REVISA-GOIAS-7o-ANO-MAT-3oBIM-2025-PPT.pptx

Equções 7 ano

1. 3 ª SÉRIE LÍNGUA PORTUGUESA 7º Ano MATEMÁTICA 3º BIMESTRE - 2025

2. Lembra-se do que é um número decimal? Os números decimais possuem uma parte inteira e uma parte não inteira . A parte inteira é formada por unidades, dezenas, centenas etc., e a parte não inteira, chamada de parte decimal, é formada por décimos, centésimos, milésimos etc., essas partes são separadas por uma vírgula . Exemplos: (cinco décimos) (cinco centésimos) (uma unidade e cinco décimos) (dois unidades e quatro décimos) (três unidades e doze centésimos) Os números decimais podem ser representados como frações.  

3. RELAÇÃO ENTRE NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS A fração é uma das representações do número decimal e vice-versa. Isso é possível a partir do quociente obtido da divisão entre o numerador e o denominador. Exemplos:        

4. Observe as frações decimais cujos denominadores são 1, 10, 100 e 1000.

5. Dessa forma, podemos reescrever as frações como:   Como reescrever um número decimal na forma fracionária? É mais simples do que pensa. O número possui 3 inteiros e 6 décimos , assim a fração que forma este número é , ou seja, 36 décimos. Já o número possui 1 inteiro e 23 centésimos , assim, a fração que correspondente é ou seja, 123 centésimos. Dessa forma, podemos reescrever os números decimais em frações decimais, observando as casas decimais dos números  

6. Exemplos:      

7. 2. Determine os números decimais que as frações, a seguir, representam.   1. Escreva, na forma de número decimal, as frações decimais a seguir.  

8. 3. Observe algumas frações, sendo reescritas em frações decimais utilizando frações equivalentes:       Escreva as frações, a seguir, como fração decimal e, assim, determine o número decimal que cada fração representa.

9. 4. Reescreva os números decimais, a seguir, na forma fracionária. a) 0,34 b) 0,08 c) 0,012 d) 7,3 e) 4,95 f) 45,8 g) 13,715 h) 1,3478 Item 1. (CAED 2024 – Adaptada) Observe o número apresentado no quadro a seguir. Uma representação fracionária desse número é    

10. Item 2. Seja o número decimal   A representação fracionária, na forma irredutível, desse número é  

11. NÚMEROS RACIONAIS Nos seus estudos de matemática, você já se deparou com situações de contagem de itens, comparação entre valores, temperaturas altas ou abaixo de zero etc. Nestas situações, os conjuntos dos números naturais ( ) e dos números inteiros ( ) são utilizados para satisfazer tais necessidades. Mas há momentos em que há valores entre dois números inteiros, como a altura (em metros) ou a massa (em quilos) de uma pessoa. Para isso, utilizamos o conjunto dos números racionais ( ).   Definição : Todo número racional pode ser escrito como uma fração em que o numerador e o denominador são números inteiros e o denominador é diferente de zero.  

12. Exemplo: Cinco amigos almoçaram juntos em um restaurante e, no final, o valor da conta foi de R$ 137,00. Eles resolveram dividir a quantia igualmente entre eles. Podemos organizar está situação, na forma fracionária , observe:   Além disso, ao efetuar essa divisão, obtemos um número não é exato: Assim, cada amigo pagou o valor de R$ 27,40. Observe que o número 27,40 é maior que 27 e menor que 28 , portanto é um número racional

13. Representação dos números racionais Aprofundando na definição dos números racionais podemos observar algumas situações, como: Todo número natural é racional. Os números 3 e 10 , por exemplo, são naturais, mas também são racionais, pois podem ser escritos como frações aparentes. e  

14. Todo número inteiro é racional. Os números –5 e , por exemplo, são inteiros, mas também são racionais, pois podem ser escritos como frações aparentes. e   Decimais finitos são racionais. Os números –2,4 e 1,5 , por exemplo, não são naturais nem inteiros, mas sim números racionais, pois podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros. e  

15. Dízimas periódicas são racionais. Os números , por exemplo são números racionais, na forma fracionária. Observe suas representações, na forma decimal:   e

16. Obs : Dízima periódica é a representação decimal, de um número racional, que possui um número infinito de casas decimais. Nesses números, sempre há uma parte que se repete. Porcentagem Lembre-se que a porcentagem é representação de uma fração, cujo denominador é 100. Assim é possível representá-las como fração ou número decimal. Observe, no quadro, algumas representações de uma porcentagem.

17. Isso acontece pela equivalência de frações. Observe:   Portanto, os números racionais podem ser representados por números naturais, inteiros, frações, decimais exatos, dízimas periódicas e porcentagens.

18. 5. Classifique cada sentença, a seguir, como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ). ( ) O número 8 é inteiro. ( ) O número –2 é natural. ( ) Todo número racional é natural. ( ) Todo número inteiro é racional. ( ) Se um número é racional, ele pode ser inteiro. ( ) Todo número que é natural, também é racional. 6. Reescreva os números racionais, a seguir, na forma decimal.  

19. 8. Complete adequadamente o quadro com as diferentes representações de um número racional.

20. Item 1. Beatriz comprou três cartelas de iogurte e pagou R$ 42,00. Sabe-se que cada cartela de iogurte possui oito unidades e cada cartela custa o mesmo valor. Qual o valor, em reais, de cada unidade de iogurte? (A) 5,25 (B) 3,50 (C) 1,75 (D) 0,60 Item 2. Quatro amigos foram a uma pizzaria e a conta, ao final, totalizou R$ 286,00. Eles dividiram a conta igualmente. Qual é o número decimal que representa o valor que cada amigo pagou? (A) 28,60 (B) 61,15 (C) 67,75 (D) 71,50

21. COMPARAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS Observe a situação a seguir: Susane e Estefane estão competindo em uma maratona. Em certo momento, Susane percorreu cerca de do percurso total e Estefani Neste momento, quem está na frente? Para responder isso, pode-se utilizar dois métodos: Comparação de frações   Determinando o MMC, entre 5 e 20, temos

22. Reescrevendo a fração , para uma fração, em que o denominador seja 20, obtemos Assim,  

23. Comparação de números decimais Determinando o quociente, entre o numerador e o denominador, de cada fração, obtemos Observe na reta numérica a posição de cada quociente,   Assim, Desta forma, é possível afirmar que Susane está na frente de Estefane, neste momento.  

24. Dessa forma, a partir das comparações podemos ordenar os números racionais, na reta numérica, representados na forma decimal ou fracionária.

25. ORDENAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS  Para ordenar números decimais devemos comparar a parte inteira e a parte decimal e, assim, colocá-las em ordem crescente ou decrescente. Exemplo: Para ordenar os números decimais , seguimos o passo a passo: 1. Comparar as partes inteiras dos números e colocá-las em ordem crescente ou decrescente . Como , então a ordem crescente é: . 2. Quando se tem partes inteiras iguais, como o , é necessário comparar os décimos e colocá-los em ordem. Note que, , então a ordem crescente é:  

26. 3. Compara-se os centésimos e depois coloca-os em ordem. Como , então a ordem crescente é: 4. Como os centésimos também são iguais, será necessário comparar as outras casas decimais para averiguar qual número é maior. Reescrevendo como , temos que , então a ordem crescente é: Dessa forma, comparando estes números e, organizando-os em ordem crescente, temos Representando esses números na reta numérica, temos  

27. Observe que, o número está entre 3,6 e 3,7 e que os números e estão entre 4,1 e 4,2. Assim, podemos dizer que, da mesma forma que há números racionais entre inteiros, há outros números racionais, entre racionais.  

28. A comparação e ordenação dos números racionais negativos são realizados de maneira similar aos positivos, porém na direção oposta. Observe a reta numérica de alguns racionais entre –1 e :   À medida que o número se distância de zero, na reta, no sentido negativo, menor é esse número. Exemplos: a) O número é maior que . b) O número é menor que . c) Colocando os números , na ordem crescente, temos  

29. 9. Classifique cada sentença como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ). ( ) O número 1,2 está entre os números 0 e 1. ( ) O número 4,6 está entre os números 4 e 5. ( ) O número –1,2 está entre os números –1 e –2. ( ) O número –3,9 é maior que 0,9. ( ) O número 1,5 é maior que 1,39. ( ) O número –6,13 é menor que 0,7. ( ) Na reta numérica, o número 7,8 está à esquerda do número 8,7. ( ) Na reta numérica, o número –9,3 está à esquerda do número –9,9.

30. 10. Utilize os símbolos de e para comparar, as frações a seguir.     11. Utilize os símbolos de ou para comparar, os números racionais a seguir.   a) b) c) d) e) f)  

31. 12. Observe os números racionais a seguir.   13. Observe a reta numérica que foi dividida em segmentos de mesma medida.   Identifique, na reta, a localização dos números:  

32. Item 1. Observe a reta numérica, a seguir, que foi dividida em segmentos de mesma medida.   Na reta estão faltando alguns números e foram destacados dois desses números. Quais são os números destacados na imagem? (A) 4,1 e 4,9 (B) 4,2 e 4,6 (C) 4,2 e 4,8 (D) 4,6 e 4,9 Item 2. Observe a reta numérica dividida em partes iguais.   A, B e C representam, quais números racionais, respectivamente? (A) (B)   (C) (D)  

33. SITUAÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais estão presentes em situações, em que é necessário comparar, contabilizar ou calcular números representados na forma decimal ou fracionária. Apresentamos, assim, aplicações dos números racionais. Razão A razão é uma comparação entre duas grandezas que pode ser representada por uma fração. Exemplo: Um veículo faz o percurso de 300 quilômetros (km), em 4 horas. Qual é a velocidade deste veículo? Resolução : A velocidade é a razão obtida pelo quociente entre distância e tempo. Determinando esta razão, temos Desta forma, a velocidade deste veículo é de 75 km/h, ou, em outras palavras, a cada uma hora este veículo percorre 75 quilômetros.  

34. Fração de Quantidade É usada para determinar o “valor” que a fração representa de uma quantidade. É obtido ao multiplicar o numerador da fração pela quantidade apresentada e dividindo este produto pelo denominador desta fração. Exemplo: Isabela fará uma viagem que custará R$ 4000,00 e conseguiu guardar deste valor. Qual foi o valor, em reais, que ela conseguiu guardar? Resolução : de R$ 4000,00 equivalem a Assim, Isabela guardou R$ 2500,00 para sua viagem.  

35. Porcentagem de Quantidade Assim como a fração de quantidade, a porcentagem é utilizada para determinar o percentual de um todo. Exemplo: Felipe foi a um restaurante, com sua família, e sua conta deu o valor de R$ 230,00. Ele pagará 55% deste valor. Qual será o valor pago por Felipe? Resolução : de R$ 230,00 equivalem a   Assim, Felipe pagará R$ 126,50.  

36. 14. Luna e Penélope estão competindo em uma corrida de rua, cujo percurso totaliza 20 km. Em certo momento, Luna percorreu cerca de do percurso total e Penélope Com essas informações, responda: a) Escreva, na forma decimal, o percurso que cada uma delas percorreu. b) Qual das duas está na frente? c) Qual a distância de cada uma delas percorreu?   15. Uma rodovia com extensão de 60 quilômetros, está sendo reformada. Até agora, dela foi finalizada. Agora responda: a) Quantos quilômetros da rodovia já foram reformados? b) Quantos quilômetros da rodovia ainda faltam reformar?  

37. Observe os dados do censo de 2022, de algumas cidades goianas, para responder às atividades 16 e 17 : Fonte: https://www.ibge.gov.br/cidades-e-estados/go.html Acesso em: 01 de jul. 2025. (Adaptado) 16. A densidade demográfica é uma medida que expressa a relação entre a população de um determinado local e a área que essa população o cupa, geralmente calculada pela razão da quantidade habitantes por quilômetro quadrado (km²). Desta forma, calcule a densidade demográfica de cada cidade goiana descrita. 17. Entre as cidades citadas no item anterior, qual possui maior densidade demográfica? E qual possui a menor densidade demográfica?

38. 18. Uma pesquisa com 3000 goianos foi realizada para saber a preferência por frutas típicas do Cerrado. O resultado está descrito no quadro: (Autor: Fonte fictícia) De acordo com a pesquisa, responda: a) Qual foi a fruta preferida dos goianos e quantos pessoas escolheram esta fruta? b) Qual foi a fruta menos votada pelos goianos e quantos pessoas escolheram esta fruta?

39. Item 1. (CAED 2025) Fernanda e Miguel visitaram 40 imóveis disponíveis para aluguel. Dos imóveis visitados por eles, são apartamentos. Dos imóveis visitados por Fernanda e Miguel, quantos são apartamentos? (A) 4 (C)32 (B) 5 (D)35   Item 2. (CAED 2025 – Adaptada) Em determinado dia, Roberta fez o fechamento do caixa da cafeteria que trabalha e obteve um total de R$ 1200,00. Desse total, 60% representam a venda de cafés especiais. Qual foi a quantia recebida com a venda de cafés especiais nesse dia? (A) R$ 1160,00 (C) R$ 480,00 (B) R$ 720,00 (D) R$ 20,00

40. LINGUAGEM ALGÉBRICA Essas expressões são utilizadas para representar quantidades matemáticas desconhecidas e, por isso, podem ser representadas por letras minúsculas ou símbolos. Exemplos: A metade de um valor ou um número dividido por dois. Se considerarmos esse valor como a letra , podemos representar essa expressão como: O dobro de um valor ou um número multiplicado por dois. Se considerarmos esse valor como a letra , podemos representar essa expressão como: A terça parte de um valor ou um número divido por três. Se considerarmos esse valor como a letra , podemos representar essa expressão como:  

41. O triplo de um valor mais quatro ou quatro adicionado a um número multiplicado por três. Se considerarmos esse valor como a letra , podemos representar essa expressão como: A diferença entre sete e o dobro de outro número. Se considerarmos esse outro número como a letra , podemos representar essa expressão como: A soma de um número com o seu dobro . Se considerarmos esse outro número como a letra , podemos representar essa expressão como: ou O quadrado de um número ou um número elevado a segunda potência. Se considerarmos esse valor como a letra , podemos representar essa expressão como:  

42. Nesse sentido, definimos expressões como combinações entre números, sinais gráficos e operações básicas, cuja resolução deve seguir uma ordem específica. Elas podem ser classificadas em: Expressões Numéricas , as sequências de operações aplicadas a números; Expressões Algébricas , as sequências de operações que utilizam letras, números ou símbolos para realizar determinados cálculos. Aplicação das expressões algébricas É possível o uso de expressões algébricas para expressar determinadas relações. Por exemplo, um determinado retângulo tem o comprimento medindo o dobro da largura. Observe: Como as medidas são desconhecidas, então podemos utilizar a letra para representar a largura e para o comprimento (dobro da largura). Uma das relações possíveis é o perímetro, que é a soma das medidas de todos os lados. Para representar a medida do perímetro deste retângulo, temos Ou seja,  

43. O que acompanha o ?   Sempre que vemos apenas a letra, sem nenhum número escrito à esquerda dela, o número que a multiplica é 1. Ou seja, sempre que escrevemos , isso equivale a Do mesmo modo, quando somamos a variável duas vezes, temos:  

44. 1. Relacione as expressões algébricas listadas na coluna da esquerda as suas representações, em linguagem natural, listadas na coluna da direita. 2. Escreva uma expressão algébrica para cada situação indicada no quadro

45. 3. Relacione as expressões algébricas listadas na coluna da esquerda as suas representações, em linguagem natural, listadas na coluna da direita. 4. A figura representa um quadrado e a medida de seu lado. Escreva uma expressão algébrica que represente o perímetro desse quadrado.

46. 5. Observe, a seguir, uma sequência formada por quadrados desenhados em malha quadriculada .     Responda: a) Complete a tabela. b) Escreva uma expressão algébrica que represente o perímetro do quadrado, em relação a ordem. c) Escreva uma expressão algébrica que represente a área do quadrado, em relação a ordem.

47. Observe o retângulo, e suas medidas, para responder aos itens 1 e 2: Item 1. Qual expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo apresentado? (A) (C) (B) (D)   Item 2. Qual é a expressão que representa a área do retângulo? (A) (C) (B) (D)  

48. IDEIAS ASSOCIADAS À IGUALDADE Observe a situação a seguir: Pedro está organizando um churrasco com seus amigos, mas está dúvida quanto à quantidade de carne que irá comprar. Para isso, fez uma tabela com os possíveis preços que irá pagar para cada quilo de carne, que custa R$ 29,00. Repare que é possível escrever uma expressão que relaciona o valor pago, com a quantidade de carne comprada (em quilos): Ou seja, o valor pago varia de acordo com a quantidade de carne comprada. Nesta situação, representa uma variável.   Mas, se Pedro pagou R$ 203,00, quantos quilos de carne ele comprou? Dada a expressão informada anteriormente e com a quantidade de carne especificada, obtemos a sentença  

49. Quando a expressão algébrica é igualada a um determinado número, ela se torna uma equação . Para resolvê-la, é preciso compreender melhor a ideia de igualdade. EQUAÇÃO Observe a balança a seguir: Neste tipo de balança, quando há equilíbrio, ou seja, os dois pratos estão nivelados na horizontal, dizemos que as massas colocadas em cada prato são iguais. Observa-se que, em um dos pratos foi colocada uma caixa e dois pesos de 2 kg cada e, no outro prato da balança, seis pesos de 2 kg, cada. Para representar este equilíbrio vamos indicar a massa da caixa por e como os dois pratos têm a mesma massa, temos que:    

50. Definição : Equação é uma sentença matemática que representa uma igualdade , que contém um ou mais termos desconhecidos. Na equação exemplificada anteriormente, o termo desconhecido, indicado pela letra , representa a incógnita da equação . Além disso, toda equação possui dois membros separados pela igualdade, ou seja,     Sabendo que a balança está em equilíbrio, qual é a massa da caixa? A equação que representa esta situação é: . Note que, se substituirmos a incógnita pelo número , a igualdade será verificada. Isto é, dizemos que a igualdade se torna verdadeira para e esse valor é a solução ou raiz de uma equação . Portanto, a massa da caixa será de 8 kg. Observação : Solução ou raiz de uma equação , é um número que torna a igualdade verdadeira.  

51. D iferença entre variável e incógnita Uma variável pode assumir diferentes valores dentro de um conjunto, enquanto uma incógnita é um valor específico que resolve uma equação. Mais exemplos de equação Exemplo 1. Escreva uma equação correspondente à sentença: “Um número mais 8 é igual a 21” . Resolução : Representando o número desconhecido por , temos:   Um número: ; Um número mais 8: ; Dessa forma, a equação será:   Observação: Esse número (incógnita) é igual a 12? Para descobrir, vamos substituir a incógnita por 12:  

52. Como o número 12 não tornou a igualdade verdadeira, não é solução da equação. Agora, vamos substituir a incógnita por 13, assim: Como o número 13 tornou a igualdade verdadeira, 13 é solução (ou raiz) da equação. Exemplo 2. Escreva uma equação correspondente à sentença: “Cinco menos o dobro de um número é igual ao triplo desse número” .   Resolução : Representando o número desconhecido por , temos: O dobro de um número: ; Cinco menos o dobro de um número: ; O triplo de um número: . Dessa forma, a equação será: Observação: Esse número (incógnita) é igual a 2? Para descobrir, vamos substituir a incógnita por 2:  

53. Como o número 2 não tornou a igualdade verdadeira, não é solução da equação. Agora, vamos substituir a incógnita por 1, assim: Como o número 1 tornou a igualdade verdadeira, 1 é solução (ou raiz) da equação.   Exemplo 3. Escreva uma equação correspondente à afirmação:   “O perímetro do quadrado, ao lado, é igual a 20 cm” Resolução : O perímetro de uma figura geométrica plana é a medida de seu contorno . Assim, temos:  

54. Observação: O valor da incógnita é igual a 4? Para descobrir, vamos substituir a incógnita por 4: Como o número 4 tornou a igualdade verdadeira, é solução (ou raiz) da equação.   Exemplo 4. Pedro irá comprou R$ 203,00 de carne para seu churrasco. Cada quilo de carne custou R$ 29,00. Qual expressão representa essa situação? Resolução : Valor do quilo da carne: 29 Quantidade de quilos de carne: Valor total pago: 203 Dessa forma, a equação será:  

55. Observação: O valor da incógnita é igual a 7? Para descobrir, vamos substituir a incógnita por 7: Como o número 7 tornou a igualdade verdadeira, 7 é a raiz da equação.  

56. 6. Os pratos da balança estão em equilíbrio e a massa dos pesos está indicada em gramas . Agora, responda: a) Escreva uma equação que represente a situação. b) O equilíbrio da balança permanece ao retirar os pesos de 150 gramas de cada prato? Escreva a equação correspondente. c) Qual é o peso da maçã? 7. Escreva uma equação para cada situação a seguir . a) A soma de um número e 4 é igual a 15. b) A diferença entre o dobro de um número e 5 é igual a 11. c) A metade de um número somado com 8 é igual a 20. d) O produto de um número pelo seu sucessor é igual a 42. e) O perímetro de um quadrado é igual a 32 m. f) A área de um retângulo, no qual a base é o dobro da altura, é igual a 98 m². g) Três décimos de um número é igual a 60.

57. 8. Verifique se 4 é a raiz de cada equação a seguir. a) d) b) e) c)   9. Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas igual a 90°. Observe: Agora, responda: a) Escreva uma equação que descreva a situação apresentada. b) Verifique se o número 20 é a solução da equação descrita. c) Verifique se o número 25 é a solução da equação descrita.

58. RESOLVENDO EQUAÇÕES Como vimos, foi explicado que um determinado número é solução de uma equação quando torna a igualdade verdadeira, ou seja, ao substituir a incógnita por esse número obtemos uma sentença verdadeira. Entretando, como se resolve uma equação? 1ª Situação: Em uma balança equilibrada, há uma pêra e um peso de 300 gramas (g) no prato à esquerda e, no prato da direta, há três pesos de 150, 50 e 300 gramas. Qual é a massa da pêra? Ilustrando a situação, temos

59. Representando a massa da pêra pela incógnita , podemos escrever a equação como: Perceba que ao tirar 300 g de cada prato o equilíbrio se mantém:     Algebricamente, podemos reescrever a equação diminuindo 300 g em ambos os membros da equação, observe: Portanto, a massa da pêra, representada por , é igual a 200 gramas.  

60. 2ª Situação: Na ilustração, a seguir, o prato da esquerda há três maçãs iguais e um peso de 300 gramas (g). Já no prato da direita há dois pesos de 300 g e um de 60 g, totalizando 660 g. Considerando que a balança está em equilíbrio, qual é a massa de cada maçã? Representando a massa de cada maçã por (incógnita), podemos escrever a equação:   Nessa situação, podemos tirar 300 g de cada prato e o equilíbrio se mantém. Veja:    

61. Algebricamente, podemos reescrever a igualdade diminuindo 300 g em ambos os membros da equação: Além disso, é possível dividir ambos os membros da equação por 3 e, desta forma, isolar a incógnita para determinar a massa de cada maçã. Veja:   Portanto, cada maçã tem a massa igual a 120 gramas. As duas situações ilustram operações elementares que podem ser feitas numa equação, mantendo a igualdade. O PERAÇÕES NA EQUAÇÃO Ao adicionar , subtrair ou multiplicar por um mesmo número, ambos os membros de uma equação, a igualdade é mantida. Ao dividir cada membro de uma equação por um mesmo número, diferente de zero, a igualdade é mantida. 

62. Exemplo 1. Resolva a seguinte equação: Resolução : Para resolver uma equação, deve-se isolar a incógnita ( ) em um dos membros da igualdade. Assim, Adicionando 70 aos dois membros da igualdade: Dividindo ambos os membros da equação por 2 , obtemos:     Assim, 60 é a solução dessa equação. Observação: Veja os passos da resolução, deste exemplo, de modo simplificado:  

63. Exemplo 2. Resolva a seguinte equação: Resolução : Subtraindo 5 de ambos os membros da equação, obtemos Dividimos os dois membros da equação por 2 , temos Portanto, a raiz dessa equação é 7.  

64. Exemplo 3. Resolva a seguinte equação: . Resolução : Adicionando 20 aos dois membros da equação, obtemos Multiplicando os dois membros da equação por 4 , temos Assim, a solução dessa equação é 220.    

65. Exemplo 4. Resolva a seguinte equação: Resolução: Inicialmente, utilizamos a propriedade distributiva para eliminar os parênteses: Deixamos a parte numérica (sem incógnita) no 2º membro da igualdade:  

66. Deixamos os termos com a incógnita no 1º membro da igualdade: Dividimos os dois membros da equação por 2:  

67. 10. Resolva as equações. a) b) c) d) e) f)   11. O perímetro do retângulo, a seguir, é 60 cm e as medidas de seus lados estão indicadas na figura.   Responda: a) Escreva uma equação que represente a situação. b) Resolva a equação descrita. c) Indique a medida dos lados desse retângulo.

68. Item 1. Observe a equação A solução dessa equação é   Item 2. Júlia teve o seguinte pensamento: “O triplo de um número mais oito é igual a 50.” Qual foi o número que Júlia pensou? (A) 800 (B) 1100 (C) 1900 (D) 2200 (A) 47 (B) 42 (C) 24 (D) 14

69. PROCEDIMENTOS PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Leia a situação a seguir: “Considere que, em um colégio, há 200 estudantes. O número de alunas excede o de alunos em 40. Quantos alunos e alunas há nesse colégio?” Como resolver essa situação? Para solucionar problemas como esse, é preciso, inicialmente, organizar as informações conforme apresentado no enunciado. Essas etapas são chamadas de equacionamento . Equacionar uma situação significa relacionar as informações dadas identificando o termo desconhecido por meio de uma incógnita. Para a resolução da situação, há algumas etapas importantes que devem ser seguidas:

70. Ler o enunciado da situação se atentando para todos os elementos presentes; Identificar a incógnita com uma letra; Relacionar as informações do enunciado por meio de uma equação; Resolver a equação; Verificar a adequação da solução encontrada à situação apresentada. Observe como podemos resolver a situação apresentada, usando as estratégias mencionadas. “Em um colégio, há 200 estudantes. O número de alunas excede o de alunos em 40. Quantos alunos e alunas há nesse colégio?” Vamos identificar, pela incógnita , o número de alunos no colégio. Assim, temos Número de alunos: Número de alunas: Total de estudantes: 200  

71. Como sabemos a quantidade total de estudantes no colégio, podemos equacionar o problema: Agora, resolvemos a equação, obtemos: Como representa o número de alunos, concluímos que há 80 alunos e 120 alunas (pois, excedem em 40 o número de alunos). Conferindo o resultado obtido, temos:  

72. Mais exemplos envolvendo resolução de problemas:   Exemplo 1: A soma de três números naturais consecutivos é igual a 342. Determine quais são esses números. Resolução : Representamos por o primeiro número da sequência, temos: Primeiro número: Segundo número: Terceiro número:   Reescrevendo “a soma de três números naturais consecutivos é igual a 342”, temos a equação: Agora, resolvendo a equação, obtemos:  

73. Determinando os três números consecutivos, temos Primeiro número: Segundo número: Terceiro número: Portanto, os três números consecutivos cuja soma é igual a 342 são: 113, 114 e 115. Obs.: Podemos conferir o resultado, veja:   Exemplo 2. A soma das idades de Levi e Luana é 20 anos. O dobro da idade da Luana é igual ao triplo da idade de Levi. Qual a idade de cada um? Resolução: Sabemos que a soma da idade dos dois é 20 anos. Assim, se representarmos a idade de Luana com a letra , a idade de Levi corresponde ao que falta para 20, ou seja: Idade de Luana: Idade de Levi: Dobro da idade de Luana: Triplo da idade de Levi:  

74. Como o dobro da idade da Luana é igual ao triplo da idade de Levi, escrevemos a seguinte equação: Agora, resolvendo a equação, obtemos:   Determinando a idade de cada um, temos: Idade de Luana: Idade de Levi: Logo, Luana tem 12 anos e Levi 8 anos. Obs.: Podemos conferir o resultado, veja:  

75. 12. Leia a situação a seguir: “Em um estacionamento há carros e motos totalizando 154 veículos, mas a quantidade de carros é 10 vezes maior que a de motos.” Responda: a) Escreva uma equação que representa essa situação. b) Quantas motos há no estacionamento? c) Quantos carros há no estacionamento? 13. A soma de um número natural com o dobro do seu sucessor resulta em 65. Qual é esse número? 14. Um terreno retangular tem perímetro medindo 92 metros. A largura deste terreno mede 14 metros a menos que o comprimento. Quais são as medidas deste terreno? 15. Em uma compra de R$ 260,00, pagou-se com notas de R$ 20,00 e R$ 5,00. O número de notas de R$ 20,00 foi o triplo do número de notas de R$ 5,00. Quantas notas, de cada valor, foram usadas?   16. A soma de um número natural com o triplo de seu sucessor é igual ao dobro deste número mais 19. Qual é esse número?

76. Leia a situação a seguir, para responder aos itens 1 e 2: “Cláudio e Ricardo estão guardando dinheiro para uma viagem e possuem, ao todo, R$ 3000,00. Mas Cláudio possui R$ 800,00 à mais que Ricardo.” Item 1. Qual equação representa essa situação? (A) (B)   (C) (D)   Item 2. Qual é o valor, em reais, que Cláudio possui? (A) 800,00 (B) 1100,00 (C) 1900,00 (D) 2200,00

77. ÂNGULOS Ângulo é uma medida expressa em graus atribuída à região ou conjunto de pontos situados entre duas semirretas de mesma origem. Para representar um ângulo podemos usar três letras maiúsculas, por exemplo: Ângulo (ou formados pelas semirretas e . Neste caso, a letra do meio A representa o vértice, a primeira letra B representa um ponto da primeira semirreta e a terceira letra C representa um ponto da segunda semirreta. Além disso, os ângulos também podem ser representados por letras minúsculas do nosso alfabeto ou do alfabeto grego. Observe: as representações dos ângulos: .  

78. Existem alguns ângulos que aparecem com bastante frequência no estudo da geometria. Observe: ângulo reto     ângulo raso     Ângulos adjacentes Quando dois ângulos compartilham uma mesma semirreta e não possuem mais pontos em comum, são denominados adjacentes Exemplo: é adjacente a . é adjacente a . não é adjacente a .   Além disso, quando temos dois  ângulos  cuja soma é igual a 90° , eles são chamados de  complementares  e, quando temos dois ângulos cuja soma é igual a 180º, eles são chamados de  suplementares .

79. Observe exemplos de ângulos complementares: Ângulos complementares adjacentes Ângulos complementares não adjacentes Observe exemplos de ângulos suplementares: Ângulos suplementares adjacentes Ângulos suplementares não adjacentes

80. Operações com ângulos complementares Sabendo que dois ângulos são complementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. Exemplo 1: Observe os ângulos .   Sabendo que são complementares, e que . Determine o valor de . Resolução : Os ângulos são complementares, logo   Essa expressão pode ser tratada como uma equação em que é a incógnita. Então, Portanto, o valor de é 28°.  

81. Exemplo 2: Qual é o valor de ?   Resolução : Como . Logo,     Então, o valor de é 35°.   Exemplo 3: Sabendo que os ângulos a seguir são complementares, calcule a medida de cada um desses ângulos. Resolução : Medida do ângulo . Medida do ângulo .   Como são complementares, sua soma é igual a . Assim, obtemos  

82.   Logo, como a medida do ângulo é dada por: , substituindo :   E a medida do ângulo é dada por: , substituindo :  

83. Operações com ângulos suplementares Quando dois ângulos são suplementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. Exemplo 1: Qual o valor de ?   Resolução : Como o ângulo é complementar à 135°, temos Então, o valor de é 45°.   Exemplo 2: Os ângulos, a seguir, são suplementares. Qual é a medida dos ângulos ?  

84. Resolução : Medida do ângulo Medida do ângulo Como estes ângulos são suplementares, temos Determinando o valor de x, obtemos  

85. Logo, como a medida do ângulo é dada por: , substituindo :   E a medida do ângulo é dada por: , substituindo :  

86. 1. Responda as seguintes perguntas. a) Se e são ângulos complementares, então, quanto vale a medida ? b) Se e são ângulos suplementares, então, quanto vale a medida ?   2. Responda as seguintes perguntas. a) Se e são ângulos complementares e . Qual é a medida ? b) Se e são ângulos suplementares e . Qual é a medida ?   3. Associe a coluna da direita com a da esquerda, considerando como referência ângulos complementares e suplementares.

87. 4. Para cada caso calcule o valor da incógnita e determine a medida de cada ângulo, sabendo que esses ângulos são complementares. a) b) 5. Observe os ângulos adjacentes: A medida do ângulo é igual a (A) (B) (C) (D)  

88. Item 1 . Observe os ângulos suplementares a seguir. A equação que possibilita calcular o valor correto da incógnita é (A) . (B) .   (C) . (D) .   Item 2 . Os ângulos, a seguir, são complementares. A equação que possibilita calcular o valor correto da incógnita é   (A) . (B) . (C) . (D) .  

89. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE O que são ângulos opostos pelo vértice? Uma forma simples de responder esta pergunta é dizer que são dois ângulos, não adjacentes, formados pela intersecção de duas retas. lado ou só possuem um único ponto em comum, que também é o ponto de encontro das duas retas. Nesse caso, quando dois ângulos possuem um único ponto em comum, eles são chamados de ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.). Os outros dois ângulos, que estão lado a lado, são chamados de ângulos adjacentes. A intersecção entre duas retas concorrentes forma quatro ângulos. Se analisarmos dois a dois, é possível notar que esses ângulos ou estão lado a Então, na representação, a seguir, temos:  

90. Ângulos opostos pelo vértice: Ângulos adjacentes: Propriedades: 1º. Ângulos adjacentes são suplementares; 2º. Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, possuem medidas iguais.   Exemplo: Se são as medidas dos ângulos na figura, então, as somas e são iguais a 180°, pois os respectivos ângulos são suplementares adjacentes. Assim, temos as equações e  

91. A partir dessas duas equações, temos a relação: Dessa forma, Simplificando a relação, obtemos Logo, as medidas dos ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Para compreender melhor a aplicação de ângulos opostos pelo vértice, vamos analisar dois exemplos.   Exemplo 1: Qual é a medida de a na figura? Resolução : Observe que a é oposto pelo vértice ao ângulo , logo   Exemplo 2: Calcule as medidas indicadas dos ângulos na figura.

92. Resolução : Como os ângulos são opostos pelo vértice e são congruentes então, suas medidas são iguais. Determinando o valor de , obtemos   Para descobrir a medida de cada ângulo, devemos substituir o valor encontrado em uma das expressões. Como , temos Como os ângulos são opostos pelo vértice, os dois ângulos são congruentes, ou seja, ambos medem 150°.  

93. 6. Nomeie e indique todos os elementos que compõem os ângulos adjacentes e opostos pelo vértice na imagem. 7. Observe e analise os dois ângulos destacados entre as retas. Pode-se afirmar que os ângulos e são (A) congruentes. (B) suplementares. (C) complementares. (D) adjacentes  

94. 8. Determine o valor da medida de cada ângulo a seguir. a) b) 9. Calcule a medida dos ângulos em destaque. a) b) c)

95. Item 1. Observe os ângulos em destaque a seguir. O valor de que satisfaz a condição de existência desses ângulos é igual a   (A) . (B) . (C) . (D) .  

96. RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Se uma reta intercepta outras duas ou mais retas paralelas, essa reta é transversal às retas paralelas. Exemplo: As retas são paralelas e a reta é transversal a elas, formando os oito ângulos:   Podemos classificar os ângulos, formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, de acordo com a posição desses ângulos em relação a posição das retas. Esses ângulos podem ser classificados como: correspondentes, colaterais internos ou externos, alternos internos ou externos.

97. Ângulos colaterais Internos Note que os ângulos são suplementares, assim como os ângulos . Logo:   Externos Note que o ângulo e o ângulo são suplementares, assim como os ângulos . Logo:  

98. Dois ângulos colaterais, formados por um par de retas paralelas e, uma transversal, são sempre suplementares, independentemente de serem internos ou externos. Exemplo 1: Sabendo que , determine o valor de e a medida de cada ângulo ilustrado na imagem.   Resolução : Perceba que os ângulos e são colaterais internos, ou seja, são suplementares.  

99. Logo,   Calculando as medidas dos ângulos, obtemos Como os ângulos são suplementares e um deles mede 60° o outro medirá 120°.  

100. Dois ângulos alternos, formados por um par de retas paralelas e, uma transversal, são sempre congruentes, independentemente de serem internos ou externos. Exemplo 2: Sabendo que , determine o valor de e a medida de cada ângulo ilustrado na imagem.  

101. Resolução : Observe que os ângulos apresentados são alternos externos, ou seja, são congruentes. Logo,   Calculando as medidas dos ângulos, obtemos   Como os ângulos são congruentes ambos medem 105°.

102. 10. Observe a figura, a seguir, e responda as perguntas. a) Qual a relação entre o ângulo de medida e o ângulo ? b) Qual a relação entre o ângulo e o ângulo ? c) Calcule a medida dos ângulos .   11. Observe a figura: Sabendo que , responda: a) Qual a relação entre os dois ângulos ilustrados nessa figura? b) Calcule o valor de . c) Calcule a medida de cada um dos ângulos representados na figura.  

103. 12. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam um par de ângulos alternos internos de medidas: Calcule o valor de e a medida desses ângulos.   Item 1. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais externos , cujas medidas, em graus, são dadas, respectivamente, por  .   As medidas desses ângulos são iguais a (A) . (C) . (B) . (D) .   Item 2. Observe as retas paralelas e a reta , transversal à elas .   O valor de é igual a (A) . (C) . (B) . (D) .  

104. TRIÂNGULOS   Na geometria euclidiana, três retas, que sejam concorrentes entre si, geram três vértices por suas interceptações e, consequentemente, três ângulos internos. Observe: Denotamos: concorrente a no vértice A, forma o ângulo ; concorrente a r no vértice B, forma o ângulo ; concorrente a no vértice C, forma o ângulo   Na figura anterior, temos os lados (segmentos de reta), que se interceptam n os vértices formam os ângulos . Desta maneira, podemos afirmar que temos um triângulo. Define-se triângulo como o polígono que possui três lados e três ângulos.  

105. Desigualdade Triangular Para que um triângulo seja formado, há uma condição de existência chamada Desigualdade Triangular. Essa desigualdade é verificada observando os lados do triângulo, em que a soma das medidas de dois lados, deve ser sempre maior que a medida do terceiro lado. Situação 1: Observe o triângulo a seguir . Como cada lado mede, respectivamente, 3 cm, 5 cm e 6 cm, podemos verificar sua existência: Logo, 3, 5 e 6 podem ser usados para formar um triângulo.

106. Situação 2: Ana tentou desenhar o triângulo com as seguintes medidas. Como cada lado mede, respectivamente 3 cm, 5 cm e 10 cm, podemos verificar sua existência: Dessa forma, as medidas utilizadas por Ana (3, 5 e 10), não formam um triângulo.

107. Vamos construir? Utilize régua e compasso, e verifique a existência de cada um dos triângulos citados. Acesse o QRCode, para saber como.

108. Classificação dos Triângulos Podemos classificá-los a partir de duas características: lados e ângulos. Classificação dos triângulos a partir da medida de seus lados : Equiláteros : os três lados têm a mesma medida. Isósceles : dois lados têm a mesma medida e, um lado tem medida diferente. O lado com medida diferente é denominado base . Escaleno : os três lados têm medidas diferentes.

109. Classificação de Triângulos quanto a medida dos ângulos : Um triângulo é conhecido como acutângulo quando os seus três ângulos são agudos, ou seja, menores que 90º. Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos é reto, ou seja, igual a 90º. Como a soma dos três ângulos é sempre igual a 180º, os demais ângulos são necessariamente agudos.

110. Um triângulo é obtusângulo quando um de seus ângulos é obtuso, ou seja, maior que 90º. Ângulos Internos e Externos de um triângulo Ao classificarmos os triângulos a partir de seus ângulos, devemos nos lembrar da condição de existência em relação aos ângulos: a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a 180° e isso sempre ocorre na geometria plana. Assim, é possível delimitar os ângulos externos de um triângulo, obtidos a partir das semirretas que delimitam o triângulo. Observe: No triângulo ABC, são ângulos internos e são externos.  

111. Observe ainda que, um ângulo interno e externo adjacentes, são suplementares, ou seja, a soma de suas medidas é igual a . Assim, relacionando os ângulos internos e externos, temos o Teorema do Ângulo Externo , que enuncia: Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes. Observando o triângulo ABC e teorema do ângulo externo, temos:    

112. Exemplo: Encontre os valores dos ângulos e no triângulo a seguir.   Resolução : Para saber o valor de , basta aplicar o teorema do ângulo externo, onde o valor de é a soma de e (que não são adjacentes ao ângulo ). Logo,   A partir disso, podemos obter o valor do ângulo , somando os ângulos do triângulo BCD. Assim, Obs. : Note que o ângulo , adjacente ao ângulo , tem a medida de .  

113. 13. Sabendo que, a partir de três segmentos de reta, é possível determinar um triângulo. Identifique quais das medidas, a seguir, formam um triângulo. a) 5 cm, 4 cm e 6 cm b) 3 cm, 2 cm e 6 cm c) 7 cm, 6 cm e 3 cm d) 6 cm, 4 cm e 4 cm e) 6 cm, 9 cm e 12 cm   Sabendo que esse triângulo é isósceles, com base . Qual é a medida de seus lados?   15. Encontre a medida de x, y e w, na figura a seguir:   14. Observe o triângulo a seguir.

114. Item 1. Observe os triângulos a seguir. Quanto aos lados e ângulos, desses triângulos, podemos afirmar que eles são respectivamente (A) escaleno, equilátero, isósceles. (B) isósceles, equilátero, retângulo. (C) acutângulo, equilátero, obtusângulo. (D) isósceles, equilátero, escaleno.

115. Item 2. Observe o triângulo a seguir. Quais são, respectivamente, os valores de e ?   (A) (B) (C) (D)