m=50equivaleaototaldepessoasnocongresso;
h.m=621equivaleaoprodutodasquantidadesdosdois
grupos.
http://www.
fotosdahora.
com.br/gifs_
path/7190/o
lhos_7/

27. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Montandoasentençamatemáticaobtemos:
h + m = 50 h = 50 –m
h . m = 621
Substituindo h por 50 –m na 2ª equação, temos:
(50 –m).m = 621
50m –m² –621 = 0 x(-1)
m² –50m + 621 = 0
a = 1 b = –50 c = 621
= b² –4.a.c
= (–50)² –4.1.621
= 2500 –2484
= 16

28. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
m = (–b )/2.a
m = (504)/2
m
1= (50 + 4)/2
m
1 = 54/2
m
1 = 27
m
2= (50 –4)/2
m
2 = 46/2
m
2 = 23
Comoh+m=50,eonúmerodemulheresémaiorqueonúmerode
homens,entãohavia27mulherese23homensnocongresso.

29. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
1º)Umcidadão,aofalecer,deixouumaherançadeR$200.000,00paraserdistribuída,
demaneiraequitativa,entreosseusxfilhos.Noentanto,trêsdessesfilhos
renunciaramàssuasrespectivaspartesnessaherança,fazendocomqueosdemaisx–
3filhos,alémdoquereceberiamnormalmente,tivessemumadicionalde
R$15.000,00emsuasrespectivaspartesdessaherança.Portanto,onúmeroxdefilhos
doreferidocidadãoé:
a)8 b)10c)5 d)4 e)7
2º)Emcertacidadeháumterrenodeformatoretangularde80m
2
deárea,emque
umladotem2mamaisqueooutro.Oprefeitodacidadepretendeconstruirnesse
terrenoumapraça,fazendoaindaduaspassarelasperpendicularesquedividirãoa
praçaemquatroretânguloscongruentes.Qualseráaáreaocupadapelaspassarelasse
elastiverem2mdelargura?
3º)Asomadeumnúmerocomoseuquadradoé90.Calculeessesnúmeros.
4º)Oquadradodeumnúmeroaumentadode25éigualadezvezesessenúmero.
Calculeessenúmero.
EXERCÍCIOS
http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif

30. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
EXTRAS
GEOGEBRA
Utilizarosoftwaregeogebrapararealizaralgumasatividadessobre
equaçõesdo2ºgrau,bemcomorevisarseusconceitos.
Esteprogramaédeusolivreepodeserobtidonoendereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

31. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
REFERÊNCIAS
Sites:
http://pt.slideshare.net/AndrLusNogueira/exerccios-resolvidos-de-problemas-de-
equaes-do-2-grau
Livros:
I.Silva,CláudioXavierda.II.Filho,BenignoBarreto.Matemáticaaulaporaula,1:
ensinomédio–SãoPaulo:FTD,2009.
Dante,LuizRoberto.Matemática:volumeúnico-Ática.SãoPaulo:Ática,2005.
I.Iezzi,Gelson.II.Dolce,Osvaldo.III.Degenszajn,David.IV.Périgo,Roberto.
Matemática:volumeúnico–SãoPaulo:Atual,2002.