Resumen teoria de conjuntos

Recopilación de información

1. Conjunto es una colección de objetos o entidades
distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras,
puntos, etc.) que constituyen el conjunto se les llama
miembros o elementos .
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Teoría de
Conjuntos
Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y, … para
denotar conjuntos
Y para denotar a los elementos, se utilizan letras minúsculas
a,b,c,…, números, símbolos o variables.

2. DEFINICIONES DE CONJUNTO).qDE FIgN)CI)b
EXPLÍCITAMENTE FNqDF EIgN)CI)b
IMPLICÍTAMENTE
Un Conjunto
puede ser
definido

3. EXPLÍCITAMENTE: escribiendo cada uno de los elementos
que componen el conjunto dentro de llaves y separados por
una coma
DEFINICIÓN DE CONJUNTO EXPLÍCITAMENTE
EXTENSIÓN
1.- Sea A el conjunto de las vocales
A = { a, e, i, o, u }

2.- Sea B el conjunto de los días
B = { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes}

4. IMPLICÍTAMENTE: escribiendo dentro de las llaves las
características de los elementos que pertenecen al conjunto , como
sigue:
DEFINICIÓN DE CONJUNTO IMPLÍCITA
COMPRENSIÓN
Sea A es el conjunto de las vocales
Se escribe A = {
x
/
x
es una vocal}
Se lee El conjunto de todas las x tal que x es una vocal


Sea D el conjunto de los números pares
Se escribe D = {
x
/
x
es un número natural par }
Se lee El conjunto de todas las x tal que x es un número
natural par

5. Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de
elementos.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se representa de la siguiente manera:
Elemento є conjunto … Se lee el elemento pertenece al conjunto
Elemento conjunto … Se lee el elemento NO pertenece al conjunto
Ejemplos:
a є A Se lee … a pertenece al conjunto A
w є A Se lee … w pertenece al conjunto A
3 D Se lee … 3 no pertenece al conjunto D
є
є

6. Podemos decir que un conjunto está bien definido si podemos
afirmar de manera inequívoca si un elemento pertenece a él o no

CONJUNTO BIEN DEFINIDO
1.Sea T el conjunto de las personas simpáticas
Este conjunto no está bien definido ya que la idea de ser simpático es
subjetiva, no hay un criterio definido para decir que una persona es
simpática o no
2.Un conjunto es FINITO cuando podemos enumerar todos sus elementos
3.Un conjunto es INFINITO si no podemos enumerar todos sus elementos
Ejemplo de conjunto infinito:
S = {
x
/
x
є N, x ≥ 10}
Se lee x tal que x pertenece a los números naturales y x es
mayor o igual a 10

7. RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTOS Bljúmoesldblsaólb
esunsaed
Relaciones entre
ConjuntosIgualdad de Conjuntos
Igualdad de ConjuntosSubconjuntos
SubconjuntosConjuntos Especiales
Conjuntos EspecialesConjuntos de Partes
Conjuntos de PartesConjunto Vacío
Conjunto VacíoConjunto Universal
Conjunto Universal

8. Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si
todos los elementos de A pertenecen a B
IGUALDAD DE CONJUNTOS
A = { x, y }B = { y, x }
Esto es:
A = B,
entonces x є A, implica que x є B y
que y є B, implica que y є A.

9. Ejemplo de igualdad de conjuntos…
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Si:
M = { 1, 3, 5, 7, 9 } y
L = {
x
/
x
es impar
^
1 ≤ x ≤ 9 }
Esto significa que:
M = L

10. Si cada elemento de un conjunto A es también elemento del conjunto B,
entonces A se considera subconjunto de B
También decimos que A, está contenido en B
Si A no es un subconjunto de B, quiere decir que:
… por lo menos un elemento de A no pertenece a B
SUBCONJUNTO
AB
BA
AB
BA

11. Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere los siguientes conjuntos:
A = { 1, 3, 4, 5, 8, 9 }B = { 1, 2, 3, 5, 7 }C = { 1, 5 }
Podemos decir que:
C A y C B,
ya que 1 y 5 los elementos de C, también son elementos de A y B
B A
ya que algunos de sus elementos como 2 y 7, no pertenecen a A
o no todos lo elementos de B son elementos de A

12. Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere los siguientes conjuntos:
B = {
x
/
x
es un ave}H = {
y
/
y
es una paloma}
Podemos decir que:
H B
H es subconjunto de B

13. Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere los siguientes conjuntos:
A = {
x
/
x
є N y es par} y B = {
y
/
y
є N y es múltiplo de 2}
podemos decir que…
B A ,

A B ,

B = A
A = B o

14. CONJUNTO VACÍO (Conjuntos Especiales)
Un conjunto VACÍO es el que carece de elementos, se simboliza { }
o por Ø .
Ejemplo de conjunto vacío:
El conjunto cuyos elementos son los hombres
que viven actualmente y tienen más 500 años
de edad.

15. CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)
Cuando se habla o se piensa en conjuntos, es
conveniente saber que los elementos de un
conjunto dado pertenecen a alguna población
determinada.

16. CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)
Ejemplo:
Si se habla de un conjunto de números, es útil establecer una
población general de números denominado CONJUNTO
UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA
Cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los
conjuntos que intervienen en una discusión determinada.
El conjunto Universal se simboliza: U - Ω

17. CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)
Ejemplo:
Si U = N, el conjunto de los números naturales
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = {
x
/
x
es un un número primo }
C = {
x
/
x
es un número natural par }

A, B y C son subconjuntos propios de U
Los números primos menores que cien son los siguientes:
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

18. CONJUNTOS de PARTES (Conjuntos Especiales)
Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, simbolizado por P(A),
es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.
En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos
subconjuntos especiales el mismo A, ya que A A, y el conjunto
vacío Ø

19. CONJUNTOS de PARTES (Conjuntos Especiales)
Ejemplo:
Si A = { a, b, c } entonces,
P(A) = { {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, Ø
}
•Los elementos del conjunto P(A) son a su vez conjuntos
•Un conjunto cuyos miembros son conjuntos, se llama Familia de
Conjuntos
•P(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos
NOTA:Si un conjunto M tiene n elementos, P(M) constará de 2
n

elementos, si n = 3:
2
n
= 2
3
= 2 x 2 x 2 = 8 conjuntos elementos

20. DIAGRAMA DE VENN (Euler)
Los Diagramas de Venn o Euler, son una manera esquemática de
representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos.
Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones
de: Pertenencia, Inclusión y las Operaciones con conjuntos.
U
A B
C
El Rectángulo representa el conjunto
Universal
Los círculos se han utilizado para
representar a cada uno de los
conjuntos , subconjuntos de Ω

21. DIAGRAMA DE VENN (Euler)
Si A = {1, 2, 3} B = {1} C = { 8,9 } D = {8}
U
A
B
C
D
A U C UB U D U
B AD C

22. OPERACIONES CON CONJUNTOS n,j)pfF.Ljtóf.Ló
u.L(gLú.t
Operaciones con
ConjuntoseLFhL
Unión2Lúj)tjffFhL
Intersección3FCj)jLfFp
Diferencia3FCj)jLfFpó FqDú)Ffp
Diferencia Simétricau.q,EjqjLú.
Complemento

23. UNION DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B, simbolizada por A U B que se lee A
unión B, es el nuevo conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B, o a ambos conjuntos
A U B = {
x
/
x
Є A ν x Є B}
U
A B
En el diagrama de Venn, la región
sombreada corresponde al
conjunto A U B

24. UNIÓN DE CONJUNTOS
Ejemplo:
A U B = { a, b, c, d, e, f}
U
A B
Si A = { a, b, c, d} B = { c, d, e, f}
entonces,

25. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
A ∩ B = {
X
/
X
Є A Λ x Є B }
U
A B
La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B que se lee A
intersección B:
Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y
a B es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos
En este diagrama de
Venn la región
sombreada corresponde
al conjunto A ∩ B

26. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y B
A ∩ B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos A y B
Si A = { a, b, c, d } B = { c, d, e, f }
Dos conjuntos que no tienen
nada en común se llaman
DISJUNTOS
Observe que los elementos c y d pertenecen
simultáneamente a los conjuntos A y B
A ∩ B = { c, d }

27. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si
A = { a, b, c, d }

B = { c, d }
A ∩ B = { c, d }
U
A
B
U
A
B
Si
A = { a, b, c, d }

B = { m, p, q }
A ∩ B = Ø
A ∩ B = Ø, entonces A y B son
disjuntos
A ∩ B = B porque B A

28. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
A - B = {
X
/
X
Є A Λ x Є B }
La diferencia de dos conjuntos A y B denotada A – B, que se lee A
menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a
A y que no pertenecen a B
Simbólicamente:
U
A
B
U
A
B

29. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Simbólicamente:
A - B = {
X
/
X
Є A Λ x Є B }
U
A
B
UA B
U A
B

30. DIFERENCIA DE CONJUNTOS esunacol
Ejemplo 1:
Si A = { a, b, c } B = { c, d} A-B = { a, b } esunacoi
Ejemplo 2:
Si A = { 3, 4, 5, 6 } B = { 4, 5 } A-B = { 3, 6} esunacoó
Ejemplo 3:
Si A = { 1, 2, 3 } B = { 6, 7 } A-B = {1, 2, 3 }

31. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
Simbólicamente:
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B denotada A B, que
se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B, pero no pertenecen simultáneamente a ambos
conjuntos
A B = {
X
/
X
Є A V x Є B Λ x Є (A ∩ B)}

32. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
Ejemplo:
U
A B
En el siguiente gráfico se muestra A
B
Observe que las regiones a la izquierda
y a la derecha corresponden a los
conjuntos A-B y B-A
Por eso también
A B={ A – B } U { B- A }
A B={ A U B } - { B ∩A }
A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }

33. COMPLEMENTEO DE UN CONJUNTO
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota
A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A
Diagrama de Venn:
U
A
A΄ = U – A Ejemplo:
A = {
X
/
X
es un número natural par}
Sea U = N (el conjunto de los números naturales)
A΄ = {
X
/
X
es un número natural impar} = U - A

34. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturales
Es la colección de objetos matemáticos representados por los
símbolos 1, 2, 3, 4, …, etc.. Llamados números para contar.
= {1, 2, 3, 4, …}
Números Enteros
Los enteros abarcan los números negativos incluyendo el cero y
los números positivos. Se representa:
= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

35. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Racionales
Es el conjunto de los números de la forma p/q donde p y q son
enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.
Números Irracionales
Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados
como el cociente de dos números enteros
Entre los más conocidos está π 3,14159…
꞊

p
q

36. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Reales
Es el conjunto formado por todos los números racionales e
irracionales
Números Complejos
Es la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son
números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la
propiedad.
I
2
= -1

37. IGUAL
SIMBOLOGÍA
ELEMENTO
PERTENECE
ES SUBCONJUNTO
є
є
NO ES SUBCONJUNTO
ELEMENTO NO PERTENECE
=
CONJUNTO VACÍO{ } o Ø
CONJUNTO UNIVERSALΩ, U
CONJUNTO DE PARTESP(A)
UNIÓN
INTERSECCIÓN
DIFERENCIA SIMÉTRICA
∩
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
DIFERENCIA
U
CONJUNTOS NUMÉRICOS:
NATURALES
___
’
ENTEROS
RACIONALES
IRRACIONALES
REALES
΄
COMPLEJOS

38. Propiedades de la inclusión
1.Reflexiva: A A
2.Antisimétrica: A B B A A = B
3.Transitiva: A B B C A C
Propiedades de la igualdad
1.Reflexiva: A = A
2.Simétrica: A = B B = A
3.Transitiva: A = B B = C A = C
1. A : A
∅⊂

2.∅ es único.
Propiedades del conjunto vacío

39. Propiedades de la unión
Se verifican las siguientes propiedades:

1. Idempotente: A A = A

2. Conmutativa: A B = B A

3. Asociativa: (A B) C = A (B C)

4. Elemento neutro: A = A = A
∅ ∅

5. Elemento universal: A U = U A = U

40. Propiedades de la intersección
Se verifican las siguientes propiedades:

1. Idempotente: A A = A

2. Conmutativa: A B = B A

3. Asociativa: (A B) C = A (B C)

4. Elemento neutro: A U = U A = A

5. Elemento ínfimo: A = A =
∅ ∅ ∅

41. Propiedades comunes a unión e intersección
Se verifican las siguientes propiedades:

1.Leyes de absorción o simplificativas:

A ∩ (A B) = A A (A ∩ B) = A

2. Propiedades distributivas:

A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C)

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C)

42. Propiedades del complementario
Se verifican las siguientes propiedades:
1.Intersección y unión de complementarios:


2. Complementarios de vacío y universal:

3. Involución o doble complementación:

4. Inclusión y complementario:

5. Leyes de De Morgan: