Resumo - Progressão Geométrica.pdf

Resumo de Progressão Geométrica para Cursos de Economia, Gestão, Auditoria, Contabilidade e Matemática

1. Wadiley Sousa do Nascimento
Pós-Graduado em Estatística, Matemática e Computação –Ramo
Estatística Computacional
Mobile: [phone] / 906 02 00 | Email: [email protected]
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA

2. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????�????????????��õ??????�,??????��??????�??????��õ??????� ?????? ??????é�????????????
2Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Imaginemos que analisamos uma célula que, por mitose, se divide
a cada 120 minutos.
Supondo que no início da observação existia apenas uma célula,
como irá variar o número de células ao longo do tempo?
Vamos chamar ao instante em que começámos a observação, instante
t = 0. Para �=0 existia apenas uma célula.
para �=120. Duas horas depois cada uma das células se divide,
resultando em quatro células para �=240, e assim sucessivamente.
Obtemos deste modo uma sequência de valores da população de
células correspondendo a instantes igualmente intervalados,
1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

3. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????��??????�??????��õ??????�
??????�??????���?????????????????�
3Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Def.43: Progressão Aritmética (P. A.): Uma P. A. é uma sequência
em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com
uma constante ?????? dada, ou seja, chama-se P. A. uma sequência dada
pela seguinte fórmula de recorrência:
൜
??????
�=??????
??????
??????=??????
??????−�+??????,
∀??????≥� , ??????∈ℕ
Repara que, de acordo com a definição, a razão ?????? da P. A. é igual à
diferença entre quaisquer dois termos consecutivos:
??????
??????−??????
??????−�=??????
Monotonia (P. A.): A monotonia de uma P. A. é analisada em função
do sinal do ??????.

4. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????��??????�??????��õ??????�
??????�??????���?????????????????�
4Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Termo Geral (P. A.): O termo geral de P. A., ??????
??????, de razão ?????? é dado
por:
??????
??????=??????
�+??????−�?????? | ??????
??????=??????
??????+??????−????????????
Dado ??????∈ℕ, a sequência??????
�,??????
�,…,??????
?????? dos ?????? primeiros termos de
uma progressão aritmética chama-se progressão aritmética (finita)
de comprimento ??????.
Def.44: Soma dos ?????? termos de P. A.: Dado ??????∈ℕ, soma dos termos
de uma P. A. de comprimento ??????,�
1,�
2,…,�
?????? é dada por:
??????
??????=෍
??????=�
??????
??????
??????=??????∙??????
�+
????????????−�
�
=
??????
�+??????
??????
�
×??????

5. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????��??????�??????��õ??????�
??????�??????���?????????????????�
5Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Def.45: Interpolação Aritmética: Interpolar, inserir ou intercalar ??????
meios aritméticos entre os números � e �, consiste em obter uma P. A.
de extremos �
1=� e �
??????=� , com ??????=??????+2 termos.
Para determinar os meios dessa P. A. é necessário calcular a razão de
interpolação, dada por:
??????=
??????
??????−??????
�
??????+�
Para averiguar se uma sucessão (�
??????) é uma progressão aritmética,
deve-se seguir os seguintes passos:
i.Determina a diferença ??????
??????−??????
??????−�

6. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????��??????�??????��õ??????�
??????�??????���?????????????????�
6Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
ii.Se a diferença ??????
??????−??????
??????−�, for constante, conclui-se que se trata de
uma progressão aritmética.
iii.Se a diferença ??????
??????−??????
??????−�, depender de ??????, concluímos que não se
trata de uma progressão aritmética.

7. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????��??????�??????��õ??????�
????????????���??????????????????�
7Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Def.43: Progressão ????????????????????????é��??????????????????� (P. G.): Uma P. G. é uma
sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do
anterior por uma constante ?????? dada, ou seja, chama-se P. G. uma
sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
൜
??????
�=??????
??????
??????=??????
??????−�×??????,
∀??????≥� , ??????∈ℕ
Repara que, de acordo com a definição, a razão ?????? da P. A. é igual à
diferença entre quaisquer dois termos consecutivos:
??????
??????−�
??????
??????
=??????

8. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????��??????�??????��õ??????�
????????????���??????????????????�
8Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Monotonia (P. G.): A monotonia de uma P. G. é analisada em função
do sinal do ??????
�, sendo:
Razão Primeiro Termo, ??????
�Monotonia
??????>�
Positivo, + Crescente
Negativo, − Decrescente
&#3627409358;<??????<&#3627409359;
Positivo, + Decrescente
Negativo, − Crescente
??????<&#3627409358;
Positivo, +
Não Monótona
Negativo, −
Termo Geral (P. G.): O termo geral de P. G., ??????
??????, de razão ?????? é dado
por:
??????
??????=??????
&#3627409359;∙??????
??????−&#3627409359;
| ??????
??????=??????
??????∙??????
??????−??????

9. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????&#3627408427;&#3627408424;??????&#3627408427;??????&#3627408428;&#3627408428;õ??????&#3627408428;
????????????&#3627408424;&#3627408422;é&#3627408429;&#3627408427;??????????????????&#3627408428;
9Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Dado ??????∈ℕ, a sequência??????
&#3627409359;,??????
&#3627409360;,…,??????
?????? dos ?????? primeiros termos de
uma progressão geométrica chama-se progressão geométrica (finita)
de comprimento ??????.
Def.44: Soma e Produto dos ?????? termos de P. G.: Dado ??????∈ℕ, soma
e producto termos de uma P. G. de comprimento ??????, é dada por:
??????
??????=??????
&#3627409359;×
&#3627409359;−??????
??????
&#3627409359;−??????
=
??????
&#3627409359;−??????
??????∙??????
&#3627409359;−??????
| ??????
??????=??????
&#3627409359;
??????
×??????
????????????−&#3627409359;
&#3627409360;
Se ??????=&#3627409359;, então ??????
??????=??????×??????
&#3627409359;, pois ??????
??????=??????
&#3627409359;+??????
&#3627409359;+??????
&#3627409359;+⋯+??????
&#3627409359;

10. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????&#3627408427;&#3627408424;??????&#3627408427;??????&#3627408428;&#3627408428;õ??????&#3627408428;
????????????&#3627408424;&#3627408422;é&#3627408429;&#3627408427;??????????????????&#3627408428;
10Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Def.45: Interpolação Geométricas: Interpolar, inserir ou intercalar ??????
meios geométricos entre os números &#3627408462; e &#3627408463;, consiste em obter uma P.
G. de extremos &#3627408482;
1=&#3627408462; e &#3627408482;
??????=&#3627408463; , com ??????=??????+2 termos.
Para determinar os meios dessa P. G. é necessário calcular a razão de
interpolação, dada por:
??????=
??????+&#3627409359;??????
??????
??????
&#3627409359;
Para averiguar se uma sucessão (&#3627408482;
??????) é uma progressão geométrica,
deve-se seguir os seguintes passos:

11. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????&#3627408427;&#3627408424;??????&#3627408427;??????&#3627408428;&#3627408428;õ??????&#3627408428;
????????????&#3627408424;&#3627408422;é&#3627408429;&#3627408427;??????????????????&#3627408428;
11Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
ii.Determina a razão
????????????−&#3627409359;
????????????
iii.Se a razão
????????????−&#3627409359;
??????
??????
, for constante, conclui-se que se trata de uma
progressão geométrica.
iv.Se a razão
????????????−&#3627409359;
????????????
, depender de ??????, concluímos que não se trata de uma
progressão aritmética.

12. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????&#3627408427;&#3627408424;??????&#3627408427;??????&#3627408428;&#3627408428;õ??????&#3627408428;
????????????&#3627408424;&#3627408422;é&#3627408429;&#3627408427;??????????????????&#3627408428;
12Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Dado ??????∈ℕ, a sequência??????
&#3627409359;,??????
&#3627409360;,…,??????
??????,… dos ??????+&#3627409359; termos de
uma progressão geométrica chama-se progressão geométrica
(infinita) de comprimento ??????+&#3627409359;.
Def.44: Soma dos ?????? termos de P. G.: Dado ??????∈ℕ, soma dos termos
de uma P. G. de comprimento ??????+&#3627409359;, é dada por:
lim
??????
??????
??????=??????
Teor.7: Se??????
&#3627409359;,??????
&#3627409360;,…,??????
??????,… é um P. G., tal que −&#3627409359;<??????<&#3627409359;, então
??????=??????
&#3627409359;+??????
&#3627409360;+??????
&#3627409361;+⋯+??????
??????+⋯ é dado pela seguinte expressão:
??????=lim
??????
??????
??????=
??????
&#3627409359;
&#3627409359;−??????

13. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????é&#3627408427;????????????&#3627408428;
????????????&#3627408424;&#3627408422;é&#3627408429;&#3627408427;??????????????????&#3627408428;
13Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
A noção de série é uma extensão da noção de adição a uma infinidade
de parcelas.
Determinadas sequências geométricas, quando somadas, tendem a um
valor numérico fixo, isto é, a introdução de novos termos na soma faz
com a que a série geométrica se aproxime cada vez mais de um valor,
esse tipo de comportamento é chamado de Série Geo. Convergente.
Def.45: Série: Chamamos série à sucessão de pares ordenados
??????
??????,??????
??????, que representamos por:
෍
??????=&#3627409359;
∞
??????
??????

14. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????é&#3627408427;????????????&#3627408428;
????????????&#3627408424;&#3627408422;é&#3627408429;&#3627408427;??????????????????&#3627408428;
14Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Se a sucessão, ??????
??????, tiver limite em ℝ, isto é, lim
??????
??????
??????=??????, dizemos que
a série σ
??????=&#3627409359;
∞
??????
?????? é convergente, e escrevemos
෍
??????=&#3627409359;
∞
??????
??????=??????
Se a sucessão , ??????
??????, é divergente, diremos que a série é divergente.
Def.46: Chama-se natureza de uma série á propriedade que ela tem
de ser convergente ou divergente.
A natureza de uma série não se altera se modificarmos um número
finito dos seus termos.

15. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????é&#3627408427;????????????&#3627408428;
????????????&#3627408424;&#3627408422;é&#3627408429;&#3627408427;??????????????????&#3627408428;
15Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
Def.47: Série Geométrica: é a série que se obtém quando se tenta
somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:
??????
&#3627409359;+??????
&#3627409360;+??????
&#3627409361;+⋯+??????
??????+⋯=෍
??????=&#3627409359;
∞
??????
&#3627409359;∙??????
??????
As particularidades ou naturezas das Séries Geométricas:
i.Se −1<??????<1 , sabemos que ??????
??????+&#3627409359;
→&#3627409358;, quando ??????→∞, de modo
que:
lim
??????
??????
??????=
??????
&#3627409359;
&#3627409359;−??????
Logo, quando??????<&#3627409359; a série geométrica é convergente e a sua soma é
??????&#3627409359;
&#3627409359;−??????

16. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????é&#3627408427;????????????&#3627408428;
????????????&#3627408424;&#3627408422;é&#3627408429;&#3627408427;??????????????????&#3627408428;
16Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]
ii.Se ??????=−&#3627409359; , ??????
?????? é uma sucessão cujos termos são iguais a ??????
&#3627409359; para ??????
par e iguais a &#3627409358; para ?????? ímpar. Esta sucessão não tem limite e,
portanto, a série é divergente.
iii.Se ??????=&#3627409359; , ??????
??????=??????
&#3627409359;+⋯+ ??????
&#3627409359;=??????+&#3627409359;??????
&#3627409359;→±∞ consoante o
sinal de ??????
&#3627409359;. Como lim
??????
??????
?????? não existe, a série geométrica diverge.
iv.Se??????>&#3627409359;, sabemos que ??????
??????+&#3627409359;
→∞, então ??????
?????? não converge e a
série resultante é divergente.

17. L. Contabilidade e Auditoria
Métodos Quantitativos I
??????????????????&#3627408422;&#3627408425;&#3627408421;&#3627408424;&#3627408428;
17Wadiley Nascimento (Pós-Graduação em Estatística) Telm.: ([phone] / 906 0200 E-mail: [email protected]