REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA

Na edição de Janeiro/2014 da RPM será publicado um artigo meu que estará na página 22 da seção Painéis.

1. revista do professor de matemática | n
o
. 80 | 1
painéis

2. painéis
22 | n
o
. 80 | revista do professor de matemática
Há, nos sangakus, um grande número de proble-
mas envolvendo circunferências e elipses com grau
de dificuldade, em geral, elevado.
Para melhores informações sobre os sangakus e
sua história, sugerimos aos interessados a leitura dos
textos introdutórios dos dois artigos citados.
Neste painel vamos apresentar mais um sanga-
ku que achamos ser interessante para os leitores da
revista.
O problema apresentado é o seguinte:
Já publicamos anteriormente na RPM 49 (Sanga-
ku - A Geometria sagrada) e na RPM 80 (Um san-
gaku difícil) artigos apresentando sangakus, ou seja,
gravuras com problemas geométricos, registradas
em tábuas de madeira, feitas no Japão, a partir da
segunda metade do século XVII. Essas gravuras, em
geral, tinham autoria múltipla de matemáticos pro-
fissionais e amadores e eram simultaneamente obras
de arte e oferendas aos deuses nos santuários xin-
toístas e templos budistas. Eram também uma for-
ma de lançar desafios matemáticos.
PAINEL I
MAIS UM SANGAKU
tiago santos feitosa
seção
painéis

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o
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painéis
PAINEL II
A SOLUÇÃO COMPLETA
Sérgio Orsi
Na seção Em Classe da RPM 65 é apresentado o
problema: “colocar os números inteiros de 1 a 9,
sem repetição, sobre os lados de um triângulo equi-
látero de modo que a soma dos quatro números em
cada lado seja igual a 20.” A figura abaixo mostra
duas soluções do problema.
Depois disso, na seção Painéis da RPM 81, foi
publicada uma generalização do problema para po-
lígonos regulares, com um número qualquer de la-
dos, e foi apresentada uma estratégia para obter uma
solução. Há um adendo da RPM observando que a
estratégia não fornece todas as possíveis soluções,
exibindo uma solução para o triângulo, com soma
dos quatro números colocados nos lados igual a 19,
que não pode ser obtida com a estratégia conside-
rada.
Neste texto, vamos apresentar todos os possíveis
valores para a soma dos quatro números a serem co-
locados nos lados do triângulo equilátero e todas as
possíveis soluções para cada soma.
Lembrando que estamos considerando os núme-
ros de 1 a 9, sem repetição, seja S
L
a soma dos
quatro números colocados em cada um dos lados do
triângulo e S
V
a soma dos números colocados nos
três vértices do triângulo.
Como cada vértice participa da soma dos núme-
ros de exatamente dois lados, temos
3 × S
L
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + S
V
.
Logo, S
SS
L
VV
=
+
=+
45
3
15
3
.
Observamos que o valor mínimo para a soma S
V
dos números colocados nos vértices é 1 + 2 + 3 = 6
e o valor máximo é 7 + 8 + 9 = 24. Sendo assim, os
Na figura as três circunferências de raios
a, b e c são simultaneamente tangen-
tes duas a duas e a uma reta. Prove que
11 1
ca b
=+ .

a
c
b
Solução
No triângulo retângulo O
1
O
2
L, observando que
O
1
O
2
= a + b e O
1
L = a – b,
temos pelo teorema de Pitágoras:
(a + b)
2
= (LO
2
)
2
+ (a – b)
2
(LO
2
)
2
=

4ab
LO ab
2
2=
b
a
O
1
O
2
L
M
JK
N
Analogamente, nos triângulos retângulos O
1
O
3
M
e O
2
O
3
N, observando que
O
1
O
3
= a + c; O
1
M = a – c; O
2
O
3
= b + c e
O
2
N = b – c, obtemos as igualdades
MO ac NO bc
33
22= =e.
Como JK = MO
3
+

NO
3
= LO
2
temos
abacbc=+ .
Dividindo todos os termos por abc obtemos
11 1
ca b
=+ .

4. 24 | n
o
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painéis
possíveis valores para S
L
satisfazem:
15
6
3
15
24
3
+≤ ≤+S
L
ou 17 < S
L
< 23.
Considerando ser S
L
necessariamente inteiro,
S
V
será um múltiplo de 3, levando a apenas 30
soluções para os vértices, apresentadas na tabela
ao lado. Foram excluídos os triângulos simétricos,
por exemplo, [2, 3, 1], [3, 1, 2], [1, 3, 2], [2, 1, 3] e
[3, 2, 1], simétricos de [1, 2, 3] (a notação [2, 3, 1]
indica que os números 2, 3 e 1 estão nos vértices).
Vamos procurar a solução para a primeira opção
da tabela, com vértices 1, 2 e 3 e S
L
= 17.
Para o lado [1, 2] (essa notação indica o lado com
os números 1 e 2 nos seus vértices) é necessário
escolher dois números que somem 17 – 1 – 2 = 14.
Números disponíveis para alocação: 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Pares com soma 14: [5, 9] e [6, 8].
Escolhendo o [5, 9] para o lado [1, 2] obtemos o
lado [1, 5, 9, 2].
Para o lado [2, 3] é necessário escolher dois números
que somem 17 – 2 – 3 = 12.
Números disponíveis para alocação: 4, 6, 7 e 8.
Único par com soma 12: [4, 8]
Obtemos o lado [2, 4, 8, 3].
Resta o lado [3, 1], no qual a soma dos dois nú-
meros a serem colocados deve ser 17 – 1 – 3 = 13
e os únicos números disponíveis para a alocação
são 6 e 7 cuja soma é 13. Obtemos então o lado
[3, 6, 7, 1].
Temos então a
Solução 1: [1, 5, 9, 2] [2, 4, 8, 3] [3, 6, 7, 1]
Escolhendo o [6, 8] para o lado [1, 2] obtemos o
lado [1, 6, 8, 2].
Para o lado [2, 3]:
Números disponíveis para alocação: 4, 5, 7 e 9.
Único par com soma 12: [5, 7]
Obtemos o lado [2, 5, 7, 3].
Para o lado [3, 1] resta [4, 9], cuja soam é 13.
Obtemos então o lado [3, 4, 9, 1].
Temos, então a
Solução 2: [1, 6, 8, 2] [2, 5, 7, 3] [3, 4, 9, 1]
Vértices S
V
S
L
1, 2, 3 6 17
1, 2, 6 9 18
1, 3, 5 9 18
2, 3, 4 9 18
1, 2, 9 12 19
1, 3, 8 12 19
1, 4, 7 12 19
1, 5, 6 12 19
2, 3, 7 12 19
2, 4, 6 12 19
3, 4, 5 12 19
1, 5, 9 15 20
1, 6, 8 15 20
2, 4, 9 15 20
2, 5, 8 15 20
2, 6, 7 15 20
3, 4, 8 15 20
3, 5, 7 15 20
4, 5, 6 15 20
1, 8, 9 18 21
2, 7, 9 18 21
3, 6, 9 18 21
3, 7, 8 18 21
4, 5, 9 18 21
4, 6, 8 18 21
5, 6, 7 18 21
4, 8, 9 21 22
5, 7, 9 21 22
6, 7, 8 21 22
7, 8, 9 24 23

5. revista do professor de matemática | n
o
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Se tomarmos, por exemplo, o caso dos vértices 1, 5, 6, que está na 8
a
linha da tabela, temos S
L
= 19 e,
para o lado [1, 5], por exemplo, teremos que escolher dois números com soma igual a 19 – 1 – 5 = 13. Os
números disponíveis para a alocação são: 2, 3, 4, 7, 8 e 9. O único par com soma 13 é [4, 9], gerando
o lado [1, 4, 9, 5]. Para o lado [5, 6] devemos escolher dois números com soma igual a 19 – 5 – 6 = 8. Os
números disponíveis para a alocação são: 2, 3, 7 e 8. Não há dois deles com soma 8, logo essa alternativa
não oferece solução para o problema.
Depois de examinar todas as alternativas, encontramos apenas 18 soluções para o problema, obtidas de
10 linhas da tabela. Essas soluções são:
Vérticess
V
Soluções s
L
1, 2, 3 6 [1, 5, 9, 2] [2, 4, 8, 3] [3, 6, 7, 1]17
1, 2, 3 6 [1, 6, 8, 2] [2, 5, 7, 3] [3, 4, 9, 1]17
1, 4, 7 12[1, 5, 9, 4] [4, 2, 6, 7] [7, 3, 8, 1]19
1, 4, 7 12[1, 6, 8, 4] [4, 3, 5, 7] [7, 2, 9, 1]19
2, 3, 7 12[2, 5, 9, 3] [3, 1, 8, 7] [7, 4, 6, 2]19
2, 3, 7 12[2, 6, 8, 3] [3, 4, 5, 7] [7, 1, 9, 2]19
1, 5, 9 15[1, 6, 8, 5] [5, 2, 4, 9] [9, 3, 7, 1]20
2, 5, 8 15[2, 4, 9, 5] [5, 1, 6, 8] [8, 3, 7, 2]20
2, 5, 8 15[2, 6, 7, 5] [5, 3, 4, 8] [8, 1, 9, 2]20
3, 5, 7 15[3, 4, 8, 5] [5, 2, 6, 7] [7, 1, 9, 3]20
4, 5, 6 15[4, 2, 9, 5] [5, 1, 8, 6] [6, 3, 7, 4]20
4, 5, 6 15[4, 3, 8, 5] [5, 2, 7, 6] [6, 1, 9, 4]20
3, 6, 9 18[3, 4, 8, 6] [6, 1, 5, 9] [9, 2, 7, 3]21
3, 6, 9 18[3, 5, 7, 6] [6, 2, 4, 9] [9, 1, 8, 3]21
3, 7, 8 18[3, 2, 9, 7] [7, 1, 5, 8] [8, 4, 6, 3]21
3, 7, 8 18[3, 5, 6, 7] [7, 2, 4, 8] [8, 1, 9, 3]21
7, 8, 9 24[7, 2, 6, 8] [8, 1, 5, 9] [9, 3, 4, 7]23
7, 8, 9 24[7, 3, 5, 8] [8, 2, 4, 9] [9, 1, 6, 7]23
painéis
PARA O LEITOR
Deixamos para o leitor determinar todas as soluções (são apenas quatro) do problema:
“colocar os números inteiros de 1 a 6, sem repetição,
sobre os lados de um triângulo equilátero de modo que a
soma dos três números em cada lado seja constante.”