Resumo dos testes de convergência

1. Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 3
Resumo dos Testes de Convergência
Nome Afirmação
Teste da
Divergência
Se
n n
n = 1
lim  a 0 ou não existe  então   a  
x
∞
→∞
≠ ∑
diverge.
Teste da
Comparação
Sejam
n
n = 1
 a  
∞
∑
e
n
n = 1
 b  
∞
∑
com 0
n n
a b< ≤ , para todo n.
a)  Se
n
n = 1
 b  
∞
∑
converge então
n
n = 1
 a  
∞
∑
converge
b) Se
n
n = 1
 a  
∞
∑
diverge então
n
n = 1
 b  
∞
∑
diverge.
Teste da
Comparação no
Limite
Sejam
n
n = 1
 a  
∞
∑
e
n
n = 1
 b  
∞
∑
séries de termos positivos.
a) Se
n
n
a
lim   0,
b
n
L
→∞
= > então ambas as séries convergem ou ambas divergem.
b) Se
n
n
a
lim   0,
b
n→∞
= e se
n
n = 1
 b  
∞
∑
converge então
n
n = 1
 a  
∞
∑
converge.
c) Se
n
n
a
lim   ,
b
n→∞
= ∞ e se
n
n = 1
 b  
∞
∑
diverge então
n
n = 1
 a  
∞
∑
diverge.
Teste da
Integral
Seja f uma função contínua, decrescente e positiva para todo n a≥ e tal que
( )
n
a f n= para n a≥ .
a) Se  f(x) dx  converge 
a
∞
⇔
∫


n
n = a
 a   converge.
∞
∑

b)  Se  f(x) dx diverge 
a
∞
⇔
∫
n
n = a
 a   diverge.
∞
∑

Teste da Série
Alternada
( Critério de
Leibniz)
Seja
n
n
n = 1
(-1)  a  
∞
∑
com 0,   n
n
a> ∀ . Se
a) 
1
n n
a a
+
≤, ou seja , { }
n
a decrescente
b) 
n
lim  a 0
n→∞
=
Então a série alternada converge.

2. Teste da Razão
Seja a série
n
n = 1
 a   :então
∞
∑

a) 
n+1
n
a
lim   1, a série é absolutamente convergente.
a
n
L
→∞
= <
b) 
n+1 n+1
n n
a a
lim   1,   lim    a série diverge.
a a
n n
L ou
→∞ →∞
= > = ∞
c) 
n+1
n
a
lim   1, nenhuma conclusão.
a
n→∞
=

Teste da Raiz
Seja a série
n
n = 1
 a   :então
∞
∑

n
n)lim   a 1, a série é absolutamente converg
ente.
n
i L
→∞
= <

n n
n n
)lim   a 1, ou se  lim   a , a série é divergente.
n
n
ii L
→∞
→∞
= > = ∞
n
n
)lim   a 1, nenhuma conclusão.
n
iii
→∞
=