Resolução lista 1 pirâmide

Resolução da lista 1 - pirâmide

1. LISTA 1 - PIRÂMIDES – GABARITO

1. Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9cm.

SOLUÇÃO.

O tetraedro regular é a pirâmide triangular regular com todas as faces sendo triângulos equiláteros.








CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE



O apótema, g, da pirâmide é a altura do triângulo equilátero.
2
33
=
2
3l
=g
→ cm
2
33
=g

CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

O apótema da base, ab, é a terça parte da altura da base (também mediana).
2
3
=
6
33
=)
2
33
(.
3
1
=)
2
3l
(.
3
1
=ap
→ cm
2
3
=ap

CÁLCULO DA ALTURA DA PIR ÂMIDE


Aplicando PITÁGORAS, teremos: 4
3
-
4
3.9
=h→)
2
3
(+h=)
2
33
(→ap+h=g
2222222

→
4
24
=h→
4
24
=h→
4
3
-
4
27
=h
22 cm6=h

2. 2. Determinar a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular de 7cm de apótema, sendo 2cm o
raio do círculo circunscrito à base.

Solução.



CÁLCULO DA ARESTA DA BASE

O apótema da pirâmide é a altura da face. A aresta da base pode ser calculada em função do raio.
Utilizando essas informações, temos:


cm32=a→3r=a


CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide triangular regular possui a base como um triângulo equilátero.


4
3a
=A
2
equiláterotriângulo

4
3a
=A
2
b
→ ()
4
332
=A
2
b → 4
33.4
=A
b → 4
312
=A
b → 2
b cm33=A

CÁLCULO DA ÁREA LATERAL

Num pirâmide triangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 3 faces no
tetraedro regular, a área lateral será 6 vezes a área de um triângulo, logo:

3. 2
h.b
=A
tiângulo retângulolA.3=A
→ →)
2
7.32
(.3=A→)
2
g.a
(.3=A→)
2
h.b
(.3=A
lll cm321=A
l

CÁLCULO DA ÁREA TOTAL

A área total de uma pirâmide triangular regular é calculada somando-se a área lateral com a área da
base.


blt A+A=A
→ 33+321=A
t → 2
t cm324=A

3. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base.
Calcule a altura dessa pirâmide.

Solução.

A base da pirâmide quadrangular regular é um quadrado.
2
quadradoa=A
→ 2
ba=A
3
h.A
=V
b
→ 432=a2→a2=3.144→
3
a2.a
=144
33
2 →216=a→216=a→
2
432
=a
333 cm6=a
→6.2=h→a2=h cm12=h


5. Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 8 cm e área lateral igual a 5
3 da
área total. Calcular a altura e a área lateral desta pirâmide.

Solução.

A área total é a soma da área lateral com a área da base.

4. CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.
2
quadradoa=A
→ 2
ba=A → 2
b8=A → 2
b cm64=A



CÁLCULO DA ÁREA LATERAL

Numa pirâmide quadrangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 4
faces, a área lateral será 4 vezes a área de um triângulo, logo:
2
h.b
=A
tiângulo
triângulolA.4=A
→ →
2
g.32
=A→)
2
g.8
(.4=A→)
2
g.a
(.4=A→)
2
h.b
(.4=A
llll g16=A
l


CÁLCULO DA ÁREA TOTAL

A área total é calculada efetuando-se a soma da área lateral com a área da base.
g16+64=A→A+A=A
tblt


CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

Do enunciado tiramos que a área lateral é 5
3 da área total, logo: →g48+192=g80→)g16+64(.3=5.g16→
5
3
.)g16+64(=g16→
5
3
.A=A
tl
→
32
192
=g→192=g32→192=g48g80→g48+192=g80 cm6=g


CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE

O apótema da base é igual à metade do lado do quadrado.
→
2
8
=a→
2
l
=a
bb cm4=a
b


CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE

Aplicando PITÁGORAS, teremos:

5. →5.4=h→20=h→20=h→16-36=h→)4(+h=)6(→ap+h=g
22222222

cm52=h


6. Sendo 192m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e m23 o raio do círculo inscrito na base,
calcule a altura da pirâmide.

Solução.

A aresta da base quadrada pode ser calculada em função do raio.



CÁLCULO DA ARESTA DA BASE



A aresta da base é igual ao diâmetro da circunferência, logo:
→)23(.2=a→r2=d=a m26=a


CÁLCULO DA ÁREA BASE



A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.
2
quadradoa=A
→ 2
ba=A → 2
b )26(=A → 2.36=A
b → 2
b m72=A

6. CÁLCULO DA ÁREA LATERAL

Numa pirâmide quadrangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 4
faces, a área lateral será 4 vezes a área de um triângulo, logo:



2
h.b
=A
tiângulo
triângulolA.4=A
→ →)
2
g.26
(.4=A→)
2
g.a
(.4=A→)
2
h.b
(.4=A
lll →
2
g.224
=A
l g.212=A
l


CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

A área total de uma pirâmide quadrangular regular é calculada somando-se a área lateral com a área da
base.
blt A+A=A
→ →g212=120→g212=72-192→72+g.212=192 →
2
210
=g→
2.12
2120
=g→.
)2(12
2120
=g→
2
2
.
212
120
=g.→
212
120
=g
2

→ 2
m25=g

CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE



Aplicando PITÁGORAS, teremos: →32=h→81-50=h→81-2.25=h→)23(+h=)25(→r+h=g
222222222
→2.16=h→32=h→32=h m24=h


7. Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais
medem 6cm e 10cm.

Solução.

7. CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide possui a base um losango, logo: a área do losango é calculada como a metade do produto de
suas diagonais.
2
d.D
=A
losango
→losangobA=A →2
d.D
=A
b →2
60
=A→
2
6.10
=A
bb →2
b cm30=A

CÁLCULO DO VOLUME
4.30=V→
3
12.30
=V→
3
h.A
=V
b
→3
cm120=V

8. Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros
de lado 4, em centímetros quadrados.

Solução.



CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE



O apótema da base é igual à metade do lado do quadrado.
→
2
4
=a→
2
l
=a
bb cm2=a
b


CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

Se as faces laterais da pirâmide são triângulos equiláteros, então o apótema da pirâmide, g, será a altura
desse triângulo. As arestas da base possuem a mesma medida do lado do triângulo. Temos:

8. 2
34
=g→
2
3l
=g→h=g →cm32=g

CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE

Aplicando PITÁGORAS, teremos:

→2.4=h→8=h→8=h→4-12=h→)2(+h=)32(→ap+h=g
22222222

cm22=h


CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.
2
quadradoa=A
→ 2
b4=A → 2
b cm16=A



CÁLCULO DO VOLUME
→
3
22.16
=V→
3
h.A
=V
b 3
cm
3
232
=V=V