Resolución de Problemas aplicados a la ley de los senos y cosenos.

Ejercicios resueltos en mi "curso en linea" tutoriado por Msc.María Luisa Ruíz catedrática de la UNAN-LEÓN.

1. Herramientas Científicas y Metodológicas para la Enseñanza de Matemática
Trigonometría Y su Tratamiento Metodológico
Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua
UNAN - LEÓN


Unidad #3: La Trigonometría en la vida diaria Modulo: #6



Actividad #1.1: Resuelvo mi bloque de ejercicios Tipo: Individual


Tutor: Mcs. María Luisa Ruíz Fecha de envió: 29/05/15


Estudiante: José Orontes Pérez Mayorquín

2. Introducción:
En esta oportunidad resolveré ejercicios del bloque 8 aplicando leyes del seno y del coseno en la resolución de
problemas.
Indicador de logro:
 Reconoce e Identifica los teoremas del seno y el coseno en la solución de ejercicios de triángulos
oblicuángulo.
 Aplica los teoremas del seno y el coseno en la solución de problemas de triángulos oblicuángulo.


Resultados:
Ejercicios (Unidad III)
Actividad de aprendizaje 1: Selecciono mi bloque de ejercicios
I. Resolver el triángulo de la siguiente figura, para las condiciones dadas en cada inciso:




41° 77°
100
I.8) =41°, =77° y c=100, 090°

Primero:
Por la suma de los ángulos interiores sabemos que �+ �+�=180°
∴ �=180°−(�+�)
�=180°−(41°+77°)
�=180°−118°
�=62°

3. Segundo: Aplicando la ley de los senos tenemos
sin�
�
=
sin�
�
=
sin�
�

∴
sin41°
�
=
sin77°
�
=
sin62°
100

sin77°
�
=
sin62°
100

b =
(100 )(sin77°)
sin62°

b =
(100)(0.97)
0.88

b = 110.23

∴
sin41°
�
=
sin62°
100

a =
(100 )(sin41°)
sin62°

a =
(100 )(0.66)
0.88

a = 75

III) Resolver los siguientes problemas

III.8) En el béisbol de las ligas mayores las cuatro bases, que forman un cuadrado, están a 90 pies y el
montículo del lanzador está a 60.5 pies del cojín del home. Calcular la distancia del montículo del lanzador
a cada una de las otras tres bases.

4. Primero: Separamos el triángulo ABC, del cuadrado para encontrar el lado AC
Teorema de Pitágoras tenemos
a
2
=b
2
+ c
2
AK +KC = 127.28PIES
a = √�
2
+�
2
KC = 127.28pies -AK
a = √90
2
+90
2
KC = 127.28pies- 60.5pies K
a = √8100+8100 KC = 66.78pies
a = √16200
a = 127.28�??????????????????
Segundo: Las diagonales de un cuadrado bisecan en ángulos congruentes sus ángulos entonces por la ley de los
cosenos tenemos.
a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc CosA
a
2
= k
2
+ d
2
– 2kd CosA
a
2
= 90
2
+ 60.5
2
– 2(90)(60.5) Cos45°
a =√8100+3660.25−(10845)(0.71)
a=√
11760.25−7731.9


a= √4028.35
a =63.47pies

Tercero: Las diagonales de un cuadrado bisecan en ángulos congruentes sus ángulos entonces por la ley de los
cosenos tenemos.
a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc CosA
a
2
= b
2
+ k
2
– 2bk CosA
a
2
= 60.5
2
+ 90
2
– 2(60.5)(90) Cos45°
a =√3660.25+8100−2(5445)(0.71)
a=√
11760.25−7731.9


a= √4028.35 ∴ a = 63.47pies

5. Conclusión: Las distancia a cada una de las bases son.










III.28) Navegación. Un avión vuela ciudad A hacia la ciudad B, a una distancia de 150 millas, y
después vira con un ángulo de 50° y se dirige hacia la ciudad C, a una distancia de 100 millas, como se
muestra en la figura. ¿A qué distancia se encuentra la ciudad A de la ciudad C? ¿Con qué ángulo debe
virar el piloto en la ciudad C para regresar a la ciudad A?





i. Por definición de ángulos suplementarios tenemos:
m∢���+�∢CBP =180°
m∢���=180°−�∢���
m∢���=180°−50°
m∢���=130°

6. ii. Por la ley de los cosenos tenemos que la distancia de retorno desde C hasta A es:
�
2
= �
2
+�
2
−2�� ��??????�
�
2
= (100�??????���??????)
2
+(150�??????���??????)
2
−2(100�??????���??????)(150�??????���??????)��??????130°
�
2
= (10,000�??????���??????)

+(22,500�??????���??????)

−2(100�??????���??????)(150�??????���??????)(−0.64)
�
2
=32,500�??????���??????
2
−19,200�??????���??????
2

�
2
=227.38�??????���??????
2



iii. Aplicamos de nuevo la ley de los coseno para encontrar el ángulo de giro en el punto C
c
2
= a
2
+

b
2
-2ab Cos C
�
2
= �
2
+�
2
−2����??????C
��?????? �=
�
2
−(�
2
+�
2
)
−2��

��?????? �=
150
2
−(100
2
+227.35
2
)
−2(100)(227.35)

��?????? �=
22,500

−(10,000

+51688.0225

)
−45470

��?????? �=
22,500

−(61688.0225)
−45470

��?????? �=
−39188.0225
−45470

Cos C = 0.861843468
∢C = csc
−1
(0.861843468)
∢C = 30.48°
Luego: 180° -30.48° = 149.52°

7. III.48) Determinar las medidas de los lados de un triángulo ABC, sabiendo que su área mide 18 cm
2
,
 = 30° y  = 45°

Primero: la suma de los ángulos interiores es de 180°
∡�+∡�+∡�=180°
∡�=180°−(∡�+∡�)
∡�=180°−(45°+30°)
∡�=180°−75
∡�=105°



Segundo: Como solo tenemos los ángulos interiores y al área del triángulo como datos entonces aplicamos
�=2�
2
????????????��????????????��????????????�� ∴ �
2
=
�
2????????????��????????????��????????????��

�
2
=
18��
2
2????????????��????????????��????????????��

�
2
=
18��
2
2(????????????�30°)(????????????�45°)(????????????�105°)

�
2
=
18��
2
2(0.5)(0.71)(0.97)

�
2
=
18��
2
0.6887

R
2
= 26.14��
2

R = √26.14��
2

R = 5.11cm

Tercero: encontramos el lado b a partir de.

S =
��
2
????????????�� ∴�=
2??????
�????????????��

�=
2(18��
2
)
5.11��(????????????�105°)
=
36��
2
5.11��(0.97)
=
36��
4.9567
= 7.26cm

Cuarto: encontramos el lado c a partir de.
S =
��
2
????????????�� ∴�=
2??????
�????????????��
∴�=
2(18��
2
)
5.11��(????????????�45°)
=
36��
2
5.11��(0.71)
=
36��
3.6281
=9.92��

8. III.55) Sobre una circunferencia de radio 1 m y centro en el punto O, consideramos los cinco vértices A, B,
C, D y E de un pentágono regular, como el de la figura:






d) El área del triángulo EAB.
Primero: trabajamos el triángulo AOB, sabemos que el radio es de 1cm y como el ángulo central de un
pentágono regular es 360°/5 = 72° entonces.
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab Cos B
c = √�
2
+�
2
−2����??????�
0 = √�
2
+�
2
−2����??????72°
o = √1��
2
+1��
2
−2(1��)(1��)(0.31)
o=√2��
2
−0.62��
2

o=√1.38��
2

o = 1.17cm
Segundo: Trabajando en el triángulo EOB, ahora que ya conocemos el lado del pentágono regular que es de
1.17cm…sabemos entonces que todos sus ángulos son de igual medida entonces.
Primero: el valor del ángulo interior del pentágono es 540°/5 = 108°
a
2
= b
2
+ e
2
– 2be Cos A
a = √�
2
+??????
2
−2�??????��??????108°
a = √(1.17��)
2
+(1.17��)
2
−2(1.17��)(1.17��)(−0.31)
a = √(1.37��
2
+1.37��
2
+0.85��
2


a =√2.74��
2
+0.85��
2

9. a = √3.59��
2

a = 1.89cm
Nota: na había necesidad de calcular el lado a…
Tercero: calculamos el área a partir de:
S =
�??????
2
�??????��
S =
(1.17��)(1.17��)
2
Sen(108°)
S =
1.3689
2
(0.95)
S = 0.68445(0.95)
S = 0.65��
2


Autoreflexión: Es un tema que me gustó mucho y disfruto mucho el análisis de los problemas…lo más
difícil es digitarlo pues se lleva bastante tiempo en hacerlo.
Me gustaría de ser posible, que se abriera un espacio para compartir los problemas, pues me gustaría
tener en mi base de datos las aportaciones de los demás compañeros, pues como dije…se lleva bastante
tiempo digitando uno los problemas y sería de gran ayuda poder contar con ese recurso.

Bibliógrafia consultada:
1.- Manual de GeoGebra-----------MINED
2.- GeoGebra-----------------------Software