Resolución de problemas mediante el método de gauss

Se presenta un problema matemático para resolver mediante el método de Gauss.

1. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
Dos amigos invierten 20 000 € cada uno. El primero coloca una
cantidad A al 4% de interés; una cantidad B, al 5%, y el resto, al
6%, ganando 1 050 € de intereses.
El otro invierte la misma cantidad A al 5%; la B, al 6%, y el resto, al
4%, ganando 950 €.
Determina las cantidades A, B y C.

2. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
Cantidad Cz
Cantidad By
Cantidad Ax

3. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
Por tanto, traducimos los datos del problema al sistema:
x + y + z = 20000
0,04x + 0,05y+0,06z=1050
0,05x+0,06y+0,04z=950

4. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
El sistema obtenido:
x + y + z = 20000
0,05x + 0,06y + 0,04z = 1050
0,05x + 0,06y + 0,04z =950
Se puede suprimir los decimales multiplicando por 100 las últimas dos ecuaciones,
para que nos resulte más sencillo trabajar:
x + y + z = 20000
4x + 5y + 6z = 105000
5x + 6y + 4z = 95000

5. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
Cogemos los coeficientes de las ecuaciones y construimos la matriz:
x + y + z = 20000
4x + 5y + 6z = 105000
5x + 6y + 4z = 95000
1 1 1 20000

4 5 6 105000

5 6 4 95000

6. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
1 1 1 20000

4 5 6 105000

5 6 4 95000
1ª
2ª - 4·1ª
3ª - 5·1ª
1 1 1 20000

0 -1 2 25000

0 1 -1 -5000
1ª
2ª
-3ª + 2ª
1 1 1 20000

0 1 2 25000

0 0 3 30000

7. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
1 1 1 20000

0 1 2 25000

0 0 3 30000
De aquí volvemos a traducir al sistema:
x + y + z = 20000
y +2z =25000
3z = 30000

8. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
x + y + z = 20000
y + 2z = 25000
3z = 30000
Empezando por la última de las ecuaciones, resolvemos.
(1ª)
(2ª)
(3ª)
(3ª) 3z = 30000
z = 30000/3
z = 10000

(2ª) y = 25000 -2·10000 y=5000
(1ª) x = 20000 - y - z = 20000-5000 -10000= 5000

9. Resolución de problemas mediante el
método de Gauss
Solución del sistema:
x = 5000
y = 5000
z = 10000
Luego la cantidad A es 5000 €,
la B es 5000 € y la C es 10000 €.